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Torseurs en mécanique



  1. #1
    citron_21

    Torseurs en mécanique


    ------

    Bonjour à tous,
    la notion de torseurs me paraissant un peu abstraite, j'essaye de mettre en rapport la définition avec des exemples de torseurs.
    Pouvez-vous m'expliquer ce que je ne comprends pas ?

    Un torseur est un outil mathématique caractérisant un champ de vecteurs Vi appliqués à un ensemble de points Mi. On définit le torseur grâce à ses éléments de réduction :
    - la résultante R des vecteurs Vi du champ
    - le moment MA de l'ensemble des vecteurs Vi en un point A

    Le torseur cinématique pour un solide est : [ΩS/Ro,vA]

    avec ΩS/Ro le vecteur rotation du solide par rapport au référentiel fixe Ro et vA la vitesse d'un point quelconque A du solide.

    Je vois un peu pourquoi ΩS/Ro joue le rôle de résultante des vecteurs vitesses des points du solide; mais pas du tout pourquoi vA représente le moment en un point A de l'ensemble des vecteurs vitesse des points appartenant au solide...

    Merci d'avance d'une petite explication !

    -----
    "Lorsque deux forces sont jointes, leur efficacité est double", Isaac Newton

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  4. #2
    Rincevent

    Re : Torseurs en mécanique

    salut,

    Citation Envoyé par citron_21 Voir le message
    pourquoi vA représente le moment en un point A de l'ensemble des vecteurs vitesse des points appartenant au solide...
    par définition, ton champ de vitesse sera le moment d'un torseur s'il existe un champ constant tel que v_B = v_A + Om ^ AB

    on peut montrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour ça est que le champ en question soit équiprojectif, c'est-à-dire vérifie v_A . AB = v_B . AB où le point est le produit scalaire.

    or, par définition, un solide est rigide si, en prenant 2 points quelconques du solide, la distance qui les sépare est constante au cours du temps. Tu as donc AB=cst pour n'importe quels points.

    Si tu écris ça de manière vectorielle, ça te donne

    mais tu peux donc aussi écrire

    or, si tu dérives le produit scalaire, ça te donne

    et donc , ce qui est la définition d'un champ équiprojectif.

    pour résumer : supposer que ton ensemble de points (ton solide donc) est rigide est équivalent à supposer que le champ de vitesse associé est équiprojectif et donc qu'il existe un vecteur Omega constant tel que... etc...

    après, on peut montrer des propriétés équivalentes pour diverses autres grandeurs physiques et c'est pour ça qu'on introduit parfois la notion de torseur... mais en soit, elle n'est pas super importante... ce qui compte, ce sont les propriétés des champs.
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  5. #3
    citron_21

    Re : Torseurs en mécanique

    D'accord, merci beaucoup de l'explication
    Mais, j'ai juste vu en cours ce qu'était le torseur cinématique (torseur des vecteurs vitesse d'un solide), je ne sais pas ce que veux dire "champ équiprojectif"
    Si ce n'est la définition mathématique que tu m'a donnée.
    Est-ce qu'il ya une définition intuitive pour comprendre cette notion ?
    "Lorsque deux forces sont jointes, leur efficacité est double", Isaac Newton

  6. #4
    Rincevent

    Re : Torseurs en mécanique

    Citation Envoyé par citron_21 Voir le message
    je ne sais pas ce que veux dire "champ équiprojectif"
    Si ce n'est la définition mathématique que tu m'a donnée.
    ça veut rien dire de plus... enfin, juste au cas où : dans équiprojectif, y'a équi et y'a projectif... ça dit juste que si tu prends deux points quelconques, les lies par un vecteur et prends les valeurs prises par le champ en ces deux points, les deux vecteurs (v_a et v_b donc) ont la même projection le long du vecteur AB qui relie les points...

    mais de toutes façons ça sert à rien en dehors de ce contexte... et comme c'est strictement équivalent à dire qu'il existe un vecteur constant tel que v_b=v_a+om^ab, pas la peine de trop te prendre la tête avec... il est plus important de se souvenir de cette relation...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    citron_21

    Re : Torseurs en mécanique

    D'accord !
    merci beaucoup de tes explications
    "Lorsque deux forces sont jointes, leur efficacité est double", Isaac Newton

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