gros problème d'intégration sur un carré(force de laplace)

[invitea374bae8]

Bonjour,
cela fait très longtemps que je me prends la tête sur ce problème:j'aimerais que quelqu'un infirme ou confirme mes résultats avec une relative certitude.
Voici mon problème:un carré de coté a, de resistance R,de masse m, est plongé dans un champ magnétique non uniforme:B=(Bo-bz)ux (Bo et b des constantes,b non nul)
on se place dans un repère indirect: (Ux est vers nous,le sens positif est de z vers y)
O------------------------------------------------------> y
|
| I------I
| I I
| I------I
|
| z
|
|
v
J'aimerais calculer la force de laplace subit par ce cadre qui tombe à cause de la pesanteur.

Un de mes problème est le suivant:j'ai établi(à tort ou a raison)que i était "du signe de b"(si b>0 alors i est dans le sens positif).
De ce fait, le sens du dl dépend de celui de b.J'ai donc du utiliser le fait que b.dl était toujours porté par le même vecteur,qqsoit le signe de b.
Je trouve
F=(-b*a³z'(t)/R)[(b(2z+a)+2Bo)Uz-(b(2z+a)+2Bo)Uy]

Merci beaucoup d'avance pour votre aide!
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[invitea3eb043e]

Pourquoi ne pas simplement calculer la variation de flux magnétique quand le cadre est tombé de dz ? Ca fait intervenir le champ en haut et en bas, pas sur les côtés (si j'ai bien compris le schéma).
Ensuite il faut calculer la réponse électrique donc le courant i induit. Pas sûr qu'on puisse négliger la self, ça dépend de la résistance. Je suppose qu'il n'y a pas de générateur.
Ensuite quand on a le courant on peut calculer la force, ce qui est simple.

[invitea374bae8]

Il n'y a pas de self, c'est juste un carré de resistance R...
Le calcul du courant ne ma pas posé de problème:j'ai calculé le flux puis je l'ai dérivé pour avoir -e, le courant induit.J'en ai ensuite déduit i car le circuit n'est composé que d'une resistance:mon problème se situe sur l'intégraton...

Ensuite quand on a le courant on peut calculer la force, ce qui est simple

c'est bien la mon problème...

[invitea3eb043e]

Tout circuit fermé a une self mais disons qu'on la néglige.
Pour la force, c'est simplement BI l calculé en haut et en bas avec le signe qui va bien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea374bae8]

l'intégration me bloque complètement avec ce repère indirect et le dl qui peut changer de sens avec b...Pourriez vous me débloquer?