détermination d'un Lagrangien

[Niels Adribohr]

Bonjour,
y'a t'il un autre moyen de trouver un lagrangien autre que celui consistant à choisir un lagrangien qui donne les équations du mouvement déjà connu ?
Par exemple, dans ce cour de physique en ligne :
http://www.sciences.ch/htmlfr/physat...p#lagrangienEM

je suis étonné par le fait que l'auteur postule un lagrangien (celui d'un champ scalaire ou celui du champ électromagnétique), et en calculant les équations d'Euler-Lagrange, s'émerveille que ces équations redonnent bien les équations de Klein-Gordon et de Maxwell (cela devrait, selon lui nous faire ressentir un frisson dans le dos et entendre dans notre interieur une musique céleste). Or, si ces lagrangiens sont choisis exprès pour établir ces équations, je ne vois pas ce qu'il y a de merveilleux à ce qu'ils les établissent !
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[Karibou Blanc]

y'a t'il un autre moyen de trouver un lagrangien autre que celui consistant à choisir un lagrangien qui donne les équations du mouvement déjà connu ?

Le lagrangien est un outil très utile pour dériver les équations du mouvements d'un système dont on connait ou postule les symétries, cad les quantités conservées.

Ca parait ridicule pour l'électromagnétisme parce que les equations de maxwell sont connus. Mais suppose que tu veuilles décrire un système physique et ses interactions sans connaitre autre chose que les symétries qu'il semblent respecter, ou en supposant que telle ou telle autre grandeur est conservée dans le temps, dans ce cas, il est tres facile d'écrire un lagrangien et les equations du mouvement te donne directement comment le système évolue et interagit.

[Niels Adribohr]

D'accord,
donc c'est à partir du théorème de Nother qu'on peut trouver la forme d'un lagrangien ?

[Gwyddon]

C'est surtout a partir des symetries que tu veux imposer a ton systeme (le theoreme de Noether fait ensuite le lien entre quantites conservees et symetries)

Oublie par exemple les equations de Maxwell. On se place dans un cadre relativiste (donc deja premiere condition de symetrie : respecter la symetrie de Lorentz), et on cherche a decrire une theorie ou un champ scalaire et un champ vectoriel interagissent, et qui soit le plus simple possible.

Avec ces seules conditions, tu tombes tres naturellement sur la theorie de l'electroagnetisme

[A voir en vidéo sur Futura]

[Karibou Blanc]

Avec ces seules conditions, tu tombes tres naturellement sur la theorie de l'electroagnetisme

Il faut également imposer la conservation de la charge électrique, c'est à dire l'invariance de jauge U(1). Sinon la théorie la plus simple Lorentz invariante, n'est pas l'EM.

[Niels Adribohr]

Merci à vous deux pour les réponses. L'ennui, c'est que dans tout les cours que j'ai vu, les lagrangiens sont posés d'office. Connaissez-vous par hazard des cours sur internet ou des bouquins dans lesquels on montre un petit peu comment les lagrangiens sont construits à partir de considérations de symétrie, pour que je puisse voir comment ça marche concretement ?

[Thwarn]

Il y a le tres bon cours de Delamotte, il y a3 pdf, c'est plutot le deuxieme qui t'interessera. Mais lis les tous, c'est un regale pour commencer.

Sinon, il y a le Weinberg, mais il risque d'etre un peu hardcore pour commencer

[Gwyddon]

Il faut également imposer la conservation de la charge électrique, c'est à dire l'invariance de jauge U(1). Sinon la théorie la plus simple Lorentz invariante, n'est pas l'EM.

Hello,

Quand j'introduis un terme de couplage, c'était implicite (car la théorie d'interaction de jauge la plus simple est effectivement U(1) ), mais c'est mieux en le disant

[Niels Adribohr]

Il y a le tres bon cours de Delamotte, il y a3 pdf, c'est plutot le deuxieme qui t'interessera. Mais lis les tous, c'est un regale pour commencer.

Sinon, il y a le Weinberg, mais il risque d'etre un peu hardcore pour commencer

Super ton lien !! Le chap 4, partie IX du 1er pdf répond bien à ma question, et le tout a l'air très pédagogique.
Merci.

[Gwyddon]

Sinon j'aime beaucoup le cours d'EM de Raimond :

http://www.phys.ens.fr/cours/notes-d...relativite.pdf

Il y construit l'électromagnétisme relativiste dans l'esprit évoqué dans cette discussion

[mariposa]

Merci à vous deux pour les réponses. L'ennui, c'est que dans tout les cours que j'ai vu, les lagrangiens sont posés d'office. Connaissez-vous par hazard des cours sur internet ou des bouquins dans lesquels on montre un petit peu comment les lagrangiens sont construits à partir de considérations de symétrie, pour que je puisse voir comment ça marche concretement ?

Un Lagrangien (comme un hamiltonien) est composé (entre autres)de sommes de composantes énergie cinétique cinétique et de termes potentiels.

Chaque terme de l'addition doit être invariant (au moins en tant qu'approximation) selon un groupe de symétrie.

Un terme se presente sous la forme d'un produit ou chaque élément se transforme selon une representation irréductible du groupe. Le produit des élements doit donner la representation irréductible triviale.
On peut donc construire tous les termes par combinaison possibles des representations irréductibles.

Bref il faut investir dans la théorie des groupes.

[Niels Adribohr]

Il y construit l'électromagnétisme relativiste dans l'esprit évoqué dans cette discussion

J'y ai jeté un oeil : cette façon de présenter les choses me plait bien !

Chaque terme de l'addition doit être invariant (au moins en tant qu'approximation) selon un groupe de symétrie

Je crois avoir à peu prêt saisi le truc : prenons le lagrangien de Dirac libre : il est construit de façon à être invariant de Lorentz, et le nombre de terme invariant de Lorentz simple qu'on peut construire avec des bi-spineurs n'est pas illimité. Par contre, le lagrangien de Dirac libre n'est pas invariant sous le groupe de symétrie U(1) : pour qu'il le devienne, on remplace le 4-gradient par la dérivée covariante de jauge, ce qui fait apparaitre un nouveau terme qu'on identifiera au couplage courant-champ électromagnétique. On "obtient" donc un nouveau champ qui est vectoriel, et en déterminant son lagrangien libre à l'aide de considération analogue, on obtient au final le lagrangien QED.

[Thwarn]

Si tu rajoutes local apres U(1), c'est tout à fait ça. (Car l'ED est invariante sous U(1) globale)

[Niels Adribohr]

Si tu rajoutes local apres U(1), c'est tout à fait ça. (Car l'ED est invariante sous U(1) globale)

Oui, j'ai oublié de le préciser !

[mariposa]

J'y ai jeté un oeil : cette façon de présenter les choses me plait bien !



Je crois avoir à peu prêt saisi le truc : prenons le lagrangien de Dirac libre : il est construit de façon à être invariant de Lorentz, et le nombre de terme invariant de Lorentz simple qu'on peut construire avec des bi-spineurs n'est pas illimité. Par contre, le lagrangien de Dirac libre n'est pas invariant sous le groupe de symétrie U(1) : pour qu'il le devienne, on remplace le 4-gradient par la dérivée covariante de jauge, ce qui fait apparaitre un nouveau terme qu'on identifiera au couplage courant-champ électromagnétique. On "obtient" donc un nouveau champ qui est vectoriel, et en déterminant son lagrangien libre à l'aide de considération analogue, on obtient au final le lagrangien QED.

Bonjour,

Quand je parlais d'approximation cela n'a pas de rapport avec U(1) de l'électromagnétisme. Par approximation j'entends une situation ou un rectangle peut-être quelquefois proche d'un carré (qui est un sur-groupe du rectangle). Ce peut-être donc une molécule rectangulaire que tu approches par un carré. Dans le contexte des particules élémentaires le groupe SU(3) qui classe un certain nombre de baryons est un exemple de symétrie approchée.

J'en viens à QED.

Si l'on part du du groupe de Lorentz, son algébre de Lie c'est su(2)*su(2) et de ce groupe on peut construire toutes les representations irréductibles et elles sont en nombre infini et donc construire un nombre infinis de terme. Dans la pratique on prend un minimum de termes et on compare avec l'expérience. Bien entendu historiquement cela ne s'est pas du tout passé comme çà. Grosso-modo l'équation de Dirac a été prise comme racine carré de Klein-Gordon. Même chose pour l'électromagnétisme qui est à l'origine de la découverte du groupe de Lorentz.

D'où vient le groupe de jauge U(1)?

Quand on construit un Lagrangien (ou hamiltonien) à partir d'un groupe géométrique il peut se faire qu'il existe d'autres propriétès d'invariance qui sont cachées. Par exemple l'hamiltonien de l'atome d'hydrogène est construit à partir du groupe géométrique O(3). Hors l'expérience (dégénersence des niveaux) prouve que le groupe est O(4). Cela est du a la forme particulière du potentiel en 1/r.

Le groupe U(1) c'est la même chose. En plus du groupe de Lorentz il existe une symétrie cachée qui est l'invariance de jauge locale. C'est donc historiquement un constat. Du même coup cela met une contrainte supplémentaire sur la forme des termes issus de la seule invariance de Lorentz. Si maintenant on inverse la démarche: On construit la théorie en postulant que celle-ci doit être invariante de Lorentz + invariante selon un groupe G (que l'on qualifirera groupe de Jauge) de jauge alors on a la stratégie générale pour construire le modèle standard. Les groupes de jauge étant extrait de l'expérience.

[Niels Adribohr]

Bonjour,

Quand je parlais d'approximation cela n'a pas de rapport avec U(1) de l'électromagnétisme. Par approximation j'entends une situation ou un rectangle peut-être quelquefois proche d'un carré (qui est un sur-groupe du rectangle). Ce peut-être donc une molécule rectangulaire que tu approches par un carré. Dans le contexte des particules élémentaires le groupe SU(3) qui classe un certain nombre de baryons est un exemple de symétrie approchée..

Oui, dans la phrase que j'ai cité, quand je disais que j'avais à peu prêt compris, je parlais que j'avais compris la phrase sans la parenthèse parlant d'approximation Bon, en fait, je suis loin d'être au point sur la théorie des groupes.
J'imagine que ces approximations ont quelques choses à voir avec ce qu'on appelle une brisure de symétrie ?

Si maintenant on inverse la démarche: On construit la théorie en postulant que celle-ci doit être invariante de Lorentz + invariante selon un groupe G (que l'on qualifirera groupe de Jauge) de jauge alors on a la stratégie générale pour construire le modèle standard. Les groupes de jauge étant extrait de l'expérience.

C'est à peu prêt la démarche que j'ai décrite dans mon dernier post à propos de QED, non ?

[mariposa]

Bon, en fait, je suis loin d'être au point sur la théorie des groupes.

Ca vaut le coup d'investir beaucoup de temps dans la TRG, pour en gagner ultérieurement.

J'imagine que ces approximations ont quelques choses à voir avec ce qu'on appelle une brisure de symétrie ?

Il y a 2 notions de brisure de symétrie.

Brisure de symétrie.

Supposons un cristal plan de maille carré. Si tu exerces une pression dans le plan, le carré va se déformer en rectangle ou en losange. Il s'agit d'une pertes d'éléments de symétrie due a une action extérieure (ici une force mais cela aurait pu être un champ électrique ou n'importequoi d'autre).

Brisure"spontanée de symétrie.

Les atomes de maille carrée vibrent autour de leur position moyenne. En baissant la température la maille du cristal va devenir progressivement rectangulaire (par exemple), il s'agit d'une transition de phase du second ordre. Dans ce cas on dit que la symétrie est spontanément brisée dans la mesure où l'origine de la transition est interne: Le cristal cherche tout simplement à minimiser son énergie libre.

A noter que le développement d'un coté du rectangle c'est tout simplement l'augmentation l'amplitude d'un mode de vibration (le paramêtre d'ordre) du cristal carré de vecteur d'onde k=0. Ce que l'on appelle selon les contextes un mode mou ou boson de Golstone.

C'est à peu prêt la démarche que j'ai décrite dans mon dernier post à propos de QED, non ?

Oui à peu pret. C'est pourquoi j'ai écrit quelquechose d'autre pour avoir différents niveaux de "perception".

[philou21]

Est-ce qu'une brisure spontanée de symétrie correspond toujours à une levée de dégénérescence ?

[mariposa]

Est-ce qu'une brisure spontanée de symétrie correspond toujours à une levée de dégénérescence ?

Bonjour,

Rapidement on pourrait répondre que oui. Par exemple VO2 (un matériau sur lequel j'ai travaillé) est l'objet d'une transition de phase à 68°C qui transforme un isolant en semi-conducteur avec un saut de conductivité abrupte de 10 puissance 7.

Toutefois Il y a des subtilités. Par exemple avec l'effet Jahn-Teller l'abaisement de la symétrie du groupe ponctuel lève la dégéneresence des niveaux électroniques mais se couple aux mouvements atomiques si bien que la symétrie globale du mouvement électrons-vibrations est restaurée (C'est un cas où justement l'approximation de Born-Oppeiheinemer n'est pas valable)

[philou21]

Ok merci

mais en gros peut-on dire que la brisure se produit quand le système doit choisir une solution parmi plusieurs solutions dégénérées ?
la solution choisie devenant alors une représentation monodimentionnelle (ou d'une dimentionnalité au moins inférieure à celle de départ).

[mariposa]

Ok merci

mais en gros peut-on dire que la brisure se produit quand le système doit choisir une solution parmi plusieurs solutions dégénérées ?
la solution choisie devenant alors une représentation monodimentionnelle (ou d'une dimentionnalité au moins inférieure à celle de départ).

En effet le système doit choisir une solution. Si on reprend l'exemple du cristal a maille carré (x,y) celui-ci peut s'allonger suivant x ou suivant y. En fait il s'organise en domaines: Des régions suivant x et d'autres régions suivant y.

Plus concretement c'est l'exemple de la transition de phase vers le ferromagnétisme ou la transition s'accompage de domaines de directions d'aimantation différentes.

[Niels Adribohr]

Bonsoir,
j'ai encore une petite question : à partir du lagrangien de l'électromagnétisme, les équations d'Euler-Lagrange redonnent les équations de maxwell avec source (rot B et div E), mais je n'ai pas trouver comment retrouver les équations sans sources (div B et rot E) à partir de ce même lagrangien. Ne peut-on pas les retrouver de cette maniere ?

[Karibou Blanc]

Ne peut-on pas les retrouver de cette maniere ?

Si tu as prends le lagrangien de QED sans la partie correspondant aux fermions de Dirac (chargé sous U(1)), alors tu obtiens les equations de Maxwell sans source. Tu peux montré que le courant courant conservé associé à la symétrie U(1) n'est autre que le courant électromagnétique : .

[Niels Adribohr]

Si tu as prends le lagrangien de QED sans la partie correspondant aux fermions de Dirac (chargé sous U(1)), alors tu obtiens les equations de Maxwell sans source. .

Salut,
Pourtant en prenant le champ électromagnétique libre, je trouve l'équation d'Euler-Lagrange suivant:

d_μF^μν =0

ce qui donne div E= 0 et rot B= dE/dt


mais quid de div B=0 et rot E=-dB/dt ??

[Karibou Blanc]

dμFμν =0

Correct, tu noteras que le membre de droite est nul, donc il n'y a pas de source, sinon ce dernier serait jν avec l'expressions ci-dessus pour le courant j.

ce qui donne div E= 0 et rot B= dE/dt

qui sont toujours les équations de Maxwell sans source, notamment rho est nul.

mais quid de div B=0 et rot E=-dB/dt

Bonne question. En fait F^2 n'est pas le seul invariant de jauge pour le champ libre A. On peut également écrire ou
Tu obtiens alors une autre equation du mouvement de la forme :

qui correspond aux 2 eq. de Maxwell manquantes.

Remarque. En général on n'écrit pas un tel terme dans le lagrangien de QED car il n'est pas P invariant.

[Niels Adribohr]

Bonne question.
.

En fait, c'était ma question de départ . Désolé de ne pas avoir été clair, mais par "équation de Maxwell sans source", j'entendais ces deux équations. Il est vrai que les deux autres aussi peuvent être appelé comme ça quand les sources sont nuls.

En fait F^2 n'est pas le seul invariant de jauge pour le champ libre A. On peut également écrire ou
Tu obtiens alors une autre equation du mouvement de la forme :

qui correspond aux 2 eq. de Maxwell manquantes.

Remarque. En général on n'écrit pas un tel terme dans le lagrangien de QED car il n'est pas P invariant.

Très interessant ! Mais du coup, tout cela me laisse songeur !
Les champs E et B ne sont pas totalement spécifiés par le lagrangien QED ?
Au fait, que veut dire P invariant ? C'est l'invariance sous la parité ? Il s'agit d'un pseudo-scalaire ? Cela veut dire qu'une théorie du champ EM avec une invariance digne de ce nom ne donnerait pas forcément div B= 0 et rot E=-dB/dt ?

[gatsu]

Très interessant ! Mais du coup, tout cela me laisse songeur !
Les champs E et B ne sont pas totalement spécifiés par le lagrangien QED ?
Au fait, que veut dire P invariant ? C'est l'invariance sous la parité ? Il s'agit d'un pseudo-scalaire ? Cela veut dire qu'une théorie du champ EM avec une invariance digne de ce nom ne donnerait pas forcément div B= 0 et rot E=-dB/dt ?

Les equations et sont des equations de structure qui viennent directement de l'antisymetrie du tenseur de Faraday (qui implique l'invariance de jauge classique) c'est ce que représente simplement la seconde equation donnée par karibou blanc.

[Gwyddon]

Bonjour,

Très interessant ! Mais du coup, tout cela me laisse songeur !
Les champs E et B ne sont pas totalement spécifiés par le lagrangien QED ?

Si une fois ecrit ce lagrangien

Il faut ecrire un terme dans le lagrangien qui soit invariant de jauge pour le champ vectoriel A. De plus un lagrangien c'est homogene a une energie donc il te faut des termes qui soient carres/proportionnels au carre du champ A. Une analyse mathematique te donne soit le terme F² soit le terme avec un tilde donne par Karibou.

Maintenant pour l'EM :

Au fait, que veut dire P invariant ? C'est l'invariance sous la parité ?

Effectivement c'est l'invariance sous la parite (encore une histoire de symetrie ).

A noter que ce terme n'est pas interdit en QCD, mais generalement on l'oublie car il est source de violation CP (c'est le "strong CP problem") ; il faudrait pouvoir l'expliquer et c'est encore un probleme ouvert.

[Niels Adribohr]

Les equations et sont des equations de structure qui viennent directement de l'antisymetrie du tenseur de Faraday (qui implique l'invariance de jauge classique) c'est ce que représente simplement la seconde equation donnée par karibou blanc.

N'est ce pas un peu l'équivalent quadridimensionnel du fait que la divergence d'un rotationnel est nulle? En effet, prenons :

d_μF^νλ+d_λF^μν+d_νF^λμ

pour un sous-espace μνλ donné, F^νλ peut être vu comme la composante μ d'un rotationnelle, et comme la divergence d'un rotationnel est nul, il en suit nécessairement que :


d_μF^νλ+d_λF^μν+d_νF^λμ=0

D'où on retrouve les 2 équations de Maxwell restantes
Me trompes-je ?

[vaincent]

Tu obtiens alors une autre equation du mouvement de la forme :

qui correspond aux 2 eq. de Maxwell manquantes.

C'est presque ça sauf que tu as oublié le 4-gradient :



équations qui peuvent se noter également comme :



qui sont les identités de Bianchi pour le tenseur de Faraday.

Ces équations correspondent en effet aux 2 équations de Maxwell(les vecteurs sont notés en gras) :



Ces 2 équations donnent des propriétés des champs, et non des sources des champs comme c'est le cas des 2 autres équations obtenues à partir de la densité lagrangienne et du principe de moindre action. Il semble donc suffisant que seuls les équations avec sources apparaissent dans le lagrangien(raccourci de language).
Au final les 4 équations de Maxwell avec sources s'écrivent :