Equation de Dirac: deux approches

[LoicM]

Bonjour,

Je connais deux manières d'aborder l'équation de Dirac et j'ai du mal à faire le lien physique entre les 2.
D'un côté, à partir des représentations de SU(2), on arrive à une relation qui lie un "spineur gauche" au "spineur droit", relation qui n'est autre que l'équation de Dirac. D'un autre côté, en partant d'un lagrangien correctement deviné, on aboutit par application du principe de moindre action à l'équation d'Euler-Lagrange correspondante qui est l'équation de Dirac et qui n'est donc autre que l'équation du mouvement du champ dont on a donné le lagrangien.
Dans les deux cas il s'agit de l'équation qui régit l'évolution des particules de spin 1/2, mais comment donner de manière intuitive le lien entre ces deux approches, et en particulier comment expliquer que l'équation obtenue dans la première approche puisse être l'équation de l'évolution dans le temps de la particule correspondant au spineur considéré.

Merci de votre aide.
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[mariposa]

Bonjour,

Je connais deux manières d'aborder l'équation de Dirac et j'ai du mal à faire le lien physique entre les 2.
D'un côté, à partir des représentations de SU(2), on arrive à une relation qui lie un "spineur gauche" au "spineur droit", relation qui n'est autre que l'équation de Dirac. D'un autre côté, en partant d'un lagrangien correctement deviné, on aboutit par application du principe de moindre action à l'équation d'Euler-Lagrange correspondante qui est l'équation de Dirac et qui n'est donc autre que l'équation du mouvement du champ dont on a donné le lagrangien.
Dans les deux cas il s'agit de l'équation qui régit l'évolution des particules de spin 1/2, mais comment donner de manière intuitive le lien entre ces deux approches, et en particulier comment expliquer que l'équation obtenue dans la première approche puisse être l'équation de l'évolution dans le temps de la particule correspondant au spineur considéré.

Merci de votre aide.

Bonjour,

je ne comprend pas bien ce que tu entends par la première méthode.

Dans la deuxième méthode, le Lagrangien est d'abord construit à partir des representations irréductibles du groupe de Lorentz su(2)*su(2) et l' on déduit l'équation de Dirac.

[LoicM]

Bonjour,

je ne comprend pas bien ce que tu entends par la première méthode.

Dans la deuxième méthode, le Lagrangien est d'abord construit à partir des representations irréductibles du groupe de Lorentz su(2)*su(2) et l' on déduit l'équation de Dirac.

La méthode à laquelle je fais allusion c'est celle décrite par exemple dans ce document http://cel.archives-ouvertes.fr/docs...PDF/cel-43.pdf pages 16-17 ( ou équivalente dans "Ryder-Quantum Field Theory", p.41-42). Comment une relation entre spineur gauche et droit peut-elle traduire la dynamique de la particule correspondante? En d'autres termes, qu'est-ce qui dans cette démonstration correspond à l'application du principe de moindre action dans l'autre méthode?

[mariposa]

La méthode à laquelle je fais allusion c'est celle décrite par exemple dans ce document http://cel.archives-ouvertes.fr/docs...PDF/cel-43.pdf pages 16-17 ( ou équivalente dans "Ryder-Quantum Field Theory", p.41-42). Comment une relation entre spineur gauche et droit peut-elle traduire la dynamique de la particule correspondante? En d'autres termes, qu'est-ce qui dans cette démonstration correspond à l'application du principe de moindre action dans l'autre méthode?

J'ai regardé les 2 références que tu cites.

En effet dans ce cas on part de l'expression des 2 spineurs inéquivalentes et par un boost on engendre des relations qui engendrent l'équation de Dirac. Le prix a payé est de faire apparaitre des matrices gammas comme "concaténation" de matrices de Pauli.
On ne voit pas du tout le sens de ces matrices gamma, ce qui oblige de les étudier après coup.

Par contre la méthode qui consiste à construire le Lagrangien à partir de l'étude préalable du groupe de Lorentz m'apparait plus standard et plus transparente (c'est peut-être une affaire de gout).

En tout cas relativement à ta question, les 2 méthodes sont très proches: C'est le groupe qui dicte ce que l'on doit faire. La première méthode à un coté "astuce" alors que la deuxième est une méthode systématique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[LoicM]

Merci de tes commentaires. La deuxième méthode est en effet plus "traditionnelle". Mais la première m'intéresse aussi car Ryder dit qu'on peut faire la même chose pour les champs vectoriels, pour obtenir les équations de Maxwell et Proca ( p.68). Ce qui pour lui traduit la surabondance de composantes de spins. Tout ceci est pour moi difficile à traduire en termes d'évolution dans le temps pour les particules.

[mariposa]

Merci de tes commentaires. La deuxième méthode est en effet plus "traditionnelle". Mais la première m'intéresse aussi car Ryder dit qu'on peut faire la même chose pour les champs vectoriels, pour obtenir les équations de Maxwell et Proca ( p.68).

Si tu travailles avec le Ryder il est peut-être préférable de suivre ses raisonnements.

Ce qui pour lui traduit la surabondance de composantes de spins.

???

Tout ceci est pour moi difficile à traduire en termes d'évolution dans le temps pour les particules.

l'équation de Dirac, Maxwell, Proca et autre.. sont des équations de physique classique. Tu ne pourras parler d'évolution de particules seulement après quantification de celles-ci.

[LoicM]

Si tu travailles avec le Ryder il est peut-être préférable de suivre ses raisonnements. .

Les deux types de raisonnement y figurent. C'est le lien qui manque.

???

C'est à dire que si on a des relations entre les composantes de spin c'est qu'elles sont redondantes. Ryder p.68: "So these equations, for fields with non-zero spin, are simply a relation between the spin components; in Weinberg's words, they are a confession that we have too many spin components."

l'équation de Dirac, Maxwell, Proca et autre.. sont des équations de physique classique. Tu ne pourras parler d'évolution de particules seulement après quantification de celles-ci.

Ce qui me gène ce n'est pas le passage aux particules ( en effet la quantification des champs règle ça) c'est l'aspect "équation du mouvement". Comment des relations entre composantes de spins des champs peuvent-elles être des équations du mouvement (pour les champs classiques déjà)?

[mariposa]

Les deux types de raisonnement y figurent. C'est le lien qui manque.

dans ce cas il faudrait préciser ta question en référant excatement les pages du Ryder, en espérant pouvoir t'aider (j'ai comme l'impression que c'est un manque de recul sur les groupes).

C'est à dire que si on a des relations entre les composantes de spin c'est qu'elles sont redondantes. Ryder p.68: "So these equations, for fields with non-zero spin, are simply a relation between the spin components; in Weinberg's words, they are a confession that we have too many spin components."

Ah oui. Je ne sais pas comment t'expliquer à l'improviste mais cela est lié au fait que tu joues avec 2 groupes: Le groupe de Lorentz SO(3,1) et un groupe de jauge qui est U(1) pour la QED.

Ce qui me gène ce n'est pas le passage aux particules ( en effet la quantification des champs règle ça) c'est l'aspect "équation du mouvement". Comment des relations entre composantes de spins des champs peuvent-elles être des équations du mouvement (pour les champs classiques déjà)?

Si tu as 1n seul champ F(x,y,z,t) celui-ci se transforme par changement de base en un autre champ T.F(x,y,z,t) = F1(x,y,z,t).

T est une transformation du groupe.

Si par contre tu as un champ à 2 composantes (le spin est 1/2) F et G ceux-ci se transforment à la fois comme s'il étaient indépendant mais aussi en se mélangeant

Donc

T.F(x,y,z,t) = A(T). F1(x,y,z,t) + B(T).G1 (x,y,z,t)

T.G(x,y,z,t) = C(T). F2(x,y,z,t) + B(T).G2 (x,y,z,t)

[LoicM]

dans ce cas il faudrait préciser ta question en référant excatement les pages du Ryder, en espérant pouvoir t'aider (j'ai comme l'impression que c'est un manque de recul sur les groupes.

En fait Ryder énonce les 2 méthodes pour arriver aux équations (Dirac p.41 et p.137), et cite que la première méthode peut être aussi appliquée aux équations de Maxwelle et Proca ( p.68).

Si par contre tu as un champ à 2 composantes (le spin est 1/2) F et G ceux-ci se transforment à la fois comme s'il étaient indépendant mais aussi en se mélangeant

Donc

T.F(x,y,z,t) = A(T). F1(x,y,z,t) + B(T).G1 (x,y,z,t)

T.G(x,y,z,t) = C(T). F2(x,y,z,t) + B(T).G2 (x,y,z,t)

Je pense qu'une partie de la réponse est là en effet : le mélange des composantes qui dépendent de l'espace et du temps amène à une équation qui fait intervenir le temps et donc c'est une équation du mouvement.

Ce que je voudrais approfondir ( et sur lequel Ryder passe allègrement), c'est la chose suivante : dans la méthode 2 (p.137), le principe de moindre action, qui me semble être un des postulats fondamentaux de la physique, est nécessaire pour aboutir aux équations du mouvement ( Dirac, Maxwell.. suivant le type de champ), comme équations d'Euler-Lagrange. Dans la méthode 1 ( p.41 et 68), ce principe n'intervient pas, et on aboutit pourtant au même résultat. Je comprends que les considérations de symétrie, via l'utilisation des groupes mène d'une part aux lois de transformation du champ et d'autre part au Lagrangien, mais je ne vois pas où est passé dans le premier cas l'équivalent du principe de moindre action.

Cela voudrait-il dire que ce principe n'est pas nécessaire pour aboutir aux équations du mouvement. Si c'est le cas, il devrait donc pouvoir être démontré à partir de considération de groupes/symétrie, puisque c'est tout ce qui intervient dans la première démonstration. Il me semble qu'il y a quelque chose de profond caché là-dessous.

Merci en tout cas pour ton aide.

[mariposa]

En fait Ryder énonce les 2 méthodes pour arriver aux équations (Dirac p.41 et p.137), et cite que la première méthode peut être aussi appliquée aux équations de Maxwelle et Proca ( p.68).

Bonjour,

En fait il n y a pas fondamentalement 2 méthodes mais une seule qui est fondée sur la TRG.

C'est ce qu'il fait explicitement à partir de la page 36 jusqu'a la page 41 en étudiant le groupe SL(2,C) qui recouvre le groupe de Lorentz SO(3,1) et qui correspond à la "première méthode".

Ensuite il traite des équations de Maxwell en partant de leur formulation usuelles qu'il exprime de façon covariante de Lorentz de sorte à mettre en évidence l'aspect TRG des grandeurs physiques. Par exemple Di.Fij = 0 est une contraction sur i qui donne un quadrivecteur de Lorentz. De même pour le Dalembertien de Ai

Pour former l'équation de Procca qui consiste à donner une masse m au photon il copie la structure de Klein-Gordon en tenant compte de la nature tensorielle du champ de Maxwell.

Il utilise donc les propriétés de symétrie pour construire les équations. Sauf pour les équations de Maxwell qu'il prend pour une donnée (en fait on peut engendrer les équations de Maxwell à partir de l'équation de Dirac grace à la théorie de jauge sur le groupe U(1).

Ce que je voudrais approfondir ( et sur lequel Ryder passe allègrement), c'est la chose suivante : dans la méthode 2 (p.137), le principe de moindre action, qui me semble être un des postulats fondamentaux de la physique, est nécessaire pour aboutir aux équations du mouvement ( Dirac, Maxwell.. suivant le type de champ), comme équations d'Euler-Lagrange. Dans la méthode 1 ( p.41 et 68), ce principe n'intervient pas, et on aboutit pourtant au même résultat.

En fait dans la "méthode 2" il ne part pas de Zéro. Il se donne l'équation de Dirac (il a donc préalablement utiliser les arguments de symétrie) et cherche (en principe par essais et erreurs) à deviner le Lagrangien. c'est comme si tu partais de l'expression

m.dv/dt = -d/dx

et que tu cherchais à deviner de quel Lagrangien cette expression dérive.

Le pourquoi de ceci est que pour quantifier le problème il faut l'hamiltonien. pour avoir l'hamiltonien il faut connaitre le moment conjugué de Lagrange et donc le Lagrangien.

Je comprends que les considérations de symétrie, via l'utilisation des groupes mène d'une part aux lois de transformation du champ et d'autre part au Lagrangien, mais je ne vois pas où est passé dans le premier cas l'équivalent du principe de moindre action.

Cela voudrait-il dire que ce principe n'est pas nécessaire pour aboutir aux équations du mouvement. Si c'est le cas, il devrait donc pouvoir être démontré à partir de considération de groupes/symétrie, puisque c'est tout ce qui intervient dans la première démonstration. Il me semble qu'il y a quelque chose de profond caché là-dessous.

Merci en tout cas pour ton aide.

En résumé il n'y a pas fondamentalement chez Ryder 2 méthodes. on aurait pu écrire dès le départ toutes les expressions de Lagrangien relativistes possibles (il y a en a un nombre infini) qui découlent du groupe de Lorentz (à l'image des expressions de la page 48). Seulement cela serait difficile à comprendre physiquement. C'est pourquoi en général on part de l'exemple simple du champ de Klein-Gordon réel puis complexe...

[LoicM]

Bonjour,
En fait dans la "méthode 2" il ne part pas de Zéro. Il se donne l'équation de Dirac (il a donc préalablement utiliser les arguments de symétrie) et cherche (en principe par essais et erreurs) à deviner le Lagrangien.

Le pourquoi de ceci est que pour quantifier le problème il faut l'hamiltonien. pour avoir l'hamiltonien il faut connaitre le moment conjugué de Lagrange et donc le Lagrangien.

C'est donc là qu'était mon incompréhension : en fait il se donne l'équation de Dirac, et en déduit le Lagrangien grâce au principe de moindre action, et non l'inverse. On n'a donc ici qu'une seule démonstration de l'équation de Dirac, celle qui utilise les lois de transformation des spineurs sous Lorentz.

OK, merci beaucoup.

[mariposa]

C'est donc là qu'était mon incompréhension : en fait il se donne l'équation de Dirac, et en déduit le Lagrangien grâce au principe de moindre action, et non l'inverse. On n'a donc ici qu'une seule démonstration de l'équation de Dirac, celle qui utilise les lois de transformation des spineurs sous Lorentz.

OK, merci beaucoup.

C'est excatement çà.

Pour résumer:

1- Il étudie le groupe SO(3,1) dont les representations iréductibles sont notées (j,0) et (0,j).

2- Il choisit le 2 representations fondamentales inéquivalentes (1/2,0) et (0,1/2) et étudie l'effet d'une transformation boost. Ceci engendre l'équation de Dirac. En notant que les 2 representations de dimension 2 forment une represention iréductible dedimension 4 en tenant compte de l'inversion.

Cette démonstration ne me parait pas standard au regard de la TRG. En particulier on ne voit pas le rôle des matrices gamma qu'il faut étudier après coup alors qu'elles découlent des propriétés du groupe.

Cette démonstration est proche de la démonstration originale de Dirac qui a l'avantage d'être "pragmatique" de bout en bout. Cette démonstration c'est celle de Dirac habillée d'arguments de groupes.

[LoicM]

OK. Encore merci, et à une prochaine fois.

[chaverondier]

Bonjour,

Je connais deux manières d'aborder l'équation de Dirac et j'ai du mal à faire le lien physique entre les 2.
D'un côté, à partir des représentations de SU(2), on arrive à une relation qui lie un "spineur gauche" au "spineur droit", relation qui n'est autre que l'équation de Dirac. D'un autre côté, en partant d'un lagrangien correctement deviné, on aboutit par application du principe de moindre action à l'équation d'Euler-Lagrange correspondante qui est l'équation de Dirac et qui n'est donc autre que l'équation du mouvement du champ dont on a donné le lagrangien.
Dans les deux cas il s'agit de l'équation qui régit l'évolution des particules de spin 1/2, mais comment donner de manière intuitive le lien entre ces deux approches, et en particulier comment expliquer que l'équation obtenue dans la première approche puisse être l'équation de l'évolution dans le temps de la particule correspondant au spineur considéré.

Peut-être en s'appuyant sur une approche plus physique de l'équation de Dirac comme celle proposée ici (offrant, en outre, l'avantage d'une extension naturelle unique au cas où est prise en compte la gravitation)

Dirac equation from the Hamiltonian and the case with a gravitational field, Foundation of Physics Letters, June 2006, M. ARMINJON http://www.springerlink.com/content/20023xp6633169l2/

[LoicM]

Sans doute intéressant mais l'accès à cet article est sécurisé

[chaverondier]

Sans doute intéressant mais l'accès à cet article est sécurisé

Tu l'as en accès libre ici : Dirac equation from the Hamiltonian and the case with a gravitational field, Foundation of Physics Letters, June 2006, M. ARMINJON http://arxiv.org/abs/gr-qc/0512046