Décohérence et matrice densité réduite

[invite69d38f86]

Bonjour

En MQ quand on a un système en contact avec son environnement on a pas toujours un état pur.
On utilise une matrice densité.
Pour un état pur ce sera
Pour étudier la décohérence du système on lit qu'il faut utiliser la matrice densité réduite obtenue par trace réduite sur l'environnement.
On voit alors que les éléments non diagonaux (ceux qui correspondent aux interférences) disparaissent avec le temps.
On dit alors merveille ca décohère.
Mis à par le succès de la technique, pourquoi faut il procéder ainsi à partir de la matrice totale système + environnement?
J'ai bien ce lien
http://en.wikipedia.org/wiki/Reduced_density_matrices
mais ca semble toujours sortir du chapeau.
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[invite93279690]

Bonjour

En MQ quand on a un système en contact avec son environnement on a pas toujours un état pur.
On utilise une matrice densité.
Pour un état pur ce sera
Pour étudier la décohérence du système on lit qu'il faut utiliser la matrice densité réduite obtenue par trace réduite sur l'environnement.
On voit alors que les éléments non diagonaux (ceux qui correspondent aux interférences) disparaissent avec le temps.
On dit alors merveille ca décohère.
Mis à par le succès de la technique, pourquoi faut il procéder ainsi à partir de la matrice totale système + environnement?
J'ai bien ce lien
http://en.wikipedia.org/wiki/Reduced_density_matrices
mais ca semble toujours sortir du chapeau.

Salut,

Parce qu'on n'a jamais qu'accès aux grandeurs susceptibles de caractériser le système d'étude et non l'environnement non ?
Par ailleurs, l'environnement étant totalement inconnu, on se doit de sommer sur touts ses états possibles afin de ne pas introduire de biais dans le calcul.

[invite7ce6aa19]

Mis à par le succès de la technique, pourquoi faut il procéder ainsi à partir de la matrice totale système + environnement?

Bonjour,

Parceque c'est le couplage à l'environnement qui provoque la décohérence.

[invite69d38f86]

En fait je me demande pourquoi à partir de de la matrice densité totale le truc qui marche (le tracing out sur l'environnement)
consiste à prendre une base orthonormée de vecteurs i> de l'environnement et à sommer les
ce qui donne la matrice densité réduite.
J'ai trouvé un lien un peu détaillé en powerpoint
taper ece 745 reduced density sur google
Je vais regarder de plus près(quelle horreur leurs formules en noir sur fond bleu marine)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedbd9bdc3]

Le principe c'est de dire que tu ne regardes pas ce que fait l'environement, donc tu sommes sur tous ses états. Si tu veux c'est une sorte de moyenne sur toutes les interactions que peut avoir ton système avec le reste de l'univers.

Edit : je tiens a dire que le message de mariposa ne me parait pas etre une reponse en soi. Dire, on fait ça parce qu'il faut le faire pour que ça marche n'est pas une bonne raison (meme si des fois on a pas mieux pour justifier, mais la ce n'est pas le cas)

[invite93279690]

En fait je me demande pourquoi à partir de de la matrice densité totale le truc qui marche (le tracing out sur l'environnement)
consiste à prendre une base orthonormée de vecteurs i> de l'environnement et à sommer les
ce qui donne la matrice densité réduite.
J'ai trouvé un lien un peu détaillé en powerpoint
taper ece 745 reduced density sur google
Je vais regarder de plus près(quelle horreur leurs formules en noir sur fond bleu marine)

C'est assez rare mais je en comprends pas ce que tu ne comprends pas ?
C'est le fait d'effectuer une trace partielle qui te poses problème (pourquoi est ce qu'on en fait une) ?
Ou est ce que c'est la façon de la faire qui te pose problème ?

[invite7ce6aa19]

Je voudrais revenir sur le fondement des matrices densités et la signification du mot environnement .

Le formalisme de la matrice densité n'est en fait que la reconduction du langage des probabilités classique et adapté à la MQ (les probabilités classiques deiennent des amplitudes de probabilité en MQ).

En physique classique et dans le langage des probabilités un système est complétement définit par une densité de probabilité jointe à n particules:

Pn (R1, R2, ........, Rn) qui represente la probabilité de trouver une configuration de particules au point R dans un volume élémentaire de l'espace de configuration d3R.

A partir de là on peut par intégration sur une variable définir une densité de probabilité jointe Pn-1 et par intégration successives définir des densités de probabilités jointes jusqu'a P2 et P1 qui sont les 2 densités de probabilités les plus fondamentales (voir ci-dessous).

Par exemple P1 represente la probabilité de trouver une particule au point R1 quelquesoit la position des autres particules. De même que P2 represente la densité de probabilité jointe de trouver une particule en R1 et une autre particule en R2 quelquesoient les positions des autres particules.

Le formalisme de l'opérateur statistique (matrice densité) reproduit cette méthodologie.

L'intégration sur les n-2 variables pour P2 ou sur les n-1 variables pour P1 deviennent un calcul de trace partielle dans le contexte de l'opérateur statistique (En remarquant bien que les densités de probabiltés jointes deviennent des amplitudes F2 et F1 de densité de probabilité jointes dans le contexte de la MQ).

C' est que l'on appelle environnement dans ces contextes. La raison fondamentale de cette procédure est que les grandeurs mesurées en physique classique comme en MQ sont des grandeurs qui ne dépendent que des F1 et que des F2 (qui correspondent aux opérateurs à 1 et 2 corps comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle).

Remarque: En passant des probabilités en physique classique aux amplitudes en MQ, j'ai implicitement utilisé une representation {|r>} en MQ. Bien entendu l'état physique d'un système ne dépend pas de sa representation, c'est pourquoi l'opérateur densité est representé par:

Somme sur les k de pk |Fi><Fi|

[invite69d38f86]

merci pour vos réponses
Dans le powerpoint que j'indiquais j'avais trouvé ceci (j'espère sans erreur dans ma transcriprion en francais)

Soient |Cij > = |Bi>|Aj> = |BiAj> les vecteurs propres d'un systeme de sous systemes A et B.
Les éléments de la matrice densité réduite sont < Bi'Aj' |ρ|BiAj>.
Les éléments de la matrice d'un opérateur quelconque Q n'agissant que sur A
sont
On a



On peut alors définir la matrice densité réduite:ix par
=

finalement

=

On ne parle ici ni de systeme ni d'environnement.
Il y a deux sous systeme A et B symétriques et c'est seulement parce qu'on s'intéressent à certains opérateurs laissant l'un des 2 invariant qu'on privilégier A ou B.

l'environnement n'est pas forcement celui qui va avoir le plus de degré de liberté.

Voyez: http:///almaak.usc.edu/~tbrun/Course/ lesson 18 page 10
on a pour systeme un qubit dans un etat a|0> + b|1> interagissant sur un qubit à |0> sa composante à |0> le laissant inchangé et l'autre le transformant en cos (theta) |0> -i sin (theta) |1>
on voit que c'est la matrice de densité réduite du 1er qubit qui décohère (celui qui transforme le second qubit).
Quand on a une interaction quelconque y a t il un coté privilégié qu'on appellera système et l'autre environnement.

[invitedbd9bdc3]

Bien entendu, les traces partielles peuvent se faire sur n'importe quels systeme.
Mais quand on parle d'environement, on lui donne ce nom parce qu'il est bien plus gros, souvent à l'equilibre thermo, et qu'il represente les interactions non controlées avec le petit systeme qu'on veut etudier.

[invite69d38f86]

Si l'on isole par le pensée une petite partie du reste de l'univers, Il me semble qu'il faut des conditions sur son interaction avec son environnement pour qu'il décohère, non?
L'hamiltonien d'interaction doit il avoir une forme spéciale?
D'un autre cote Hawking écrit que si l'univers que nous observons présente un aspect classique c'est que c'est le cone du passé de l'observateur qui n'est qu'une toute partie du 4 univers total auquel nous n'avons pas acces par l'observation mais par ou passent les chemins de Feynman.

[invitedbd9bdc3]

Disons plutot qu'il faut des conditions sur l'interaction pour qu'on sache traiter le probleme pour en faire une equation maitresse. Mais a priori il n'y a pas trop de raisons que ça redonne pas le meme genre de resultat pour des interactions differentes.

[chaverondier]

D'un autre coté Hawking écrit que si l'univers que nous observons présente un aspect classique c'est que c'est le cone du passé de l'observateur qui n'est qu'une toute petite partie du 4 univers total auquel nous n'avons pas accès par l'observation mais par où passent les chemins de Feynman.

Il y a un article très intéressant de Carlo Rovelli relié à ce sujet. Il couple thermodynamique, effet Unruh, information accessible à l'observateur, flot modélisant l'écoulement irréversible du temps, relativité, mécanique quantique et géométrie non commutative (reposant sur la notion de C*algèbre d'observables).
Diamonds's Temperature: Unruh effect for bounded trajectories and thermal time hypothesis. Authors: P. Martinetti, C. Rovelli
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0212074
BC

[invite69d38f86]

Bonjour

On a ici un lien entre une limitation de la connaissance(la durée de vie finie de l'observation) et une notion thermodynamique (une température).
Rovelli n'y parle pas cependant de décohérence.
Je n'ai pas trouvé de lien ou ceci apparait de cette façon.
C'est à dire limitation de la connaissance => décohérence

[chaverondier]

Je n'ai pas trouvé de lien ou ceci apparait de cette façon. C'est à dire limitation de la connaissance => décohérence.

Pourtant, c'est fondamental. La décohérence découle d'une perte d'information. Il s'agit de l'information contenue dans les liens EPR entre le système S observé et l'environnement avec lequel il a interagi. Cette information est perdue quand on se limite à la connaissance de l'opérateur densité réduit du système S observé au lieu de considérer l'opérateur densité du système plus vaste constitué du système S et de tout ce avec quoi il a interagi. Comme ce système là est isolé, il y a conservation de l'information, donc absence d'irréversibilité de son évolution.

Je signale au passage qu'il y a plusieurs articles très intéressants de Roger Balian (ex directeur du service de physique théorique du CEA SACLAY et détenteur de pas mal de distinctions pour ses travaux scintifiques) sur la mesure quantique et sur la flèche du temps.

Par exemple :

Phase Transitions and Quantum Measurements
Armen E. Allahverdyan, Roger Balian and Theo M. Nieuwenhuizen

Le temps macroscopique, Roger Balian
http://ipht.cea.fr/Docspht//articles...blic/publi.pdf

[invite69d38f86]

Merci pour les liens.

Et pourtant avec les fentes de Young les interférences sont liées à l'ignorance du chemin.
En sachant par ou passe la particule on les supprime ce qui arrive avec la décohérence...

[invite69d38f86]

J'ai trouvé aussi
arXiv:cond-mat/9907015v1
(Incomplete descriptions and relevant entropies) de Balian
ou l'on voit que l'on peut définir plusieurs sortes d'entropies en fonction des variables que l'on juge pertinentes (relevant)
Il y explique comment des informations peuvent se transferer de variables pertinentes vers d'autres et comment en se restreignant aux pertinentes on perd de l'information (l'entropie augmentant alors).
A lire aussi dans le lien indiqué par Chaverondier comment l'entropie peut rediminuer après avoir augmenté dans la manip "echo de spin"
C'est vraiment très intéressant.
Dommage que le sujet ne soit pas centré sur la décohérence chez Balian.

[invite93279690]

Dommage que le sujet ne soit pas centré sur la décohérence chez Balian.

Oui mais le principe est toujours le même dans le point de vue de Balian et il peut s'appliquer dans differents cas.
L'idée fondamentale dans son interpretation en général de l'irreversibilité c'est qu'elle provient nécessairement d'une réduction de la description ; que cela soit en MQ ou en mécanique statistique. On distingue dans ce cas des variables pertinentes et d'autres qui ne le sont pas (car inaccessibles ou ininteresssantes dans la situation considérée). Si tu ne t'interesses qu'aux variables pertinentes tu n'as aucune raison de conserver l'information sur les variables non pertinentes.

Dans le cas de la décoherence le choix n'est pas si subjectif qu'il n'y parait pusiqu'en effet le système quantique d'intéret intéragissant avec l'environnement, il va y avoir une fuite d'information quasi-obligatoire du système vers l'environnement mais qui, bien que réelle, n'est pas forcément visible lorsqu'on regarde l'évolution de l'état dans son ensemble. Comme l'état de l'environnement est de plus souvent inconnu, il faut s'en débarrasser dans les calculs, ce qui est tout à fait standard en proba comme l'a souligné mariposa et est faite en faisant une trace partielle.

[invite7ce6aa19]

Merci pour les liens.

Et pourtant avec les fentes de Young les interférences sont liées à l'ignorance du chemin.

Bonjour,

On ne peut pas dire çà. Les interférences son liés à l'existence des 2 chemins. Ceci est évident pour la notion d'onde. C'est pourquoi on dit qu'en termes de "particules" que celles-ci passe par les 2 chemins à la fois. En fait ce que montre l'expérience des trous d'Young est que ni la notion de particules ni celle d' onde est correcte et appelle la MQ qui nie toute notion de trajectoire.

En sachant par ou passe la particule on les supprime ce qui arrive avec la décohérence...

Je pense que tu mélanges le concept d'interférences d'ondes qui est liée à des corrélations temporelles et la problématique de la décohérence dans le problème de la mesure qui implique des corrélations qui ne sont surtout pas temporelles. L'introduction des corrélations temporelles dans le formalisme de l'opérateur statistique amènent les fonctions de Green double temps.

[invite69d38f86]

restons avec nos fentes de Young.
Disons qu'au départ on a un état pur |a> + |b>
et un appareil de mesure cliquant en a ou en b.
La particule va se retrouver avec une matrice densité réduite
1/2 |a><a| + 1/2 |b><b| après décohérence.
Ou se situe la perte d'information?
Entre l'appareil de mesure et son environnement? et de quelle nature?

[invite7ce6aa19]

restons avec nos fentes de Young.
Disons qu'au départ on a un état pur |a> + |b>
et un appareil de mesure cliquant en a ou en b.
La particule va se retrouver avec une matrice densité réduite
1/2 |a><a| + 1/2 |b><b| après décohérence.
Ou se situe la perte d'information?
Entre l'appareil de mesure et son environnement? et de quelle nature?

Bonjour,

Je ne suis pas sur de bien comprendre le sens de ta question.

Toutefois dans l'écriture de ta matrice densité tu vois bien que tu n'as pas les termes "d'interférences" du type |a><b| ce qui veut dire que tu as perdu de l'information. En effet si tu serais parti d'un état de la forme:

|a> + exp(i.teta).|b>

La mesure quantique te donnerait la même matrice densité:

1/2 |a><a| + 1/2 |b><b|

Dans ce cas le facteur téta s'est envolé.