Bonjour, voila j'ai un système composé de trois masses reliées entre elles par des ressort, voila se que ca donne de facon synthetique :
Mur - ressort 1 - masse 1 - ressort 2 - masse 2- ressort 3 - masse 3 - ressort 4 - Mur
Je cherche à trouver les équations du systeme avec la relation de la dynamique F = ma cela va me donner trois equations une pour chaque masse en fonction des deplacements de chaque masse. Pourriez vous m'aider à établir ces equations ?
Merci, footale
Je t'établis la première équation pour la masse 1, pour les autres le raisonnement est identique. Je note x1 et x2 les positions des masses 1 et 2, k1, k2, L1, L2 les constantes et longueurs d'équilibre des ressorts 1 et 2. Je fixe l'origine au mur de gauche, x croissant de gauche à droite.
m.d²x1/dt² = Force(ressort 1) + Force(ressort 2) (+poids + réaction du support qui s'annulent éventuellement)
Force(ressort 1) = k1(L1-x1)
Pour trouver facilement les signes il suffit de raisonner physiquement, si x1 est plus grand que L1 le ressort 1 va tenter de ramener la masse 1 à gauche, d'où la force négative.
Force(ressort 2) = k2(L2-x1+x2)
De même, si x1 trop grand le ressort 2 va pousser la masse 1 à gauche et inversement, si x2 est grand le ressort va "tirer" la masse 1 vers la droite.
Pour la masse 1 on a donc :
m.d²x1/dt² = k1(L1-x1) + k2(L2-x1+x2)
Donc pour les masse 2 et 3 cela donne bien :
m.d²x2/dt² = k2(L2-x1+x2) + k3(L3-x2+x3)
m.d²x3/dt² = k3(L3+x2-x3) + k4(L4-x3)
Pourriez vous me dire si cela est correct surtout au niveau des signes.
Merci, footale.
Pour l'équation de la seconde masse c'est k2(L2+x1-x2) et non -x1+x2.
Le reste me semble correct.
Bonjour,
Je ne vois pas trés bien à quel endroit est appliqué la grandeur d'entrée (Exitation du système) ???Envoyé par footale
Par ailleurs, il est souvent utile de chercher à exprimer la vitesse de chaque masse par rapport à un point fixe.
Cordialement
Ludwig
L'excitation peut venir des conditions initiales...
Sinon oui footale tu pourrais calculer les positions d'équilibre (triviales si l'espace entre les deux murs est L1+L2+L3+L4), en définissant ensuite xn non pas comme la distance entre le mur de gauche et la masse n mais comme la distance de cette dernière par rapport à son point d'équilibre (attention à garder le même sens pour l'axe des x) tu devrais pouvoir virer tous les termes Ln des équations.
Bonjour
dans vos formules, je ne vois pas apparaitre la longueur entre les deux murs, ce qui est plutôt curieux.
Exact bien vu.
La dernière équation est donc
m.d²x3/dt² = k3(L3+x2-x3) + k4(L4-x3+L) avec L l'espace entre les murs.
C'est loin la prépa dis-donc
K4(L-L4-x3) plutôt non ?
