Très (très) petite question.

[pmdec]

Bonsoir,

Le principe d'incertitude nous dis que ∆ v . ∆ q ≥ h / ( 2 Π . m ).
(v : vitesse, q : position, h : Planck, m : masse).
Pour un atome de xénon, je trouve (erreur de calcul possible) ∆ v . ∆ q ≥~10^-8.
Comment, dans ces conditions, ceci est-il réalisable :
"En créant un vide quasi-parfait dans l’enceinte hermétique du STM et en abaissant la température de celle-ci à celle de l’hélium liquide (-270°C), il [le Dr Eigler] a su utiliser la pointe de cette aiguille pour pousser des atomes de xénon sur une surface métallique.", et ainsi obtenir l'image du dossier http://www.futura-sciences.com/compr...ssier208-2.php (d'où est extraite la citation).
Et pourquoi ces atomes restent bien sagement sur la plaque métallique ?
Ou bien tout ceci est-il virtuel, la pointe servant à la fois à fabriquer l'assemblage et à le "photographier" ?
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[spi100]

Ton calcul ne tient pas compte de l'interaction de l'atome Xe avec le substrat. L'atome de Xénon posé sur les atomes de cuivre (la surface utilisée par Eigler), subit l'attraction de Van Der Walls de ces atomes.
En fait l'image n'est pas juste une mesure de la position de l'atome de Xe mais de l'ensemble "atome et atomes voisins"

[pmdec]

OK.
Il reste donc possible, visiblement, de rassembler sur une plaque tout ce qu'il y a de plus réelle un nombre déterminé d'atomes de Xe.
Je suppose que rien ne s'oppose à ce que cette plaque soit remplacée par un cylindre fermé à un bout et fermable à l'autre ?
Si, à ce moment, on laisse la température remonter, les atomes vont sans doute quitter la surface pour se balader dans le récipient.
Si l'on refroidit à nouveau et qu'on "regarde" à l'intérieur, y en aura-t-il le même nombre ?

[spi100]

OK.
Je suppose que rien ne s'oppose à ce que cette plaque soit remplacée par un cylindre fermé à un bout et fermable à l'autre ?

Le terme "plaque" me gêne un peu. Quand tu regardes à l'echelle atomique ( c'est le cas en STM), la surface n'est pas une plaque continue mais un assemblage d'atomes dans un plan. A cette echelle, on ne peut pas dire qu'un atome est posé sur une plaque, mais plutot qu'il est lié avec les atomes de la surface. On parle d'adsorbats et d'ad-atomes.

Si, à ce moment, on laisse la température remonter, les atomes vont sans doute quitter la surface pour se balader dans le récipient.
Si l'on refroidit à nouveau et qu'on "regarde" à l'intérieur, y en aura-t-il le même nombre ?

Effectivement, si tu montes la température, les atomes de Xe vont pouvoir quitter la surface (activation thermique). Si tu refroidis, dès qu'un atome de Xe rencontrera la surface, il y restera. Si tu attends un temps suffisament long, ils finiront tous par être adsorbés, mais pas de disparition d'atomes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pmdec]

L'idée (très modestement) c'était qu'une fois qu'ils se baladent, les atomes de xénon ne sont plus "liés" à une "grande" structure, et qu'il devraint alors obéir au principe d'incertitude selon leur masse unitaire.
Mais alors, ne devraient-ils pas pouvoir être à l'extérieur du volume "de confinement" (choisi sufisamment petit) puisque leur vitesse est connue à l'intérieur d'une (autre) marge d'incertitude liée à la température ?
Et-que-donc, quand on regarde à nouveau dedans après avoir à nouveau refroidi, ils pouraient ne pas être tous là (comme LE chat : mort, vivant ... ou ailleurs !).
Mais peut-être aussi que l'expérience n'est tout simplement pas réalisable (donc cette "idée" stupide !)

[spi100]

Ok, je comprends mieux où tu veux en venir.
Un atome pourrait ffectivement en théorie, traverser la surface par effet tunnel. Maintenant il faut faire le calcul de cette probabilité qui va être ridiculement faible, voir complètement négligeable.

Dans le cas du chat de schrodinger, la prob qu'il soit mort est égale à celle qu'il soit vivant, les deux états sont très fortement mélangés.

Dans l'expérience que tu proposes, la probabilité qu'il soit dans la boite est très très largement supérieure à celle qu'il soit passé en dehors de la boite.

[spi100]

Ceci dit ton expérience n'est pas stupide, c'est juste que vu les phénomènes mis en oeuvre, la prob d'effet tunnel est nulle.
Maintenant si au lieu d'enfermer ton atome dans une enceinte, tu le places sur le site d'une surface où il doit rester - classiquement parlant - il est envisageable que l'adatome sorte de son site et transite vers un autre site voisin par effet tunnel. Mais AMHA ça n'a jamais été mis en évidence : il faut être à T=OK, pouvoir prouver que ce n'est pas dû à une perturbation, etc;

[pmdec]

Ce n'est pas vraiment à l'effet tunnel que je pensais, c'est au fait que si la boîte est suffisamment petite et la vitesse des atomes suffisamment connue*, alors l'incertitude sur la position pourrait devenir plus grande qu'une dimension de la boîte. Et qu'un atome pourrait alors être "dehors" sans avoir à envisager comment il est sorti ...

*
v min = 0
v moyenne connue par la température
v max < à ??? (je ne sais pas faire : peut-être que là est la stupidité du raisonnement : si on ne peut pas la connaître, pas moyen d'avoir une incertitude sur la vitesse ...)
Ou bien, ces "histoires" de vitesse des molécules dans les gaz ne sont valables que quand il y en a "beaucoup" => même conclusion

[invitebdaccd77]

pmdec:
alors l'incertitude sur la position pourrait devenir plus grande qu'une dimension de la boîte. Et qu'un atome pourrait alors être "dehors" sans avoir à envisager comment il est sorti ...

C'est tout à fait la définition d'un effet tunnel. Une particule se retrouve là où elle n'aurait pas du être classiquement.

Ton expérience se réalise tous les jours au niveau des noyaux atomiques. L'émission d'une particule par un noyau exité se fait en général par effet tunnel. La particule (un alpha par exemple) est confinée dans le noyau bloquée par la barrière coulombienne. Or à un certain moment elle se retrouve de l'autre côté et est alors éjecté par la même répulsion coulombienne.

Je me demande si un atome d'hydrogène piègé dans un fulérenne ne sort pas par le même mécanisme ?

[yahou]

En général, quand on parle de boîte, c'est précisément parce que l'on suppose que les particules ne peuvent pas en sortir. On ne peut alors fixer arbitrairement l'incertitude sur la vitesse, puisque celle ci est liée au volume de confinement (ou du moins sa borne inférieure).

Dans des conditions courantes, cette incertitude quantique sur la vitesse est d'ailleurs négligeable devant racine(kT/m) (vitesse moyenne imposée par la température, à un facteur numérique près).

J'ai l'impression que tu confond l'incertitude quantique liée au confinement (via le principe d'Heisenberg) et la largeur de la répartition maxwellienne des vitesses à l'équilibre thermodynamique, issue de l'application des résultats de la physique statistique.

On peut quand même se demander ce qui se passe lorsque l'incertitude quantique n'est plus négligeable. Dans ce cas, on ne peut plus appliquer la statistique de maxwell boltzmann : en effet celle ci est une approximation à haute température des statistiques quantiques (à température suffisament haute pour que justement l'incertitude quantique sur la vitesse soit négligeable).

[pmdec]

Merci pour vos réponses très instructives.

C'est tout à fait la définition d'un effet tunnel.

Effectivement : je suis plus bricoleur que théoricien (sans prétention !) et je n'avais jamais cherché à savoir comment fonctionnaient les diodes à effet tunnel que j'utilisais il y a quelque temps ! Dans ma tête, j'avais rangé cet "effet tunnel" dans la case "transporteurs de charges et autres propriétés étranges des semi-conducteurs "dopés" ou à effet de champ".
Honte sur moi !!! Si j'avais su qu'il y avait du quantique là-dedans, j'aurais regardé ces composants d'une autre façon (je fais partie de ces "irréductibles" qui, peut-être par refus d'admettre des choses trop nouvelles, ont beaucoup de mal à croire qu'un truc matériel puisse, comme ça, passer d'un endroit à un autre sans jamais être entre les deux ... à moins, mais c'est une autre histoire, que le monde soit discontinu (espace et temps : une des mes grandes interrogations métaphysiques !!! (c'est permis de rire !!!) :http://forums.futura-sciences.com/sh...ight=r%E9%E8ls).

[spi100]

On peut quand même se demander ce qui se passe lorsque l'incertitude quantique n'est plus négligeable. Dans ce cas, on ne peut plus appliquer la statistique de maxwell boltzmann : en effet celle ci est une approximation à haute température des statistiques quantiques (à température suffisament haute pour que justement l'incertitude quantique sur la vitesse soit négligeable).

Il faut travailler avec l'opérateur densité , où H est l'opérateur hamiltonien. Ce type de traitement est valable à toute température et pas uniquement à basse température. La valeur moyenne d'un opérateur A est alors donnée par .

En fait tout se passe comme si fluctuations quantiques et thermodynamiques se superposent. Si E est la hauteur de la barrière, dans le régime , le franchissement a de très grande chance de se faire par saut au dessus de la barrière, et le franchissement par effet tunnel a très peu de chance d'être observé, mais il reste parfaitement possible. Dans le régime , le franchissement se fait par effet tunnel, puisque les fluctuations thermiques ne permettent pas de franchir la barrière par saut. Dans le régime de l'ordre de , les probabilités de franchissement activé thermiquement et par effet tunnel, sont du même ordre.

[pmdec]

J'ai l'impression que tu confond l'incertitude quantique liée au confinement (via le principe d'Heisenberg) et la largeur de la répartition maxwellienne des vitesses à l'équilibre thermodynamique, issue de l'application des résultats de la physique statistique.

Non, je ne crois pas, je les "superpose" : s'il est possible de connaître l'incertitude sur la vitesse (tout ce qu'il y a de plus "tangible") des atomes de Xe par leur état thermodynamique, alors la vitesse de chaque atome de Xe est connue à une certaine incertitude près. Si l'on applique, alors, le calcul de l'incertitude d'Heisenberg, on "risque" d'obtenir une incertitude sur la position plus grande que la taille de l'intérieur de la boîte. Et si l'on répète un certain nombre de fois "l'expérience" décrite, on devrait compter, en moyenne, un nombre d'atome à l'intérieur de la boîte égal à leur nombre "au départ" multiplié par leur probabilité d'être dans un volume égal à celui de l'intérieur de la boîte. Bien que j'imagine encore moins qu'on puisse voir "revenir" ceux qui se seraient fait surprendre dehors !

On peut quand même se demander ce qui se passe lorsque l'incertitude quantique n'est plus négligeable. Dans ce cas, on ne peut plus appliquer la statistique de maxwell boltzmann : en effet celle ci est une approximation à haute température des statistiques quantiques (à température suffisament haute pour que justement l'incertitude quantique sur la vitesse soit négligeable).

Là, désolé, mais je ne comprends pas ... on ne peut pas approximer qqchose d'inexistant. Voulez-vous dire "négliger" ?

[spi100]

Et si l'on répète un certain nombre de fois "l'expérience" décrite, on devrait compter, en moyenne, un nombre d'atome à l'intérieur de la boîte égal à leur nombre "au départ" multiplié par leur probabilité d'être dans un volume égal à celui de l'intérieur de la boîte.

Intuitivement, tu sens bien si les parois de ta boite sont infranchissables, il n'y a aucune raison que les atomes en sortent, même si tu ne sais pas où ils sont dans la boite.

[invitebdaccd77]

yahou:
On peut quand même se demander ce qui se passe lorsque l'incertitude quantique n'est plus négligeable.

4ème citation de la phrase tout de même

Dans une boîte la statistique est très différente. La particule a accés à des niveaux discrets d'énergie et sa distribution d'énergie dépend des taux de remplissage de ces niveaux (si il n'y a qu'une particule c'est un taux d'occupation dans le temps qu'il faut considérer)

La forme de la distribution dépend du spin de la particule:
demi-entier c'est la statistique de fermi-Dirac
entier c'est la statistique de Bose_Eistein

Lorsque la boite devient suffisemment grande ces statistique se confondent avec la statistique de maxwell

[spi100]

Lorsque la boite devient suffisemment grande ces statistique se confondent avec la statistique de maxwell

Si on passe d'une distribution de Bose - Einstein (ou de Fermi Dirac) à une distribution de Mawell, ça revient à peu près à dire que les particules deviennent discernables quand la taille de la boite augmente. Ca me parait bizarre .

Est - ce que tu peux détailler un peu plus ?

[invitebdaccd77]

Je pense que j'ai été un peu rapide sur ce coup. Je veux dire que si la boîte devient grande, les états d'énergies accéssibles se resserre et leur écartement devient petit devant kT. Dans ce cas l'approximation macroscopique devient valable.

Il me semble (mais c'est très loin pour moi) que les deux statistiques quantiques tendent vers une maxellienne lorsque l'énergie disponible est très grande devant l'espacement des niveaux.

A verifier !

[spi100]

Pour ok, on tend bien vers une distribution de maxwell.
A priori, je dirais que l'approx par un gaz de Maxwell, doit être valable si le nombre de particules d'energie est très grand, devant le nombre de particules avec une énergie .

[yahou]

Si on passe d'une distribution de Bose - Einstein (ou de Fermi Dirac) à une distribution de Mawell, ça revient à peu près à dire que les particules deviennent discernables

Pas vraiment dans la mesure ou la statistique de Maxwell tient compte de l'indiscernabilité (le fameux facteur 1/N! qui ne se justifie que par la nécessiter de retomber sur les statistiques quantiques à faible température).

Les nombres moyens d'occupation d'un état i pour les différentes statistiques sont respectivement :

<ni>=1/(exp(beta*(Ei-mu))+1) pour Fermi Dirac
<ni>=1/(exp(beta*(Ei-mu))-1) pour Bose Einstein
<ni>=1/(exp(beta*(Ei-mu))) pour Maxwell Boltzmann

où Ei=énergie de l'état i , beta=1/(kT) , mu=potentiel chimique

(c'est promis dès que j'ai le temps je me mets à latex ! )

En prenant le zéro d'énergie au niveau du fondamental, la condition pour que les trois statistiques se confondent pour l'ensemble des états accessibles est :

exp(beta*mu)<<1
c'est-à-dire que les niveaux sont très peu occupés.

Dans le cas du gaz parfait, en explicitant cette condition on est amené à comparer la longueur d'onde thermique lambda=h/racine(2*pi*m*kT) à la distance moyenne entre particules d=(V/n)^(1/3) où V est le volume et n la densité de particules, ce qui revient à comparer les incertitudes d'origine quantique et statistiques sur la vitesse dont on a déjà parlé.

[yahou]

si la boîte devient grande, les états d'énergies accéssibles se resserre et leur écartement devient petit devant kT

D'accord. Mais n'est-ce pas plutôt la condition pour le passage à la limite continue (c'est-à-dire le remplacement des sommes discrètes sur les états par une intégrale, avec introduction d'une densité de niveaux continue) ?

Il me semble que cette condition est décorrélée de celle qui impose ou non d'utiliser une statistique quantique. Par exemple dans le cas de la condensation de Bose Einstein, on évalue la fraction d'atomes dans le condensat en calculant le nombre total (fini) de particules que l'on peut mettre dans les états excités. Pour cela, on passe à la limite continue (passage justifié par la condition que tu indiques) et on calcule une intégrale, alors même que l'on est dans un cas où les effets de statistique quantique ne peuvent être négligés.

[invitebdaccd77]

Il me semble que tu réponds à la question juste dans ton mail précédent. Ou alors c'est que je n'ai pas bien compris. De toute façon tu as l'air bien plus au point que moi sur le sujet...

Disons que si l'écart entre les niveau devient petit devant kT c'est que les états sont peu occupés ce qui correspond à la condition que tu énoncé.

Bon, c'est fait avec les mains!

[mariposa]

Pas vraiment dans la mesure ou la statistique de Maxwell tient compte de l'indiscernabilité (le fameux facteur 1/N! qui ne se justifie que par la nécessiter de retomber sur les statistiques quantiques à faible température).

Les nombres moyens d'occupation d'un état i pour les différentes statistiques sont respectivement :

<ni>=1/(exp(beta*(Ei-mu))+1) pour Fermi Dirac
<ni>=1/(exp(beta*(Ei-mu))-1) pour Bose Einstein
<ni>=1/(exp(beta*(Ei-mu))) pour Maxwell Boltzmann

où Ei=énergie de l'état i , beta=1/(kT) , mu=potentiel chimique

(c'est promis dès que j'ai le temps je me mets à latex ! )

En prenant le zéro d'énergie au niveau du fondamental, la condition pour que les trois statistiques se confondent pour l'ensemble des états accessibles est :

exp(beta*mu)<<1
c'est-à-dire que les niveaux sont très peu occupés.

Dans le cas du gaz parfait, en explicitant cette condition on est amené à comparer la longueur d'onde thermique lambda=h/racine(2*pi*m*kT) à la distance moyenne entre particules d=(V/n)^(1/3) où V est le volume et n la densité de particules, ce qui revient à comparer les incertitudes d'origine quantique et statistiques sur la vitesse dont on a déjà parlé.

Petit complément:

1- Les ensembles canoniques

Les 3 stastistiques dont vous parler sont des statistiques fondées sur des particules (ou quasi-particules) indépendantes. Dans la réalité les particules sont corrélées et il faut appliquer les recettes des ensembles microcanoniques, canoniques et grand canoniques.

Pour le canonique pour lequel la température, le volume et le nombre de particules sont fixées on a:

P(i) = 1/Z . exp [-beta.E(i)]

où E(i) est une valeur propre de l'hamiltonien à N particules.
Z est la fonction de partition.

2- Le caractère discret et/ou la densisité d'état n'ont rien a voir avec les statistiques.

[spi100]

exp(beta*mu)<<1
c'est-à-dire que les niveaux sont très peu occupés.

Dans le cas bose-einstein, je comprends bien. est le potentiel chimique, et correspond au nombre moyen de particules par niveaux. Mais dans le cas Fermi-dirac, où est le niveau de fermi, je vois un peu moins bien. J'aurais plutot dit que ça correspondrait à un gaz avec peu d'electrons.
Il y a aussi un autre truc qui me gêne, et étant positifs, je vois mal comment la condition que tu cites pourrait s'appliquer. Il y a sûrement un truc qui m'échappe.

[yahou]

et étant positifs, je vois mal comment la condition que tu cites pourrait s'appliquer

Justement dans la limite classique, (merci pour les balises latex à recopier ! ) est négatif. C'est la seule possibilité pour pour que tous les niveaux soient peu occupés, et pas seulement ceux dont l'énergie est plus grande que .

Par contre cette condition n'est pas indépendante de la température, puisqu'à température nulle est nul pour des bosons et égal à l'énergie de Fermi pour des fermions, et qu'il décroît ensuite quand la température augmente. On peut donc la ré écrire en terme de température.

Au risque de sembler insister lourdement sur un détail, on voit peut-être mieux ici que les conditions de passage à la limite continue (kT>>E l'écart moyen entre deux niveaux discrets) et d'utilisation de la statistique de Maxwell Boltzmann (T tel que -/(kT)>>1), bien que pouvant s'exprimer toutes les deux sur la température, sont de nature différentes.

Enfin, comme le souligne Mariposa, j'ai honteusement passé sous silence les interactions entre particules en écrivant l'énergie totale comme la somme des énergies à une particule.

PS :

De toute façon tu as l'air bien plus au point que moi sur le sujet...

Je ne l'était probablement pas tant que ça il y a 48h. Merci à tous de m'obliger à me remettre au point sur la question en soulevant les points délicats.

[spi100]

Ma remarque tient surtout au fait que l'exponentiel d'un nombre positif est forcemment plus grande que 1. Je ne vois donc pas comment avoir .

[spi100]

Justement dans la limite classique, (merci pour les balises latex à recopier ! ) est négatif. C'est la seule possibilité pour pour que tous les niveaux soient peu occupés, et pas seulement ceux dont l'énergie est plus grande que .

Je suis désolé de revenir la dessus, mais j'ai beaucoup de mal avec le critère que tu as écrit car il dépend de l'origine que je choisis pour les énergies. Ca veut dire que selon que je choisis cette origine au - dessus ou en dessous de , je vais en tirer que est très supérieur ou très inférieur à 1 .

Il doit manquer quelque chose.

[yahou]

le critère que tu as écrit dépend de l'origine que je choisis pour les énergies

Je ne l'ai pas rappelé dans chaque message, mais j'avais fixé l'origine des énergies au niveau du fondamental.

Pour rendre le critère indépendant de ce choix d'origine en oubliant cette convention, il suffit de remplacer par .

[spi100]

Je ne l'ai pas rappelé dans chaque message, mais j'avais fixé l'origine des énergies au niveau du fondamental.

Pour rendre le critère indépendant de ce choix d'origine en oubliant cette convention, il suffit de remplacer par .

Dans ce cas si je considère la distribution de Fermi, est le niveau de Fermi i.e. le dernier niveau occupé AU-DESSUS du fondamental, ce qui implique bien . Comment peut-on alors avoir ?

[yahou]

Dans ce cas si je considère la distribution de Fermi, est le niveau de Fermi i.e. le dernier niveau occupé AU-DESSUS du fondamental, ce qui implique bien . Comment peut-on alors avoir ?

Si , on ne peut en effet pas avoir , mais ceci n'est vrai qu'à température nulle, donc hors du domaine de validité de l'approximation classique (cf message #24).

D'une manière générale (dans la limite classique), est bel et bien négatif. On peut le voir de la manière suivante :



On travaille dans une enceinte rigide (voume constant). On a alors .

Lorsque l'on rajoute une particule, tous autres paramètres constants, on augmente en général le nombre de microétats accessibles, et donc l'entropie. De même lorsque l'on augmente l'énergie, on augmente l'entropie (sauf systèmes à température négative que je laisse de côté ici). Pour maintenir l'entropie constante (puisque la dérivation se fait à constant), il faut donc nécessairement diminuer l'énergie du système, soit ou encore .

Ca c'était le cas général (classique). En effet on ne peut avoir que si il existe des états d'énergie faible innocupés permettant aux particules de se réorganiser pour faire diminuer l'énergie globale. Ce n'est pas le cas à température nulle, ni pour un gaz de Fermi, ni pour un condensat de Bose Einstein.

Pour le premier, le niveau le plus bas accessible est le niveau de Fermi, donc on peut au mieux augmenter l'énergie totale de par particule ajoutée, soit . On peut vérifier que ce faisant on a pas augmenté l'entropie, puisque qu'on connaît toujours exactement les nombres d'occupations des états, qui sont fixés par le principe de Pauli (2 particules par état jusqu'au niveau de Fermi, 0 après).

Pour le second, toutes les particules étant déjà dans l'état fondamental, on ne peut ne peut pas non plus diminuer l'énergie globale, on peut au mieux la maintenir constante en ajoutant les nouvelles particules dans l'état fondamental, soit . Là encore l'entropie est resté constante puisqu'on sait que toutes les particules sont dans le fondamental.

[spi100]

Très bonne explication. Juste une dernière objection, mais je pense que ce sera la dernière.

Dans l'expression de la distribution de Fermi-Dirac
, tu dis que devient négatif si T augmente.

Or il semble me souvenir, mais c'est vrai que ça remonte à loin et que je me trompe sûrement, que dans cette expression est une constante indépendante de la température, que l'on indentifie avec le niveau de fermi à T=0K.