Bonjour,
On pose :
{A,B} est un ECOC car on a 3 vecteurs propres différents :
Commeon a bien trois vecteurs propres pour un ECOC de dimension 3...
Sauf que pour {A²,B}, on garde les mêmes vecteurs propres de B et au lieu d'avoir deux vecteurs propres de A (dont un confongu avec un de B), on en a un seul, ce qui revient au même non ?
(comme A² c'est A*A il vient une matrice a²I...)
Avec :
Salut,
je pense que tu as un probleme avec les vecteurs propres de matrice (avant meme de passer aux ECOC). En effet, tes deux matrices A et B doivent avoir 3 vecteurs propres chacunes.
Ensuite, si [A,B]=0, il existe une base dans laquelle elles sont diagonales.
Pour finir, si A² est proportionelle à 1, alors elle est diagonal dans toutes les bases, et formera forcement un ECOC avec B (en realité pas vraiment, il se peut qu'il y ait besoin d'une autre matrice C).
Bah ici pour toi {A²,B} est un ECOC ou pas ? C'est un vrai problème pour moi car normalement ça n'en est pas un et je vois pas pk.
Pour les vecteurs propres, oui il en faut autant que la dimension de la matrice mais t'as compris ce que je voulais dire.
je crois que Thwarn t'a tout dit!! Tu as quasiment ta répose dans son post!!!Envoyé par Thwarn
be seeing you, number 6!
Non pas vraiment parce que mes deux profs de quantique ont dit que {A²,B} n'était pas un ECOC donc forcément j'aimerai une confirmation que pour vous s'en est un.
calculons le commutateur [A²,B] avec la condition[A,B] = 0
[A²,B] = A².B- B.A² = A.A.B - A.B.A = A (A.B-B.A)= 0
Donc [A²,B]= 0 implique que A² et B ont un ensemble commun de vecteurs propres.
CQFD.
C'est ce que je voulais dire dans ma derniere phrase.
[A²,B]=0 n'implique pas forcement qu'ils forment un ECOC. Tu peux avoir besoin de plus de matrice pour etre sur que toutes les matrices soient diagonales et pouvoir nommer tous les vecteurs propres differement.
Ici, ce n'est pas le cas, car tu vas avoir deux vecteurs propres que tu pourras nommer |a²,b> et un |a²,-b>. Ce qui n'est pas assez pour differentier tous les vecteurs propres. Tu as besoin d'une autre matrice.
Oui exactement mais ce que je ne comprends pas dans ce cas c'est pourquoi {A,B} en est un ? Y a que {A,B} et {-A,B} comme solution ???
La grande difference, c'est que A² est proportionelle à 1, cad que n'importe quel vecteur est un vecteur propre de A², donc cette matrice est inutile pour faire un ECOC.
Si tu prends que A et B. Tu vois que A est deja diagonal, donc des vecteurs propres possibles sont A1=(1,0,0),A2= (0,1,0) et A3=(0,0,1). Mais tu remarques aussi que comme deux valeurs propres sont degenerées, et donc toutes combi lineaires de A2 et A3 sont des vecteurs propres de A avec valeur propre -a. On ne peut donc pas nommer tous les vecteurs de A par leur valeur propre, il y aurait des confusions possibles.
Maintenant prenons B. Il y a encore deux valeurs propres degenerées -b. Si tu regardes les vecteurs propres de B, ce sont B1=(1,0,0), vp b, B2=(0,1,1) vp b et B3=(0,1,-1) vp -b.
Ainsi, B1=A1, vp a et b, B2=A2+A3 vp -a et b et enfin B3=A2-A3, vp -a et -b. Tu vois que tu peux renommer sans aucune ambiguité B1=|a,b>, B2=|-a,b> et B3=|-a,-b>. Et ainsi A et B forme un ECOC. Il y a bien une base dans laquel les deux matrices sont diagonales.
Si tu essaies de faire la meme chose avec A², tu verras que c'est impossible car A²=a²1.
En esperant que ça t'eclairera
Oui merci, ça me permet de voir + clair dans l'ensemble des maths qu'on a a digéré pour notre cours de méca Q ^^.
Sinon, y a le Cohen, ou tu seras sur que la demonstration sera rigoureuse (mais peut-etre pas plus clair).
Il est sur ma table une semaine sur 2 depuis le début du semestre
