Calcul d'une résistance

[inviteedc967b3]

Bonjour,

Voilà mon problème : je dois calculer la résistance des deux cônes tronqués infinis représentés sur la figure en pièce jointe.

La solution (donnée dans l’article où apparaît le problème) est la suivante :

R=f(a).R_perp
où et R_perp= représente la résistance pour α=90°
J’ai deux questions :
- comment calcule-t-on R_perp? (je ferais bien la loi d’ohm puisque je connais la surface transverse, mais que vaut le L de ?)
- Comment obtient-on le f(α) ?

Bon en résumé, j’ai pas compris grand-chose… donc des explications seraient les bienvenues !
Merci beaucoup et bon après-midi !
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[inviteedc967b3]

* le L de

[inviteedc967b3]

Au risque de faire une conversation en solo, je viens juste préciser pourquoi je bloque:

ne comprenant pas pourquoi ils calculent d'abord la résistance pour = 90° puis multiplient par un terme en , j'ai fait le calcul direct de la résistance d'un cône, qui me donne:


J'ai bien le facteur qui apparaît mais nullement f(). Bien plus, si je fais tendre vers 90°, j'obtiens R=0 et non par comme eux.

Du coup, je ne comprends pas comment ils se débrouillent..

[LPFR]

Bonjour.
Vous continuerez en solo jusqu'à ce que les images soient validées.
Sans la géométrie on ne peut rien dire.
Et sans les conditions limites non plus, car je subodore un petit problème entre les conditions limites et les équipotentielles. J'ai un problème avec la direction du courant sur la surface tronquée.

Si au bout d'un temps raisonnable, la pièce n'est pas encore validée, mettez-là chez un hébergeur gratuit comme celui-ci, et donnez-nous le lien.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteedc967b3]

Bonjour!

Oups oui je n'avais pas vu que l'image n'était pas encore validée...
Et effectivement, je n'ai pas été assez précise pour les conditions aux limites et les équipotentielles mais je n'ai pas très bien compris cette partie dans le texte. Ils disent que l'on considérera les équipotentielles comme étant sphériques (cela veut-il bien dire que l'on considère que le champ électrique est toujours orthogonal à la section sphérique du cône?) et pour les conditions aux limites, je ne sais pas trop ce qu'ils font...

Pour plus de facilité, je vous propose, si vous avez le temps, de regarder le lien de la thèse (ce n'est pas un article en fait, je me suis trompée dans mon premier post), la partie concernée est aux pages 67, 68 et 69.

Voici donc le lien: http://phys.au.dk/fileadmin/site_fil...Kim_Hansen.pdf

Lorsqu'ils écrivent "Far away from the constriction, the equipotential surfaces will be spherical, but at the connection to the constriction, we do not know the detailed shape of the equipotential surface due to the unknown geometry of the constriction", c'est que la modélisation des 2 cônes reliés par la "constriction ballistique" modélise les bouts de 2 fils macroscopiques que l'on a écartés pour former entre les deux un nanofil de quelques atomes de diamètre (comme un chewing-gum que l'on étire).

Merci encore LPFR!

[LPFR]

Re.
La petite phrase que vous avez copiée résume mes doutes. Loin de l'étranglement, on peut considérer que le courant est aligné avec l'étranglement. Il est radial avec, comme centre, l'étranglement. Les équipotentielles sont des surfaces sphériques centrées sur ce même étranglement.
Donc, vous pouvez considérer le problème comme des morceaux de calottes sphériques d'épaisseur 'dr' placées les unes à la suite de autres.
La résistance de chaque calotte sera

la surface de la calotte est

où Oméga est l'angle solide du cône.

Tout ça, ça marche loin de l'étranglement. Mais près de l'étranglement c'est moins bon car, comme dit la phrase "... at the connection to the constriction, we do not know the detailed shape of the equipotential surface due to the unknown geometry of the constriction".

La formule qu'il donne pour f(alpha) me semble un peu tirée d'un chapeau. Il faudrait lire en détail les approximations qu'il fait. Mais je n'ai pas envie de la faire. Du moins pas aujourd'hui. C'est le sujet même de la thèse.
A+

[inviteedc967b3]

Déjà, merci beaucoup pour cette réponse.
Quant à la formule pour f(alpha), elle vient directement parce que l'étude directe du cône permet d'éviter la décomposition qu'ils font.
En effet, l'angle solide est . En injectant cette relation dans votre formule puis en intégrant, on trouve directement la relation qu'ils donnent.

J'ai juste une dernière question. L'histoire des équipotentielles sphériques, c'est un peu comme si le courant était "diffracté" à la sortie de l'étranglement? Et y a-t-il une loi à partir de laquelle on peut déduire cette forme sphérique?

Voilà merci encore!

[LPFR]

... Et y a-t-il une loi à partir de laquelle on peut déduire cette forme sphérique?

Bonjour.
Question intéressante.
Ça me semble tellement évident que je ne vois pas une démonstration immédiate (du genre "par symétrie", par exemple).
J'y vais réfléchir (sans garantie, évidement).
Au revoir.

[LPFR]

Re.
Pas encore.
Mais par symétrie, les équipotentielles doivent être perpendiculaires à l'axe du cône. Et elles doivent être aussi perpendiculaires à sa génératrice car le courant près de la surface est parallèle à celle-ci.
Les calottes sphériques satisfont ces deux conditions, mais d'autres surfaces plus tarabiscotées aussi.
Et rien "de fond" n'oblige le courant à être isotrope à l'intérieur du cône. Si la résistivité n'était pas isotrope, le courant obtenu satisferait toutes les conditions (divergence et rotationnel), sans être isotrope.
Je crains que pour résoudre le problème il faille passer par des transformations conformes, qui transforment le cône en cylindre, dont la solution est connue. Mais ce type de problèmes je ne les ai vus que pendant mes études et cela fait vraiment trop longtemps. Je me souviens de la musique, mais pas des paroles.
A+

[inviteedc967b3]

Je n'ai pas tout à fait compris comment se fait le passage du cylindre au cône mais je ferai de plus amples recherches. Merci déjà pour avoir éclairci ma pensée!
Bonne soirée.