Etudes des vibrations d'une corde

[inviteed373d9c]

Bonsoir. J'etudie les vibrations d'une corde de masse lineique , soumise a une tension et comprise entre deux impedances _a et _b.
Mais il y'a des choses que je n'arrive pas a assimiler. je souhaite donc exposer mon probleme dans l'espoir d'etre convaincu :

Voila le systeme : Systeme.

En prenant l'origine des abscisse le point A, alors l'onde sur la corde serait de la forme :



On pose et .

Avec : l'impedance caracteristique de la corde.

On aura alors en tenant compte des conditions aux limites :
- en A : ------
- en B : ------

Avec L : Longueur de la corde. (J'ai refais plusieurs fois les calculs)

et etant des nombres complexes, on peut ecrire :

et

Des deux egalités et , on obtient :


D'ou :
------
------

En developpant l'equation (2) on trouve :------

1/ L'equation (3) est l'equation des pulsations propres. c'est quoi vraiment les pulsations propres? serait-il obligatoire que le systeme soit soumis a cette pulsation pour qu'il y'ait oscillations? En d'autres termes, est-ce que si le systeme oscille librement alors la pulsation de ce systeme est de cette forme?

2/ De l'equation (1), pourrait-on comprendre que les impedances ne peuvent etre choisies au hasard et qu'ils devraient plutot satisfaire cette equation?

3/ Est-ce que le de l'equation (3) est choisi independemment des conditions initiales? si c'est le cas, alors comment je pourrais, rien qu'avec des conditions initiales, avoir l'equation de l'onde? (puisqu'on peut pas determiner )

4/ Finalement, apres avoir determiner les constantes A et B, de l'equation generale de l'onde doit-on utiliser que la partie réelle? si c'est le cas, la partie imaginaire a-t-elle un sens physique? Comment est ce qu'on a eu la certitude qu'en faisant intervenir les complexes, le resultat ne sera pas faussé?

Voila, j'espere vraiment trouver une reponse a ces questions. et merci d'avance!!
-----

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Arrêtons de faire des maths et faisons un peu de physique.
Vous avez une onde qui se réfléchit partiellement chaque fois qu'elle arrive à droite et aussi partiellement chaque fois qu'elle arrive à gauche. Donc, l'amplitude de l'onde décroît nécessairement avec le temps. Donc, vous ne pouvez pas avoir une solution comme celle que vous avez écrite dans la première équation. Il faudrait que le tout soit multiplié par quelque chose comme exp(-t/tau) pour décrire la décroissance dans le temps.

Vous ne pouvez avoir une situation stationnaire que si l'onde est "alimentée" en permanence. Par exemple, par un archet de violon. Ou par une onde venant de gauche ou de droite des extrémités de la corde.
Au revoir.

[inviteed373d9c]

Oui d'accord je vous comprends. Mais si l'onde est reflechie totalement dans les deux extremités (c.a.d ), suffirait-il qu'on donne a un point quelconque de la corde une position initiale pour qu'il y'ait mouvement permanent?
Dans l'autre cas, comment obtenir le tau?

Merci beaucoup pour votre aide!

[invite6dffde4c]

Re.
Oui. Si la réflexion est totale, on aura une onde stationnaire d'amplitude constante (si on néglige les pertes).
Mais votre condition d'avoir le coefficient de réflexion à 1 est très restrictive chacun d'eux peut être à +1 ou à -1. Il fait, évidement, que le Z des extrémités soit infini ou zéro.

Pour obtenir le tau il faut écrire les équations, comme vous avez fait, mais avec le terme multiplicatif. Puis identifier les termes. Mais je ne l'ai jamais fait. Si vous n'arrivez pas, montrez nous où ça ne va pas et je verrai si je peux vous aider.

Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteed373d9c]

Oui je comprends beaucoup mieux pourquoi, avec mes equations de depart,il aurait fallut que .
Je vais essayer d'obtenir le . En attendant, serait-il possible que vous répondiez aux autres de mes questions precedentes :
1/ c'est quoi les pulsations propres.
2/ sur quelle base est choisie le de l'equation aux pulsations propres ? (Si c'est avec les conditions initiales alors comment?)
3/ Apres la determination de toutes les constantes, doit-on utiliser seulement la partie réelle? La partie imaginaire aurait-elle un sens physique?

[invite6dffde4c]

Re.
Les modes propres sont les modes d'oscillation d'un système en absence d'excitation externe. Vous pincez une corde et vous entendez les modes propres (un tas).
On ne choisit pas le 'n'. En principe tous sont là. Même si on peut modifier les amplitudes suivant la façon d'exciter le système. Vous n'obtiendrez pas le même son si vous pincez une corde au milieu ou près d'une extrémité.
La partie réelle a été ajoutée pour transformer les sinusoïdes en exponentielles. Mais les sinusoïdes sont toujours là, en tant que partie réelle. Donc, seule la partie réelle a de sens physique.
À demain.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
En réfléchissant, je pense qu'on ne peut pas trouver tau directement avec les conditions limites. Je vous donne un autre raisonnement.
Prenez une onde d'amplitude A qui part vers la droite. Après réflexion, elle revient avec une amplitude AR2 puis après réflexion à gauche elle revient au point de départ avec une amplitude A|R2R1|. Comme il y a la phase qui change, mais qu'après l'aller retour l'onde revient en phase, il faut mettre le R1R2 en module.
Pour ce changement d'amplitude, l'onde à mis le temps d'un aller-retour.
Donc, si la longueur de la corde est L et la vitesse de propagation V, le temps sera 2L/V. Et on peut écrire:

Ce qui permet d'obtenir tau.
Au revoir.

[invite3d68552f]

a mon avis "n" représente l'ordre de la déformée modale. en d'autres termes, pour chaque valeur de "n" vous obtenez une valeur de pulsation propre, qui elle est liée à un mode propre du système "corde".

La réponse à la question 2 est : les valeurs de n sont liées à la base modale du système. avec n un nombre entier positif. C'est pour cela qu'il y a un nombre infini, de modes.

J'espère t'avoir aidé à résoudre ton exo.

Bien cordialement

lebled

[inviteed373d9c]

Bonjour.
En réfléchissant, je pense qu'on ne peut pas trouver tau directement avec les conditions limites. Je vous donne un autre raisonnement.
Prenez une onde d'amplitude A qui part vers la droite. Après réflexion, elle revient avec une amplitude AR2 puis après réflexion à gauche elle revient au point de départ avec une amplitude A|R2R1|. Comme il y a la phase qui change, mais qu'après l'aller retour l'onde revient en phase, il faut mettre le R1R2 en module.
Pour ce changement d'amplitude, l'onde à mis le temps d'un aller-retour.
Donc, si la longueur de la corde est L et la vitesse de propagation V, le temps sera 2L/V. Et on peut écrire:

Ce qui permet d'obtenir tau.
Au revoir.

Oui je comprends tres bien votre raisonnement. Cependant j'aimerais juste un petit eclaircissement de votre part : Apres reflexion, l'amplitude de l'onde devient . Ce c'est le module du coeff de reflexion ou bien c'est le nombre complexe tout entier? en plus, je ne comprends pas tres bien pourquoi le fait que la phase de l'onde devenait la meme entre l'aller retour nous a permis de travailler avec le module.
Je comprendrais peut etre mieux si vous m'expliquiez le sens physique du module et de l'argument du coefficient de reflexion (enfin, s'ils ont en...)

En tout cas, un tres grand merci a vous...

a mon avis "n" représente l'ordre de la déformée modale. en d'autres termes, pour chaque valeur de "n" vous obtenez une valeur de pulsation propre, qui elle est liée à un mode propre du système "corde".

La réponse à la question 2 est : les valeurs de n sont liées à la base modale du système. avec n un nombre entier positif. C'est pour cela qu'il y a un nombre infini, de modes.

J'espère t'avoir aidé à résoudre ton exo.

Bien cordialement

lebled

En fait, je ne comprends pas tres bien ce que vous voulez dire par base modale du systeme...

En realite, c'est pas un exo que je résous. mon objectif est de faire un programme pour simuler les vibrations d'une corde comprise entre deux impedances. et c'est l'utilisateur qui les determine ainsi qu'une condition initiale.

Merci beaucoup...

[invite6dffde4c]

Bonjour.

Oui je comprends tres bien votre raisonnement. Cependant j'aimerais juste un petit eclaircissement de votre part : Apres reflexion, l'amplitude de l'onde devient . Ce c'est le module du coeff de reflexion ou bien c'est le nombre complexe tout entier? en plus, je ne comprends pas tres bien pourquoi le fait que la phase de l'onde devenait la meme entre l'aller retour nous a permis de travailler avec le module.
Je comprendrais peut etre mieux si vous m'expliquiez le sens physique du module et de l'argument du coefficient de reflexion (enfin, s'ils ont en...)

En tout cas, un tres grand merci a vous...

Le module du coefficient de réflexion est le rapport des amplitudes entre l'onde réfléchie et l'onde incidente. L'argument est le déphasage entre les deux. Pour des matériaux sans pertes (pas d'absorption), le coefficient de réflexion est réel, compris entre +1 et -1. Quand il y a des pertes, le déphasage peut être différent de 0° ou 180°.
Dans notre cas, l'onde qui revient a une amplitude A|R1| mais sa phase dépend de R1 et de la distance parcourue par l'onde.
Mais une onde stationnaire (un "mode propre" pour utiliser votre langage) revient avec la même phase après un aller-retour. C'est pour cela que l'on peut se permettre d'utiliser |R1R2|.
Et ce sont seulement les longueurs d'onde qui satisfont la condition de revenir en phase après un aller retour qui peuvent former des ondes stationnaires: ce sont les modes propres.
Le premier ou fondamental est une longueur d'onde pour l'aller retour, le suivant 2 longueurs d'onde puis 3, 4,...n, etc. C'est précisément cet 'n' qui apparaît dans vos formules.
Au revoir.

[invite3d68552f]

Une base modale est une base dont les vecteurs propres sont les déformées modales du système. Chaque déformée modale est liée à un mode du système.

Voici un document qui traite la déformation d'une corde et son étude modale en fonction des condition aux limites ( donc des impédances Za et Zb).

N'hésite pas à poser des questions si quelque chose ne te parait pas clair.

Bonne lecture.

Cordialement
lebled

[invite5637435c]

Bonsoir,

désolé je ne peux valider votre pièce jointe, cet extrait de livre ne peut être diffusé librement sur un forum public.
Cordialement.

[invite3d68552f]

Bonjour chuck norris.

Le document qui vient d'être refusé est un paragraphe d'un cours de vibration et acoustique en école d'ingénieur. Je ne vois pas de problème à ce que tu puisse avoir une copie étant donné que je connais le prof qui à rédigé de le cours personnellement.

Si tu veux avoir le scan du cours envois moi ton mail perso.