Bonjour,
Je souhaite retrouver la relation de Saint-Venant entre la température statique et la température génératrice d'un gaz supposé parfait :



où est le nombre de Mach de l'écoulement.

Je souhaite parvenir à établir cette relation en considérant l'arrêt isentropique d'un gaz parfait d'un état initial mobile caractérisé
par son énergie interne massique , son énergie cinétique massique associée à sa vitesse de déplacement , sa température , sa pression et sa densité vers un état d'écoulement final caractérisé par les mêmes grandeurs indicées par f dont la vitesse est donc nulle.

J'expose ici le début de mon raisonnement:
Je détermine la variation d'énergie totale du gaz:



avec ici car la transformation est isentropique.
est le travail des forces extérieure à la particule fluide considérée, ici je ne vois que le travail des forces de pression, c'est peut être là que je me trompe ?
on a donc:

dans le cadre du modèle du gaz parfait, on peut écrire:



Maintenant toute mon attention se porte sur le terme , je me dis que si je parviens à l'exprimer à partir d'une différentielle en T j'aboutirais à la relation voulue, mais je n'y parviens pas, j'ai beau triturer, différencier toutes les relations thermodynamiques que je pense utiles, je n'arrive pas à obtenir une forme correcte me permettant d'intégrer cette relation de l'état initial à l'état final.
Je voudrais que vous me disiez ce que je n'arrive pas à voir et s'il y a une erreur dans le début du raisonnement, ou éventuellement une autre méthode sans embrouilles de démonstration de cette relation à partir des lois de bases de la thermodynamique.

Merci d'avance,
Geoffrey