Dérivée par rapport au temps

[inviteea687b78]

Bonjour, dans le cas où a=f(x,y,z,t), je voudrais savoir laquelle de ces égalités est juste :

ou ?

Merci
-----

[invite88ef51f0]

Salut,
Je vote pour .

[invite69d38f86]

Bonjour, dans le cas où a=f(x,y,z,t), je voudrais savoir laquelle de ces égalités est juste :

ou ?

Merci

bonjour
les termes de droite sont bien définis alors que est une notation.
on a

divise les 2 termes par dt

[inviteea687b78]

Merci coincoin pour ton "vote"... C'est quand même une notation que tout le monde utilise, je me demande si on peut trouver quelque part une source sure à ce sujet...

bonjour
les termes de droite sont bien définis alors que est une notation.
on a

divise les 2 termes par dt

Tu as oublié quelques termes il me semble : a=f(x,y,z,t) donc



Je sais bien comment calculer , mais la question est de savoir "que vaut" . Comme tu le dis, c'est une notation, mais elle se rapporte à quoi ? La dérivée partielle ou la dérivée totale exacte divisée par dt ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d38f86]

A mon avis on ne peut utiliser la notation "point" que si l'on a une application de R (le temps) dans un espace vectoriel.
Avec a = f(x,y,z,t) f est une application définie sur l'espace temps.
on peut définir pour chaque t un fonction d'onde sur l'espace en prenant
est la dérivée aux memes points de l'espace
On a

qui est tres proche de ta deuxieme proposition

[inviteea687b78]

A mon avis on ne peut utiliser la notation "point" que si l'on a une application de R (le temps) dans un espace vectoriel.
Avec a = f(x,y,z,t) f est une application définie sur l'espace temps.
on peut définir pour chaque t un fonction d'onde sur l'espace en prenant
est la dérivée aux memes points de l'espace
On a

qui est tres proche de ta deuxieme proposition

J'ai un peu du mal à suivre le fil conducteur de ta pensée, mais j'ai cru comprendre qu'en gros tu étais d'accord avec coincoin, ce serait la deuxième égalité la bonne.
Bon, de toutes façons quand on dit "dérivée par rapport au temps", ça correspond plus à la deuxième expression...

Ce qui m'a induit en erreur c'est qu'on écrit souvent ce qui en fait est juste puisque ce qui implique que (puisqu'on a qu'une seule variable)

[invite2f966883]

oui, mais quand on n'a qu'une seule variable, on ne met pas de dérivée partielle, on met une dérivée "droite".

Mais pour répondre au sujet initial, je dirais que la notation "a point" représente la dérivée par rapport au temps. Si a est fonction de plusieurs variables, on met une dérivée partielle. Si a ne dépend que de t seulement, on met une dérivée droite.
( du moins, c'est ce que j'ai toujours entendu dire )

[invite24327a4e]

Personnellement j'aurais voté pour un d droit. Je vois ça comme une dérivée dans une image eulérienne, mais bon ça dépend du contexte.

[invite24327a4e]

Ca ne choque personne si je pose et que je défini ma vitesse comme car ne dépend pas de .
Cependant, je peux très bien exprimer cette vitesse en fonction de (à l'aide de ) et on aurait donc une accélération du type

Et également .

Au final, je pense qu'il vaut mieux retenir que le point est associé à une dérivée droite et qu'il suffit de savoir si x dépend de t (x) ou non (X). Il faut donc savoir si l'on se trouve dans une image lagrangienne ou eulérienne.

Dans le cas d'un solide parfait, le point x (que l'on devrait noter X) ne dépend pas du temps car il s'agit d'une image lagrangienne (le point est fixé au solide, on le suit).

[inviteea687b78]

Ca ne choque personne si je pose et que je défini ma vitesse comme car ne dépend pas de .

Je ne suis pas d'accord, pour moi ça ne sera pas toujours le cas. Voici un exemple qui contredit ton égalité

Prenons . On a bien avec qui ne dépend pas de



donc



Or,

Donc, on a bien dans ce cas qui ne dépend pas de mais avec



Ton égalité n'est donc pas toujours vraie.

[invite24327a4e]

dX/dt est nul, donc l'égalité marche non ?

[inviteea687b78]

Non car x=f(X,t) (c'est ce que tu as posé au tout début de ton message) donc dx/dt n'est pas nul.

[invite24327a4e]

Non, mais dX/dt l'est. On retombe sur nos pieds

[inviteea687b78]

Excuse moi je m'étais trompé de x (X) ...

Tout de même, je ne suis toujours pas d'accord :

mais par contre,
Il ne faut pas confondre les dérivées et les différentielles.

[invite69d38f86]

A spinfoam et zprotect

Si on pose x = Xt, X et t sont des variables indépendantes
vous discutez comme si dX/dt avait un sens (comme une dérivée)
C'est quoi pour vous deux dX/dt une limite et de quoi?

[invite7ce6aa19]

Petite remarque:

Quelle aurait été la tournure de la discussion si la question initiale avait été posée avec une fonction f écrite explicitement sous la forme:

f [x(t), y(t), z(t), t]

[inviteea687b78]

A spinfoam et zprotect

Si on pose x = Xt, X et t sont des variables indépendantes
vous discutez comme si dX/dt avait un sens (comme une dérivée)
C'est quoi pour vous deux dX/dt une limite et de quoi?

Je n'ai pas dit, ni laissé entendre que dX/dt avait un sens proche de la dérivée. dX/dt est simplement un rapport de petites variations de variables. Je rappelle que dx désigne h dans f(a+h)-f(a), et qu'on fait une approximation d'ordre 1 quand on écrit df=f(a+h)-f(a).

Pour être plus clair :

désigne un ensemble de fonctions. Si je choisis et , alors on a qui désigne non plus un ensemble de fonctions, mais une fonction particulière.
Mais attention, , n'est pas une quantité (pas une quantité constante). C'est une fonction dont les variables sont et .
On pourrait écrire .

Intuitivement, c'est logique : en un point de l'espace, je ne peux pas définir la variation de ma fonction, car bien évidemment, cette variation dépendra de la variation infligée aux variables. Il faut dire : "en ce point de l'espace, si j'inflige une petite variation à x et y (variations = dx et dy), alors, ma fonction variera de .

Donc, lorsqu'on écrit dX/dt, il faut bien comprendre que dX et dt sont les variables de la fonction df. On a tendance à se tromper car on utilise la même notation pour df et dx. Il faut plutôt le lire comme ça : , ça nous permet de bien voir que dx n'est pas une fonction différentielle, c'est une variable !

Petite remarque:

Quelle aurait été la tournure de la discussion si la question initiale avait été posée avec une fonction f écrite explicitement sous la forme:

f [x(t), y(t), z(t), t]

Ce cas ne pose pas de problème, puisqu'en fin de compte, dans ce cas il n'y a qu'une seule variable. f[x(t),y(t),z(t),t]=f(t) tout simplement.
Si tu ne le vois pas, je te donne un exemple :


et




Donc,



Ce cas a été traité plus haut : pour une fonction à une seule variable, la question initiale ne se pose pas puisque

[invite24327a4e]

zedprotect, sais-tu ce qu'est une dépendance explicite et implicite ?
En mécanique analytique par exemple, même si les coordonnées généralisées dépendent du temps, elles figurent dans le lagrangien et sont considérées comme indépendantes.
Il ne suffit donc pas de dire que L({q},{q°i},t) = L(t), et il en va bien sûr de même dans le cas présent.

[invite69d38f86]

Est tu donc persuadé que la bonne notation est avec les d ronds?

Si tu connais les équations de Lagrange pour un système de points elles existent également pour un champ sur l'espace qui varie dans le temps.
On y utilise la notation point pour la dérivée partielle par rapport au temps.
Dans les équations de Lagrange dans ce cas il n'y a que des d ronds.

[invite24327a4e]

Personnellement, je maintiens que la notation point intervient uniquement pour des dérivées totales, donc pour des d droits.

[inviteea687b78]

zedprotect, sais-tu ce qu'est une dépendance explicite et implicite ?
En mécanique analytique par exemple, même si les coordonnées généralisées dépendent du temps, elles figurent dans le lagrangien et sont considérées comme indépendantes.
Il ne suffit donc pas de dire que L({q},{q°i},t) = L(t), et il en va bien sûr de même dans le cas présent.

Il me semble que ça n'est pas la même chose :

Quand tu écris : L({q},{q°i},t)
on a q qui dépend de t mais pas seulement. En mécanique analytique, on ne parle pas d'un système mais de chaque point de ce système. Donc, quand tu veux parler d'une position, ou d'une vitesse, ou autre, tu as deux paramètres :
1) la position du point traité (ce point appartient au système)
2) le temps

On ne parle donc plus de V(t), mais de V(q,t).
Je suis d'accord avec toi pour dire que f(q,t) ne peut pas se réduire à ce que j'ai écris. Par contre, quand on écrit f(t), il est assez explicite qu'il n'y a aucun degré de liberté entre f et t...
On a donc bien : f[(x(t),y(t),z(t),t]=f(t).

A aucun moment je n'ai affirmé que f[x(q,t),y(q,t),z(q,t),t]=f(t).

Personnellement, je maintiens que la notation point intervient uniquement pour des dérivées totales, donc pour des d droits.

Elle est là pour moi l'erreur. Les d droits ne sont pas des "dérivées totales", ce sont des différentielles totales et ça fait toute la différence.
Un rapport de d droits ne donne une dérivée que dans le cas des fonctions à une variable ()

Plus on discute sur ce sujet, et plus je crois que

[invite24327a4e]

Non, la forme différentielle c'est le df qui est une application d'un R-ev E dans l'ensemble des 1-formes sur E.
df/dt est juste la fonction dérivée, et en aucun cas une forme différentielle.

[invite69d38f86]

Bonjour spinfoam.

Explicite de quelle applications il s'agit (EV de depart,d'arrivée etc ) et quelle est l'application dérivée avec a = f(x,y,z,t).s

[inviteea687b78]

Non, la forme différentielle c'est le df qui est une application d'un R-ev E dans l'ensemble des 1-formes sur E.
df/dt est juste la fonction dérivée, et en aucun cas une forme différentielle.

C'est ce que j'ai dit, la différentielle c'est le df. Si tu relis bien mon message tu verras que j'ai dit que les d droits sont les différentielles, et que df/dx est un rapport de différentielles.

df/dx est donc un rapport de différentielles, qui est une dérivée seulement si f est une fonction à une variable.
Pour une fonction à plusieurs variables, df/dx n'est pas une dérivée.

D'ailleurs, on dit différentielle (totale) pour un d droit et dérivée (partielle) pour un d rond...

Si ça peut t'aider, tu peux le voir comme ça :

Si f est une fonction à une seule variable x, f=f(x) et :



Ce qui nous donne :



(df/dx est égale à la dérivée de f, mais ça ne marche que si f n'a qu'une seule variable!)