Repère local sphérique
Bonjour à tous.
Voici une question que je me pose. Je pense que la réponse n'est pas simple.
Supposons qu’un point M se déplace dans l’espace en fonction du temps et que sa position soit donnée en coordonnées sphériques :
OM = (r(t), Teta(t), Phi(t)).
Exprimer le vecteur vitesse aussi en coordonnées sphériques : OM' = (OM = (r_v(t), Teta_v(t), Phi_v(t)).
Quelqu'un a-t-il la réponse ?
Merci d'avance, Pierre
C'est standard…
Les vecteurs unitairesdépendent également du temps par contre, faut penser à les dériver aussi
Certes mais as-tu déjà essayé de développer ce calcul ? Les dérivées des vecteurs de base du repère local sont fournies toutes machées dans la formule qui donne la différentielle totale de OM, ce n'est donc pas ça le problème Mais le retour aux coordonnées polaires me paraît par contre inhumain. N'y a-t-il pas une formule plus condensée, avec des matrices jacobiennes, des gradients ou autres amusemnts du même genre ?Envoyé par guerom00
C'est standard…
Les vecteurs unitaires
Je ne comprends pas quand tu dis « le retour aux coordonnées polaires… »
Dans quel système de coordonnées crois-tu obtenir OM' ?
Tu as évoqué les vecteurs de base du repère local sphérique si je ne me trompe ? Il s'agit là d'un repère orthonormé et les coordonnées du point M dans ce repère sont des coordonnées cartésiennes (issues des coordonnées polaires du repère d'origine). Lorsque tu calcules OM' dans ce repère, ce qui est assez simple, tu trouves donc les coordonnées cartésiennes de OM' dans le repère local. Ce que je cherche ce sont les coordonnées polaires de OM' dans le repère d'origine.
C'est toi qui a parlé de « coordonnées » {r,theta,phi}. Moi, je ne sais pas ce que c'est, en particulier dans quelle base c'est…
Je connais :
sphérique :
cartésien :
En sphérique, c'est donné là. En cartésien, faut seulement dériver par rapport au temps
Je me trompe ?
bonsoir
Tout d'abord lorsqu'on calcul la vitesse d'un point on doit preciser par rapport a quel repere.
En suite comme tu l'a dit toi meme repere local il faut savoir que les reperes sphèrique et cylindrique ce sont des reperes qui se deplacent avec le point M.
et si notre vecteur position OM est exprimer en coordonnes cylindrique
OM = r.er + z.z
le mvt se fait suivant un repere de reference (cartisien)
alors VM/R = d[(OM)/dt]R
il suffit donc de deriver et d'appliquer les proprietes de la derivée des vecteur et on aura lvitesse qui est exprimée dans le repere cylindrique
mais la vitsse du point M dans le repere cylindrique est evidemment nulle.
J'ai effectivement parlé de coordonnées sphériques {r,theta,phi}. Ces coordonnées sont relatives à un système d'axes fixe Oxyz orthogonal. A ce système d'axes est de plus associé un système de coordonnées cartésiennes orthonormées, formant ce que j'ai appelé le repère de base.
Mais les relations que tu donnes sont applicables dans le repère local associé au point M, qui n'est pas fixe et qui de toutes façons ne fournit pas directement les coordonnées polaires du vecteur dérivée.
J'ai essayé de faire un calcul. En posant OM = (r(t), Teta(t), Phi(t)) et
OM' = (OM = (r_v(t), Teta_v(t), Phi_v(t)) je trouve :
r_v = [r'² + r² . Teta'² + r² . Phi'² . sin²(Teta)]^(1/2)
sin²(Teta_v) = (r'² + r² . Teta'²) / r_v²
tan(Phi_v) = r . Teta' / r'
Cela dit-il quelque chose à quelqu'un ?
Pierre
Pardon pour l'erreur de frappe, il faut poser :
OM' = (r_v(t), Teta_v(t), Phi_v(t))
bonsoir:
Pour mieux se comprendre je te pose ces questions:
* Quand tu dis repere locale ça veut dire quoi?
* Le point O ( origine du vecteur position OM) ça appartient a quel repere?
Bonjour
Excuse-moi je pensais que ces notations étaient en quelque sorte standardisées. Je reformule mon problème plus précisément.
Soit O un point fixe de l'espace et {Ox, Oy, Oz} un repère orthonormé. Ce repère constitue un référentiel galliléen.
Soit M un point mobile, repéré dans le repère Oxyz ci-dessus par ses coordonnées cartésiennes ou par ses coordonnées sphériques. En assimilant (comme on le fait toujours) l'espace affine {O, R3} et l'espace vectoriel R3, on peut écrire :
OM = M = (x, y, z) (en coordonnées cartésiennes)
OM = M = (r, Teta, Phi) (en coordonnées sphériques)
(je note les vecteurs en caractères gras)
Supposons maintenant que la position du point M dépend du paramètre t (le temps). Le vecteur OM est une fonction de t qui peut être décrite par ses fonctions coordonnées :
OM(t) = (x(t), y(t), z(t))
OM(t) = (r(t), Teta(t), Phi(t))
La dérivée du vecteur OM est parfaitement définie et est notée OM'. On sait exprimer les coordonnées cartésiennes de OM' en fonction de celles de OM (le résultat est classique) :
OM'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))
J'aimerais de même connaître l'expression des coordonnée sphériques de OM' en fonction de celles de OM.
Le passage par le repère local sphérique (qui est le repère d'origine M ) pour effectuer ces calculs n'est pas a priori obligatoire, mais il semble utile.
Pierre
bonjour,
c'est une question de changement de coordonnées. et non un changement de repère. Il ne faut pas confondre système de coordonnees (cartésien, sphérique...) et changement de repère. dans ce cas le point de référence, où tu accroches tes axes, est différent. O est différent de O'!!!
aurevoir
Je me répète mais là
y a un problème… Je serais curieux que tu me décrives tes 3 vecteurs unitaires de bases dans lesquels ton vecteur OM a ces coordonnées.
Ce n'est certainement pas la base sphérique locale habituelle {e_r,e_theta,e_phi} car dans cette base on a OM=(r,0,0)
Ça doit être une base très bizarre car Theta et Phi sont des angles, pas des longueurs
Bonjour:
Le vecteur position OM est donc relativement au repere carthesien Rc(O,x,y,z). Ce vecteur peut etre exprime dans le repere sphèrique Rs par : OM = r(t)Er
Le repere shèrique est ( M, Er, Epsi,Ephi)
La vitesse du point M relativement au repere carthèsien est :
VM/Rc =dOM/dt]Rc
= r'Er+r.dEr/dt]Rc
on applique donc la formule de derivation d'un vecteur unitaire d'un repere relativement à un autre repere:
dEr/dt]Rc = produit vectoriel de(vecteur rotation de RS/Rc )par Er
Or vecteur rotation de Rs/Rc = (psi)'Ephi+(phi)'z
et donc :
produit vectoriel de(vecteur rotation de RS/Rc )par Er
= (psi)'Epsi+(phi)'.sin(psi)Ephi
finalement:
VM/Rc = r'Er+r.(psi)'Epsi+r.(phi)'.sin(psi)Ephi
Remarque :
Si on s'interesse a un petit deplacement du point M on:
d(OM)= dr.Er+ r.d(psi).Epsi + r.sin(psi).d(phi).Ephi
element de volume :
on assimile le petit element a un cube on a dV = r^2.sin(psi).dr.d(phi).d(psi)
Element de surface sphère:r= R = constante (dr=0)
dS = R^2.sin(psi).d(phi).d(psi)
PS:: La formule de derivation vectorielle se demontre aisement
Oui mais ici peu d'intérêt, car dans ce repère (M, Er, Epsi, Ephi) le point M est immobile, le repère que tu donnes est centré en O. C'est bien ce qu'il me semblait tu mélange système de coordonnées et repère. tu es toujours dans le même repère, mais tu as changé de système!!!
Vous paraissez vous griser de formules mécaniques... Mais il faut aussi que vous compreniez ce qui se passe, faite des dessins par exemple, ça rend la méca plus jolie
au revoir
Tu as raison, je n'aurais pas du utiliser cette notation pour les coordonnées sphériques. Mais cela ne retire rien à la question de fond. As-tu compris la question ? Car en lisant les différentes réponses je crois que je n'ai pas réussi à me faire comprendre ...Je me répète mais là
y a un problème… Je serais curieux que tu me décrives tes 3 vecteurs unitaires de bases dans lesquels ton vecteur OM a ces coordonnées.
Ce n'est certainement pas la base sphérique locale habituelle {e_r,e_theta,e_phi} car dans cette base on a OM=(r,0,0)
Ça doit être une base très bizarre car Theta et Phi sont des angles, pas des longueurs
Pierre
il me semble que tu parle pour rien dire
bonsoir
j'en suis fort aise, néanmoins, je continue à penser qu'il y a confusion.
où alors je ne sais pas ce qu'est un repère.!!
Au revoir
bonsoir:
les coordonnées sphèriques sont : r,psi et phi elles sont tres bien indiquées dans mon message
VM/Rc = r'Er+r.(psi)'Epsi+r.(phi)'.sin (psi)Ephi
cette vitesse c'est la vitesse du point M par rapport au repere carthesien exprimée dans le repere sphèrique
on peut bien sur l'exprimée dans le repere carthesien en projetant les vecteurs : Er;Epsi et Ephi dans le repere carthèsien
Le repere carthesien Rc(O,x,y,z). et les coordonnées du point M dans ce repere sont;y et z
Le repere sphérique Rs(M,Er,Epsi,Ephi). et les coordonnées sphériques du point M dans ce repere sont:r;psi et phi
Pour finir je te demande de m'excuser pour ce mal entendu ( tu parle pour ne rien dire) je veux dire que tu n'as rien proposer pour le debat
bonjour,
il n'y a pas d'offense. Si justement, j'essaie de te montrer que dans le repère (M, Er, Epsi, Ephi) toutes les distance sont prise par rapport à M. donc dans ce repère le point M ne se déplace pas car c'est le point de référence. Par contre dans ton premier repère, tu changes de systèmes de coordonnées ici (O, Er, Epsi, Ephi) et je n'ai rien à redire à tes calculs.
cordialement
Bonjour à tous
Certains se chamaillent entre eux, d'autres pinaillent sur mes notations ... essayez plutôt de répondre à ma question SVP
Exprimer les coordonnées sphériques du vecteur OM' en fonction des coordonnées sphériques du vecteur OM. Tout cela dans le repère cartésien Oxyz (le passage éventuel par le repère local n'étant qu'un intermédiaire).
Merci, Pierre
Bonjour à tous
Certains se chamaillent entre eux, d'autres pinaillent sur mes notations ... essayez plutôt de répondre à ma question SVP
Exprimer les coordonnées sphériques du vecteur OM' en fonction des coordonnées sphériques du vecteur OM. Tout cela dans le repère cartésien Oxyz (le passage éventuel par le repère local n'étant qu'un intermédiaire).
Merci, Pierre
bonjour,
tu vas me trouver pinailleur, mais il faut que tu soit plus précis et plus rigoureux. Que sont les points O, M et M'? Une fois que tu nous auras précisé la situation, on pourra te donner des pistes.
cordialement
Salut,
Salut Pierrot92,
Quand vous écrivez
OM = (x(t),y(t),z(t)) (longueur, longueur, longueur)
je comprends que c'est un vecteur avec 3 composantes respectives sur les axes cartésiennes d'un vecteur-position.
Si vous écriviez
OM = F (r(t),Teta(t),Phi(t)) (F vectorielle)
je pourrais comprendre que c'est une fonction vectorielle en r, Teta et Phi qui eux sont fonctions du temps.
Mais quand vous écrivez
OM = (r(t),Teta(t),Phi(t)) (longueur, angle, angle)
je ne peux pas comprendre ce que c'est !
Donc, comment je pourrais travailler sur OM' ?
Si chacun ne respecte pas une écriture normalisée on ne pourra pas s'entendre facilement.
Les 3 coordonnées sphériques de M sont (r(t),Teta(t),Phi(t)), mais les 3 composantes respectives sur les axes trirectangles du système sphérique du vecteur-position OM sont (r(t), 0,0) (longueur, longueur, longueur) et non pas (r(t),Teta(t),Phi(t)) (longueur, angle, angle).
Cependant, grâce à
OM' = (x'(t),y'(t),z'(t))
je comprends déjà que OM' est le vecteur-vitesse ABSOLUE de OM mais sans plus.
Je soupçonne quand-même une piste grâce à votre post #5
- Vous dérivez l'expression OM =r.er et obtenez OM' (vitesse absoule !) dans une expression contenant er, eTeta et ePhi.
- OM' étant un vecteur lui-même, rien n'empêche de placer en M' un AUTRE système de coordonnées sphériques avec un autre er, un autre eTeta et un autre ePhi (mais à quoi ça servirait ?)
Est-ce que c'est cela ?
Je vous remercie pour ce message qui colle tout à fait à ma question. J'ai effectué le calcul que vous indiquez et on obtient, sauf erreur de ma part :
OM' = r' er + R Teta' eTeta + r sin(Teta) Phi' ePhi
La difficulté maintenant est, me semble-t-il, d'en déduire les coordonnées sphériques de OM' (dans le même repère que OM bien sûr).
Si on note ces coordonnées rv, Tetav et Phiv (v comme vitesse), je trouve :
rv = [r'² + r² Teta'² + r² Phi'² + sin²(Teta)]1/2
Les expressions de Tetav et Phiv sont horribles (avec des Arcsin et Arctan). Je me demandais s'il n'y a pas des expressions plus facilement manipulables avec des opérateurs vectoriels ou des matrices, d'où mon post sur ce forum. Mais en fin de compte je crois que non... Qu'en pensez-vous ?
Cordialement. Pierre
Tout ça pour ça… C'est ce que j'écrivais dans le message #6
D'ailleurs, c'est faux… Enfin, pas vraiment : faut voir comment vous définissez vos angles theta et phi. Il y a deux définissions contraires qui existent…
si tu as bien regarder mon message(14) ça indique bien l'exp^ression de la vitesse et elle est exprimée dans le repere sphèrique
VM/Rc = r'Er+r.(psi)'Epsi+r.(phi)'.sin(psi)Ephi
Mais si je comprend bien tu veux la position du point M apres son deplacement disant pendant un intervalle de temps soit M' en coordonnées sphérique mais franchement je ne vois pas d'utilité
