Poutre sur deux appuis et un porte a faux

[invite27df88c8]

Bonjour a tous,

Quelqu'un saurait-il quelle est la formule de la fleche max et la flecha à l'extremité C de la poutre ci-joint.

Merci !
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[invitee0b658bd]

bonjour,
la methode la plus simple quand on a pas une formule toute faite, c'est de tracer les diagrammes d'efforts tranchants et de moment flechissant et d'integrer pour avoir la deformée
fred

[invitece2661ac]

Bonjour:

je veux t'aider mais je ne parviens pas a ouvrir ton doc en jpg ; faites un croquis et puis apres ....

[invitee0b658bd]

bonjour,
c'est un cas hyper statique, le plus simple c'est de faire l'etude et de poser lors de l'integration la constante qui va bien pour avoir une deformée nulle en C

fred

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0b658bd]

bonjour,
ou peut etre encore plus évident, tu poses comme inconue hypestatique le couple du a l'encatrement, tu commences donc l'étude comme celle d'une poutre sur deux appuis simples et lors de la premiere integration du moment flechissant tu ajustes la constante d'integration pour avoir une pente nulle à l'encastrement.
fred

[invitece2661ac]

Bonjour::

phase statique:
Ra + Rb = q.(L +a)..........-1- equation de la resultante
Ma +L. Rb = (q/2).(L + a)^2.......equation du moment au point A.

On a deux equations a tois inconnues donc structure hyperstatique d'ordre 1; il faut utiliser une equation de la RDM pour rendre la resolution possible.
Zone 1 : 0<x<L
* Effort tranchant : T1(x) = - [ Ra - q.x ] = - Ra + q.x
* Moment de flexion: Mf1(x) = - [- x.Ra + (q/2).x^2]
* Deformée: Hypothèse effet de T negligè devant celui de Mf alors:
E.I.y''(x) = Mf1(x) = [ x.Ra - (q/2).x^2]
E.I.y'(x) = [ (Ra/2).x^2 - (q/6).x^3] + K1 ( K1 = 0 car y'(0) = 0 )

tu auras la suite plus tard

[invitece2661ac]

Rebonjour: me revoila pour la suite

Zone 1 : 0<x<L
* Effort tranchant : T1(x) = - [ Ra - q.x ] = - Ra + q.x
* Moment de flexion: Mf1(x) = - [- x.Ra + (q/2).x^2]
* Deformée: Hypothèse effet de T negligè devant celui de Mf alors:
E.I.y''(x) = Mf1(x) = [ x.Ra - (q/2).x^2]
E.I.y'(x) = [ (Ra/2).x^2 - (q/6).x^3] + K1 ( K1 = 0 car y'(0) = 0 )
E.I.y(x) = [ (Ra/6).x^3 - (q/24).x^4] + K2 ( K2 = 0 car y(0) = 0 )

onc la deformée dans la premiere zone se reduit à:
E.I.y(x) = [ (Ra/6).x^3 - (q/24).x^4]
Aussi y(L) = 0 implique : (Ra/6).L^3 - (q/24).L^4 = 0..........-3-

-3- nous donne : Ra = (q /4).L

Les equation -1- et -2- nous donnent les inconnues Rb et Ma si elles sont demandées.

Zone 2 : L<x<L +a
* Effort tranchant : T2(x) = -q. [ L +a -x ]
* Moment de flexion: Mf2(x) = - (q/2).[L + a -x]^2
* Deformée: Hypothèse effet de T negligè devant celui de Mf alors:
E.I.y''(x) = Mf2(x) = - (q/2).[L + a -x]^2
E.I.y'(x) = +(q/6).[L + a -x]^3 + K3
E.I.y(x) = - (q/24).[L + a -x]^4 +x.K3 + K4

Coditions de continuité :
* y'1(L) =y'2(L) .........-4-
* y1(L) =y2(L) = 0.........-5-
-4- E.I.y'1(L) = [ (Ra/2).L^2 - (q/6).L^3] = - (q/24).L^3
E.I.y'2(L) = +(q/6).[a ]^3 + K3
Donc : K3 = - (q/24).L^3 - (q/6).[a ]^3

-5- E.I.y2(L) = - (q/24).[ a ]^4 +L.K3 + K4 = 0
K4 = (q/24).[ a ]^4 - L.K3 = (q/24).[ a ]^4 + (q/24).L^4 + L. (q/6).[a ]^3

La fleche maxi depend des valeurs de a et L. donc elle peut etre dans la premiere zone ou dans la deuxieme ( si a>L par exemple)

[invitece2661ac]

bonsoir:

desolé j'ai oublie le moment Ma dans l'expression de Mf1.

phase statique:
Ra + Rb = q.(L +a)..........-1- equation de la resultante
Ma +L. Rb = (q/2).(L + a)^2.......-2-equation du moment au point A.

On a deux equations a tois inconnues donc structure hyperstatique d'ordre 1; il faut utiliser une equation de la RDM pour rendre la resolution possible.
Zone 1 : 0<x<L
* Effort tranchant : T1(x) = - [ Ra - q.x ] = - Ra + q.x
* Moment de flexion: Mf1(x) = - [- x.Ra + (q/2).x^2 + Ma]
* Deformée: Hypothèse effet de T negligè devant celui de Mf alors:
E.I.y''(x) = Mf1(x) = [ x.Ra - (q/2).x^2 - Ma ]
E.I.y'(x) = [ (Ra/2).x^2 - (q/6).x^3 -x.Ma] + K1 ( K1 = 0 car y'(0) = 0 )
E.I.y(x)=[(Ra/6).x^3 - (q/24).x^4 -(Ma/2)x^2] + K2 ( K2 = 0 car y(0) = 0 )

donc la deformée dans la premiere zone se reduit à:
E.I.y(x) = [ (Ra/6).x^3 - (q/24).x^4 -(Ma/2)x^2 ]
Aussi y(L) = 0 implique : (Ra/6).L^3 - (q/24).L^4 -(Ma/2)L^2= 0..........-3-
(Ra/3).L - (q/12).L^2 -Ma= 0..............-3'-

finalement on trois equations:
Ra + Rb = q.(L +a)..........-1-
Ma +L. Rb = (q/2).(L + a)^2.......-2-
(Ra/3).L - (q/12).L^2 -Ma= 0..............-3'-

on obtient:: Ra = (3.q/4.L).[(5/6).L^2 - a^2]
Ma= (Ra/3).L - (q/12).L^2
= (q/4).[(5/6).L^2 - a^2]- (q/12).L^2
= (q/4).[(5/6).L^2 - a^2 - (1/3).L^2]
Ma = (q/4).[(1/2).L^2 - a^2 ]
Pour Rb = q.(L +a) - Ra

Zone 2 : L<x<L +a
* Effort tranchant : T2(x) = -q. [ L +a -x ]
* Moment de flexion: Mf2(x) = - (q/2).[L + a -x]^2
* Deformée: Hypothèse effet de T negligè devant celui de Mf alors:
E.I.y''(x) = Mf2(x) = - (q/2).[L + a -x]^2
E.I.y'(x) = +(q/6).[L + a -x]^3 + K3
E.I.y(x) = - (q/24).[L + a -x]^4 +x.K3 + K4

Coditions de continuité :
* y'1(L) =y'2(L) .........-4-
* y1(L) =y2(L) = 0.........-5-
-4- et -5- te permettent de determiner K3 et K4.

La fleche maxi depend des valeurs de a et L. donc elle peut etre dans la premiere zone ou dans la deuxieme ( si a>L par exemple)