Obtention par Newton de la loi de gravitation universelle à partir des lois de Kepler

[invitecaeaab4f]

Bonjour,

Soit a^3/T² = K = cste
Soit M une planète de masse m en mouvement circulaire uniforme autour du soleil, assimilé à un point O de masse Ms. On note R le rayon de la trajectoire.
Repère (0,e(ro),e(fi),ez)

Donner l’expression du vecteur position OM de la planète. En déduire l’expression de son accélération a en fonction de R et la vitesse angulaire w.
OM=Re(ro) et a=-Rw²e(ro)

En utilisant la deuxième loi de Newton, montrer que la force F exercée par le soleil sur la planète est centrale.
A l’aide de la troisième loi de Kepler, établir l’expression de sa norme F en fonction de m,R et K.

En espérant de l’aide pour ces deux dernières questions.

Merci d’avance.
-----

[invitec1242683]

Puisque F=ma , F=-mRw²e(rho) .
En d'autres termes , F=-mv²/R puisque v=Rw .
Donc c'est une force en 1/R (centrale).
De plus , la 3e loi de Kepler indique que T²/a^3=cste=1/K.
or T=2pi/w (c'est la définition w=2pif = 2pi/T car f=1/T)
et et w=(F/mR)^1/2
Donc T²=a^3/K d'où 4pi²mR/F=a^3/K.
D'où F=4pi²a^3 mR/K

[invitecaeaab4f]

Ok ok merci beaucoup.

et si on veut la norme F de la force exercée par la planète sur le soleil? c'est la même ?

et comment en déduire l'expression Fs/M en fonction de m,Ms, R et d'une constante G que l'on déterminera ?