Theorie quantique non linéaire

[mariposa]

[QUOTE=Thwarn;2362485]Ce que tu dis la est faux. QUOTE]

Ce serait plus efficace si c'est faux de montrer où il y a une erreur.

Donc pour être efficace je te demande de préciser ce que tu fais avec tes propres notations.

Lors d'une TL, l'equation se transforme en
.

A ce niveau j'aimerais que tu précises les détails en particulier écrire l'équation de Dirac de départ en précisant la signification de chaque composante, la naturel vectoriel, opérateurs matrices dimension et surtout dans quel espace se trouve les objets mathématiques.

Notamment:

Qu 'est-ce que O, comment le définis-tu? Au cas ou ce serait un opérateur pourquoi n' y at-il pas d'indice?

Je suppose que le grand Lambda est une transformation de Lorentz générique.

Les matrices Gamma dont tu parles ont un indice, donc il s'agit d'une representation de l'algébre de Clifford, oui mais laquelle?

Pour rappel: Tu as affirmé que les matrices gamma étaient constantes malgré un changement de base dans Minkovski. Pour ma part j'affirme et avoir largement démontré qu'il s'agit d'un vecteur et expliqué pourquoi dans certaines circonstances les matrices gamma ne varient pas alors que d'autres elles varient.

Ensuite on montre que .

Je genre de truc m'es très familier. C'est une relation classique propre aux opérateurs vectoriels qui exprime l'effet d'un changement d'un changement base à la fois sur le caractère vectoriel et sur le caractère opérateur (matriciel).

Si ta matrice grand Lambda est la matrice de transformation de Lorentz alors tu reconnais automatiquement par cette relation que les matrices gamma sont dans le membre de droite des vecteurs et dans le membre de gauche des matrices. Le résultat est un nouveau jeu de matrices gamma.

Tu noteras que selon cette expression les matrices gamma changent (elles ne sont pas constantes) ce qui est tout à fait normal et il n'y a rien à dire. Néanmoins il va falloir gérer cela car comme tu le dis les matrices gammas ne changent pas. lors que faire?

Je le redit encore une fois, on a le droit de donner ces indides de Lorentz aux matrices gamma que parce quelles comme il faut en compagnie d'un spineur.

Ceci est faux. Les indices d'un opérateur vectoriel dont tu parles n'ont rien à voir avec les objets sur lesquels ils agissent (spineur ou pas). Les indices sont relatifs au caractère vectoriel (en fait tensoriel). Ce qui dépend des objets sur lesquels ils agissent c'est la dimension des opérateurs (celui de l'espace de Hilbert) et la valeur précise des matrices sont controlées par le choix de la base de Hilbert. Ceci est une généralité de l'algébre linéaire.

D'ailleurs lorsque l'on écrit l'équation de Dirac classique on indice les gamma par les 4 indices 0,1,2,3 pour le caractère vectoriel. Comme Dirac travaille par construction dand la base du spineur de Dirac il serait pédagogique de mettre sur les 4 vecteur gamma un indice D comme Dirac.

Si on prend pour le bi-spineur une representation de Weyl (ce qui définit un changement de base dans Hilbert) on garde les 4 indices vectoriels mais on met sur la 4 matrices un indice W comme Weyl. Dans le même esprit en representation de Majorana il faudrait mettre un indice M.

Cela permettrait de mettre en évidence que la relation de Clifford qui est indépendante de toute representation possède en RR 3 representations différentes de dimension 4.

PS : Tu es bien gentil, mais je sais ce qu'est un vecteur, un tenseur et meme un moment cinetique (je sais que c'est un vecteur axial, si on veut jouer à ce jeu ).

C'est bien ce que j'avais supposé. Hors tes réactions sur la soi-disante arbitraire des indices x,y,z pour Lx, Ly, Lz montre que des choses t'échappent. De la même façon il me semble à te lire que tu ne vois pas que les 3 matrices forment un espace vectoriel. C'est ce que l'on appelle un opérateur vectoriel ou mieux tensoriel si on connait son comportement dans un changement de base.

Ha, et je connais aussi un peu de physique atomique aussi.

J'espère, mais on n'en connait jamais assez.
-----

[invitedbd9bdc3]

Ce serait plus efficace si c'est faux de montrer où il y a une erreur.

Donc pour être efficace je te demande de préciser ce que tu fais avec tes propres notations.

Bon, si il faut jouer à ça, allons y. Attention, ça va etre lourd à la lecture...

A ce niveau j'aimerais que tu précises les détails en particulier écrire l'équation de Dirac de départ en précisant la signification de chaque composante, la naturel vectoriel, opérateurs matrices dimension et surtout dans quel espace se trouve les objets mathématiques.

Notamment:

Qu 'est-ce que O, comment le définis-tu? Au cas ou ce serait un opérateur pourquoi n' y at-il pas d'indice?

Je suppose que le grand Lambda est une transformation de Lorentz générique.

Les matrices Gamma dont tu parles ont un indice, donc il s'agit d'une representation de l'algébre de Clifford, oui mais laquelle?

Ecrivons l'equation de Dirac :

Ou est un element des matrices gamma, dans une representation quelconque.
est l'operateur de derivation.
est un element de matrice de l'identité (delta de Kronecker), m est la masse et est la composente du bispineur. Tu veux que je precise qu'il y a sommation sur les indices repetés?
Les matrice gamma sont de dimension 4.

Maintenant, sous un TL,
Donc O est la matrice de SO(3,1) dans la representation spinorielle habituelle (matrice 4x 4).
De son coté,

Donc l'equation de Dirac ' s'ecrit :

Ce qui equivaut à :

On insert devant, on utilise le fait que

et pour finir que

pour montrer que

c'est a dire que l'equation de Dirac est bien invariante sous une TL.

C'était du bien lourd, mais si tu n'arrives pas à voir ce que je veux dire...

Je genre de truc m'es très familier. C'est une relation classique propre aux opérateurs vectoriels qui exprime l'effet d'un changement d'un changement base à la fois sur le caractère vectoriel et sur le caractère opérateur (matriciel).

Si ta matrice grand Lambda est la matrice de transformation de Lorentz alors tu reconnais automatiquement par cette relation que les matrices gamma sont dans le membre de droite des vecteurs et dans le membre de gauche des matrices. Le résultat est un nouveau jeu de matrices gamma.

Mais je n'ai jamais nié ça, ce que je te dis, c'est que si les matrice gamma se transforme comme un 4-vecteur, c'est parce qu'on les a prealablement mis entre deux spineurs...

Bref, je sens le dialogue de sourd, mais je te pose une colle :
Quand on fabrique un lagrangien, on le veut invariant de Lorentz.
On a par exemple des termes de couplage au photon du type :

Si les matrices gamma forme reelement un 4-vecteur en soit, pourquoi ne voit on jamais de terme du type ?
J'attends avec impatience ta reponse

[invite5a89bfe6]

resalut,
là je commence à avoir mal aux yeux. j'vais pas ecrire une thèse pour savoir si ma delinearisation de dirac est invariante par transfo de lorentz...
d'ailleurs j'en suis à peu pres sur que non, car les transfo de lorentz sont fausses de toute façon .elles sont propre à l'espace-temps seulement, pas quand on est independant de fond. hahaha on va me taper dessus j'ai l'impression. cela dit, j'imagine que vous deux avez lu l'article fondateur de dirac? bon ben c à la fin de son article, il demontre que son equation est invariante par ces transfo.
je vois pas ou est le blème. ça serait pas pour tout simplement?

sinon le latex je l'installe comment il y a un software sur futura?

[mariposa]

Bon, si il faut jouer à ça, allons y. Attention, ça va etre lourd à la lecture...


Ecrivons l'equation de Dirac :

Ou est un element des matrices gamma, dans une representation quelconque.
est l'operateur de derivation.
est un element de matrice de l'identité (delta de Kronecker), m est la masse et est la composente du bispineur. Tu veux que je precise qu'il y a sommation sur les indices repetés?
Les matrice gamma sont de dimension 4.

Maintenant, sous un TL,
Donc O est la matrice de SO(3,1) dans la representation spinorielle habituelle (matrice 4x 4).
De son coté,

Donc l'equation de Dirac ' s'ecrit :

A partir de là, c'est faux. Le vecteur a 4 composantes Gamma se transforme comme un quadrivecteur D. C'est là que le bas blesse lourdement et j y reviendrais avec insistance ci-dessous.

Mais je n'ai jamais nié ça, ce que je te dis, c'est que si les matrice gamma se transforme comme un 4-vecteur, c'est parce qu'on les a prealablement mis entre deux spineurs...

Tu as écrit cela plusieurs fois et c'est faux.

J'explique autrement.

Equation de Schrodinger:

[H-E.I]. |F>

Si [H,G] = 0 qui veut dire que l'hamiltonien est invariant sous les opérations du groupe G alors:

Les états |F> se transforment comme les représentations irréductibles du groupe G.

Conséquence: On peut former tous les hamiltoniens à partir des opérateurs irréductibles en extrayant la partie scalaire de leur produit tensoriels.

Equation de Dirac

[Gam.D -m.I] |F>

Pour les mêmes raisons que précédemment (m joue bien sur le role de l'énergie) l'opérateur Gam.D est invariant de G (donc de Lorentz) et cela est complètement indépendant des propriétés de transformation de |F>.

Comme D se transforme comme un quadrivecteur alors nécessairement Gam se transforme également comme un quadrivecteur.

Autrement dit la fabrication de l'opérateur invariant n'a strictement rien à voir avec les objets sur lesquels ils agissent.

Si tu n'es pas éventuellement convaincu, je reviens en arrière sur le fondement de la démarche de Dirac pour établir son équation.

La démarche historique de Dirac.

Dirac cherche une équation relativiste pour l'électron, il écrit donc ce que l'on appelle l'équation de Klein-Gordon. Avec mes notations précédentes on a:

[D.D - m.I] |F> = 0

Après examen de cette équation il trouve des probabilités négatives. Son idée est alors de travailler avec une dérivée temporelle première d/dt comme dans l'équation de Schrodinger et donc L'invariance de Lorentz impose l'opérateur D. Il faut remplacer une valeur du produit D.D par autre chose qui n'est pas un opérateur du même type.

S'il prend une expression A.D cela ne va pas. En effet A représente une direction fixe dans Minkovski, le produit scalaire n'est pas invariant sous les transformations de Lorentz. La solution est donc de remplacer un D par un opérateur vectoriel se transformant comme D, mais ne contenant pas surtout pas de dérivée.

Et c'est ainsi qu'il démontre que cet opérateur vectoriel doit obéir a la relation

(Gam-i).(Gam-j) + (Gam-i).(Gam-j) = Delta_ij

Il tombe ici sur la définition pile poil d'une algèbre de Clifford qui apparemment ne connaissait pas.

Donc pour me répéter le Quadrivecteur Gam se transforme comme D et il faut en tirer toutes les conséquences.

Bref, je sens le dialogue de sourd, mais je te pose une colle :

La surdité est franchement de ton coté; Tu t'obstines à nier que le vecteur Gam se transforme comme quadrivecteur de Lorentz.

Quand on fabrique un lagrangien, on le veut invariant de Lorentz.
On a par exemple des termes de couplage au photon du type :

Si les matrices gamma forme reelement un 4-vecteur en soit, pourquoi ne voit on jamais de terme du type ?
J'attends avec impatience ta reponse

A l'évidence le produit:




est un invariant de Lorentz puisque c'est le produit scalaire de 2 quadrivecteurs. Par contre ce n'est pas un Lagrangien de couplage puisqu'il n y a pas d'opérateurs agissant dans l'espace électronique. En fait tu peux mettre ce terme dans le Lagrangien mais qui est une "constante" dans le Lagrangien dans la mesure où par dérivation il donnera zéro cad disparaitra.

Par contre l'hamiltonien de Dirac couplé au champ électromagnétique A . s'écrit:

[Gam (D-i.e.A)- m.I].|F> = 0

Cette équation universelle montre que:

D et A se transforment de la même façon cad comme un quadrivecteur.

Comme I est invariant alors le produit Gam (D-i.e.A) est un invariant.

Mais comme D-i.e.A est un quadrivecteur alors Gam est un quadrivecteur.

Était-ce vraiment une colle?

[invite5a89bfe6]

salut,

Je relance le post.

Il est clair que l'équation de Dirac, puis l'equation de Klein-gordon, en tant que généralisations relativistes (spin 1/2 et spin 0) de l'équation de la mecanique quantique en représentation |r> (ou s'il l'on veut de la mécanique ondulatoire), sont deux équations qui traitent de particule de natures differentes (à cause de leurs spins). Donc finalement on a répondu à ma question concernant la localisation, enfin presque, puisque ce que l'on a oublié c'était justement que la nature du corpuscule était differente d'un cas à l'autre
On pourrait citer dans le même ordre d'idée les équations de Proca ou de Bargmann...


Maintenant pour revenir au PDF.
Il est clair que la transformation canonique de l'hamiltonien en Kamiltonien laisse libre cours à un arbitraire. Cet arbitraire peut permettre de considérer que l'on puisse non plus avoir une équation de Schrödinger (celle de l'evolution du ket d'etat) mais , comme l'a mentionné Mariposa une equation de type Schrödinger avec un hamiltonien effectif. Cela je suis prêt à l'admettre, et il me semble que l'expression de l'equation finale devrait ressembler àl' équation dont parle Wienberg (pdf cité par M-théory).

Tout compte fait, d'après les critiques je retiens:


1)Amélioration au niveau du résumé, expliciter le problème qui a été résolu.
2)Clarifier la notation
3)Réecrire l'équation sous une forme plus compacte.


si d'autres personnes veulent faire d'autres remarques elles sont les bienvenues.






ps:
Désolé d'avoir été quelques fois

[inviteca4b3353]

est un invariant de Lorentz puisque c'est le produit scalaire de 2 quadrivecteurs. Par contre ce n'est pas un Lagrangien de couplage puisqu'il n y a pas d'opérateurs agissant dans l'espace électronique. En fait tu peux mettre ce terme dans le Lagrangien mais qui est une "constante" dans le Lagrangien dans la mesure où par dérivation il donnera zéro cad disparaitra.

Non, ce n'en ai pas un, Cf ci-dessous.

Si les matrices gamma forme reelement un 4-vecteur en soit, pourquoi ne voit on jamais de terme du type ?

Il ne faut pas oublier que les matrices gamma portent deux indices différents, vecteur + spineur.
Les quatre matrices gamma forment bel et bien un vecteur de Lorentz (représentation ) car on montre facilement (cf n'importe quel bouquin serieux de TQC) qu'elles se transforment comme . En revanche, chaque élément de ce vecteur est une matrice dans la représentation de Lorentz.
En d'autres termes pour former un invariant de Lorentz, contracter l'indice ne suffit pas, il faut également contracté les indices de la représentation spinorielle (). Donc n'est pas un invariant de Lorentz, car seule la moitié du travail a été faite, c'est pourquoi on n'écrit pas ce terme. Ainsi est bel et est bien invariant (pas de jauge néanmoins).

[mariposa]

Non, ce n'en ai pas un, Cf ci-dessous.



Il ne faut pas oublier que les matrices gamma portent deux indices différents, vecteur + spineur.
Les quatre matrices gamma forment bel et bien un vecteur de Lorentz (représentation ) car on montre facilement (cf n'importe quel bouquin serieux de TQC) qu'elles se transforment comme . En revanche, chaque élément de ce vecteur est une matrice dans la représentation de Lorentz.
En d'autres termes pour former un invariant de Lorentz, contracter l'indice ne suffit pas, il faut également contracté les indices de la représentation spinorielle (). Donc n'est pas un invariant de Lorentz, car seule la moitié du travail a été faite, c'est pourquoi on n'écrit pas ce terme. Ainsi est bel et est bien invariant (pas de jauge néanmoins).

Bonjour,

Je suis étonné de ce que tu écris.


Les 4tenseur de rang 1 D (contravariant) et G (covariant) forment un produit scalaire relativement au groupe de Lorenz.

Ceci du point de vue de l'algèbre tensorielle. Par contre on peut écrire le même produit scalaire, par contraction d'indices, du point de vue de l'algèbre spinorielle. Dans ce cas on remplace les indices tensoriels par des couples d'indices relativement à la représentation irréductible du groupe de Lorenz complet (avec inversion). Cette représentation provient d'une somme directe de 2 représentations inéquivalentes du groupe propre de Lorenz (1/2,0) + (0, 1/2) c'est pourquoi il faut 2 indices (pointé et non pointé) pour respecter les règles de contraction qui veut que l'on contracte sur des indices de même type.

Donc on effectue une contraction soit en représentation tensorielle soit en représentation spinorielle mais certainement pas les 2 deux.

Plus généralement un tenseur quelconque constitue une représentation réductible et il est commode de lui substituer une décomposition spinorielle pour les groupes continus. Dans ce cas les règles de contraction pour les tenseurs sont remplacées par les règles de contraction pour les indices spinorielles

[kalish]

Bonjour, j'exhume cette question simplement pour poser une question idiote à propos de mécanique quantique non linéaire.

L'équation de schroedinger est linéaire, cad entre autre, et dans ce cas, qu'une somme de solutions de cette équation est encore solution.

D'un autre côté l'idée (idéale ) de la mécanique quantique est de décrire l'ensemble d'un système avec une seule fonction d'onde. (ou un seul vecteur d'état de manière plus générale). L'équation de shroedinger appliquée à un vecteur d'état dans la représentation position est normalement:


Mais si on devait réellement modéliser tout le système, ne devrait on pas inclure l'énergie potentielle, par exemple créé par deux charges libres ce qui donnerait quelque chose du genre:



Ce qui ressemblerait à un terme pouvant engendrer une non linéarité, avec des effets sur le fait que la fonction d'onde est partout en même temps, avant même d'avoir interagie.

Sinon, même si je n'ai pas bien suivi la conversation précédente, j'aimerais simplement souligner que des objets avec indice, mais qui ne sont pas des tenseurs il y en a plein, le premier étant le pseudo tenseur de levi civitta, le deuxième en RG étant le symbole de Christoffel, il y en a en fait énormément. Pouvoir utiliser la convention de sommation ne délivre pas un permis de quadrivectorisation.

[kalish]

Après une petite promenade, je me suis aperçu de l'idiotie de la question, idéalement le potentiel dépend de R en tant qu'opérateur, c'est simplement que j'avais d'abord pensé aux problèmes de base type potentiel carré ou en marche, où le potentiel (et sa" position") est parfaitement défini à chaque point en tout instant.