Torseurs en 4D

[invité576543]

Bonjour,

Je crée ce fil comme drageon d'un autre, pour éviter une déviation vers un sujet quelque peu collatéral à l'autre.

Les torseurs du groupe de Poincaré vivent dans l'algèbre de Lie duale de ce groupe. Ils sont caractérisés par la donnée:
* d'un quadri-vecteur énergie-impulsion associé à l'invariance vis à vis du groupe des translations spatio-temporelles (c'est un moment de ce groupe)
* d'une 2-forme associée à l'invariance vis à vis du groupe de Lorentz (c'est un moment de ce groupe). C'est une sorte de moment qui tourne dans l'espace-temps au lieu de tourner dans l'espace. Numériquement c'est une matrice 4x4 donnant 6 composantes de rotation dans 6 plans perpendiculaires 2 à 2 dans l'espace-temps de Minkowski, comme le tenseur électromagnétique (au lieu des 3 rotations dans 3 plans perpendiculaires que l'on a quand le groupe considéré est le groupe des rotations autour d'une origine dans l'espace Euclidien 3D au lieu d'être le groupe de Lorentz, le groupe des rotations autour d'un évènement origine dans l'espace-temps de Minkowski).

Plusieurs choses m'intriguent. La première est l'allusion à l'énergie-impulsion, qui semble manquer de généralité.

L'autre est plus subtile. Un torseur classique est déjà un torseur 4D, dans l'espace-temps de Galilée, si on le voit comme un champ de vecteur (invariant) dans le temps.

Le passage en 4D Minkowskien peut se voir de deux manières. Soit en gardant un champ de vecteurs invariant dans le temps, mais en l'adaptant pour supprimer la divergence à l'infini à distance infinie, soit en rajoutant les degrés de liberté correspondant aux "rotations" temps/espace.

Mais, peut-être naïvement, une différence d'angle "Lorentzien" étant une différence de vitesse, une "rotation" uniforme est pour moi une accélération uniforme. Je m'attend donc à voir l'apparition de 3 degrés de liberté supplémentaires qui seraient une accélération uniforme, ou en d'autres termes un champ gravitationnel constant dans le temps et l'espace.

Mais je n'arrive pas à lire cela dans le poste de B.C.

Cordialement,
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[invité576543]

Bonjour,

Je ne te suis pas bien dans le vocabulaire. Il y a plein de torseurs 4D, j'imagine. Pourquoi appeler la résultante "énergie-impulsion" ?

Parce que le vecteur résultante du torseur du groupe de Poincaré est le quadri vecteur énergie impulsion.

Euh... C'est un peu, comment dire, court, comme réponse.

Ce serait comme appeler "quantité de mouvement" la résultante de tout torseur 3D, non?

C'est ça mais par pour tous les torseurs 3D.
* La quantité de mouvement d'un solide c'est la résultante de son torseur cinétique
* le moment cinétique d'un solide c'est le moment de son torseur cinétique.

Le torseur cinétique et le torseur des actions mécaniques appliquées sur un solide sont des grandeurs physiques différentes, mais elles sont représentées par le même type d'entité mathématique. Du point de vue mathématique, le torseur des actions mécaniques appliquées à un solide et le torseur cinétique sont des éléments du dual de l'algèbre de Lie du groupe d'Euclide (les torseurs du groupe des isométries de l'espace Euclidien 3D). BC

Donc en 3D on a bien divers torseurs, de diverses grandeurs, et la résultante à diverses significations.

Si on part de la définition d'un torseur en 3D d'un champ V de vecteur tel que

on peut (naïvement?) définir un torseur 4D est un champ de quadrivecteurs (de grandeur quelconque) seulement contraint par tel que

Auquel cas à un torseur 3D correspond le torseur 4D , qui respecte bien la propriété ci-dessus.

Mais le champ uniformément accéléré aussi.

Cela permet de construire des champs de vitesse, d'énergie-impulsion, ou de force, exactement comme en 3D, sans restriction.

Où est l'erreur?

Cordialement,

Note: La formule du champ uniformément accéléré donne bien 10 degrés de liberté, 6 pour le torseur 3D, 3 pour l'accélération et 1 degré dans le choix de O (un changement O₁ en O₂ est équivalent à l'ajout de ).