Chute d'un corps

[invite5cf37a3e]

Bonsoir à tous,

En réalité, le problème est beaucoup plus simple (à condition de faire les bonnes hypothèse, tout de même)

D'abord les hypothèses (pas de physique ni de physicien sans hypothèses et conditions initiales!)
La masse en chute libre est indéformable,
Le plateau de la balance est sans masse et indéformable (jamais vrai, mais faisons cette hypothèse pour simplifier)
Le ressort de raideur k est à spires non jointives et est sans masse
On néglige les frottements
On néglige la différence d'énergie potentielle de la masse sur la course du ressort (delta h faible).

Voilà, à partir de là, on peut commencer à travailler!

La loi de conservation de l'énergie nous dit:

Epi + Eci = Epf + Ecf

où
Epi = Energie potentielle du ressort à l'impact
Eci = Energie cinétique de la masse à l'impact
Epf = Energie potentielle du ressort en fin de première course
Ecf = Energie cinétique de la masse en fin de première course

La messe est quasiment dite, sachant que

Epi = 0
Eci = 1/2 mv²
Epf = 1/2 kx²
Ecf = 0

où x = l'enfoncement du ressort
donc

1/2 mv² = 1/2kx²

Hors, suivant la même loi de conservation de l'énergie dans la chute du corps, 1/2 mv² = mgh

d'où
x= racine (2.m.g.h/k)

Seul inconnue dans votre problème: la raideur du ressort k

Si on connait la raideur k, il est facile ensuite d'en déduire la déviation de l'aiguille maxi peu aprés l'impact.
-----

[invite5cf37a3e]

S'agissant d'une corde, le résultat est presque le même: dans ce cas il faut introduire la différence d'énergie potentielle sur l'étirement de la corde qui n'est plus négligeable.

[invite5cf37a3e]

Epi + Eci = Epf + Ecf
devient
Epi + Epmi + Eci = Epf + Epmf + Ecf

où Epmi ou f sont les énergies potentielle de la masse sous l'action de la pesanteur.
si Epmi = 0 alors Epmf = mgx

[invite5cf37a3e]

On obtient l'équation du second degré:

k.x² - 2.m.g.x -mgh = 0

Que je vous laisse résoudre

[invite5cf37a3e]

Tout cela est du niveau bac

[invite5cf37a3e]

heu! Petite erreur de frappe (corrigée dans l'équation)

si Epmi = 0 alors Epmf = - mgx
On est plus bas en x qu'au moment de l'impact!!!

[invitea774bcd7]

Une constante de raideur typique a été donnée plus haut dans ce fil

[invite5cf37a3e]

A propos de la chute d'un corps en chair et en os au bout d'une corde, il faut prendre en compte l'inertie dudit corps qui aurait tendance à vouloir continuer sa chute, même si la corde est en bout de course.

Si l'amortissement n'est pas suffisant (l'allongement admissible), vous finissez coupé en deux!

[invite34aa85ff]

Bonsoir,

ce sujet est devenue un troll on dirait,

Chacun y va de sa théorie et de ses formules, cela a était dit le problème est beaucoup plus complexe.

Les données de départ insuffisante, et même il y a trop de paramètres à connaitre pour faire un calcule réaliste.

tous les exemples: sauter sur une balance, lâcher un poids à une corde, une voiture qui fonce dans un mur traite sont des problèmes de dynamiques et de résistances des matériaux.

si vous croyez que la force d'impact ne dépend que du poids, alors lâchez une bouteille en carton de 1l sur le pieds puis un poids en acier de 1kg, on verra bien ce qui fait le plus mal?

++

[invite60be3959]

Pour le cas de la corde on peut tout de même élaborer un modèle "poids-tension" tout à fait réaliste et qui tient compte des caractéristiques physiques fondamentales du problème. Dans le lien que j'ai donné plus haut on apprend qu'une corde dite "corde à simple" de longueur L ne doit pas s'allonger de plus de L/10 pour une masse de 80kg. Pour L=10m par exemple, cet allongement maximal sera donc de 1m. Ce sera notre point de référence. On peut très bien considérer une corde comme un ressort de constante de raideur k et dont la tension vaut k*x(t), x(t) étant l'allongement de la corde. A priori on ne connait pas k mais on pourra la déterminer après calcul gràce à l'allongement max de 1m pour m=80kg.

Soit donc une corde de longueur 10m fixée à l'une de ses extrémité, et à laquelle on accroche, à l'autre extrémité, une masse m(on néglige le poids de la corde). On prend pour origine de l'axe Ox l'extrémité basse de la corde(là où est accrochée la masse m). Après application du PFD on obtient l'équation différentielle suivante :



pour les conditions initiales suivantes : et
la solution générale de l'équa. diff. précédente est :



Comme on pouvait s'y attendre, on obtient un mouvement de type oscillatoire périodique non-amortie. (On ne s'intéresse qu'à l'allongement de la corde, c'est pourquoi la longueur L n'apparait pas explicitement dans l'expression de x(t). Mais il ne faut pas perdre de vue que toutes les caractéristiques de la corde sont contenue dans la constante k)

On peut à présent obtenir la valeur de la constante de raideur k qui vaut environ 1570 N/m. C'est la valeur qu'il faut pour que la corde ne s'allonge pas plus de 1m pour une masse de 80kg lorsque v₀=0 m/s. Pour cette valeur de k et de m la corde s'allonge de 1m en 0,71 s(demi-période) à peu de choses près.
Maintenant si on lâche d'une hauteur h au dessus de l'origine une certaine masse m' (que l'on cherche à déterminer), elle aura en x=0 une vitesse .
Quelle sera donc la valeur de m' qui fera s'allonger la corde de 1m ? Pour h=2m on trouve m' = 26 kg environ, l'allongement de 1m étant atteint en 0.2 s (la période d'oscillation est à peu près 1.75 fois plus courte qu'avec une masse de 80 kg sans vitesse initiale).

On remarque que la relation entre m et m', relation cherchée originalement par Fistos, n'est pas du tout triviale. Il est a priori impossible de déterminer cette relation de façon algébrique (en tout cas Mathematica 5.0 n'en veut pas ! ). On pourrait peut-être en obtenir une de façon empirique en répetant l'analyse précédente pour différentes masses et pour différents allongements de référence... avis aux amateurs !

p.s : Apanik : "Chacun y va de sa théorie et de ses formules, cela a été dit, le problème est beaucoup plus complexe. Les données de départ insuffisante, et même il y a trop de paramètres à connaitre pour faire un calcule réaliste."

---> Je crois que tu viens de donner une très bonne définition de la recherche en physique !!!

[invite5cf37a3e]

Bonsoir,

ce sujet est devenue un troll on dirait,

Chacun y va de sa théorie et de ses formules, cela a était dit le problème est beaucoup plus complexe.

Les données de départ insuffisante, et même il y a trop de paramètres à connaitre pour faire un calcule réaliste.

tous les exemples: sauter sur une balance, lâcher un poids à une corde, une voiture qui fonce dans un mur traite sont des problèmes de dynamiques et de résistances des matériaux.

si vous croyez que la force d'impact ne dépend que du poids, alors lâchez une bouteille en carton de 1l sur le pieds puis un poids en acier de 1kg, on verra bien ce qui fait le plus mal?

++

C'est bien la raison de l'énoncé d'hypothèses.
Ce que j'ai exposé n'est pas de la recherche mais une question de cour de terminale très basique.
Tout tiens, encore une fois, dans les hypothèses.

Je me souviens d'un problème (donnée pour les "vacances" de noël lorsque j'étais en math spé: trop long à traiter en période scolaire) où il fallait simplement décrire le mouvement d'une règle posée verticalement le long d'un mur et qui bascule sur le sol.

Sans hypothèses restrictives, la résolution est impossible.

[invite5cf37a3e]

Evidemment, si on ne restreint pas le champ de travail, tout problème de vient complexe, voir impossible.

Le tout est de savoir à quel fin on fait son calcul. Si on veut de la théorie pure sans rien négliger, alors oui rien n'est simple. Maintenant dans le cadre de la question de départ de ce fil, on cherche seulement à avoir une idée.

Le savoir d'un ingénieur est justement de prendre ne compte ce qui sera maitrisable et donnera le résultat escompté. Même s'il est approximatif. Il faut juste que l'approximation soit admissible. D'où le soin à apporter aux hypothèses ey aux conditions initiales.
Le problème de la règle nous avait été donné pour bien comprendre ce point.

[invite5cf37a3e]

D'abord on restreint tout, puis on introduit, petit à petit, les conditions réelles, jusqu'à ce que cela bloque. Et ça bloque presque tout le temps.

Alors oui les problèmes sont complexes si on veut tout prendre (ce que ne demandait pas Fistos) et non lorsque l'on simplifie (enfin parfois non)

[invite5cf37a3e]

C'est comme cela que fonctionne à peu prés tout ce qui existe dans le monde industriel. Et ça marche suffisament pour envoyer des fusée sur la Lune!

[invite5cf37a3e]

Maintenant, si on parle d'un homme qui saute sur une balance, sans hypothèses, c'est-à-dire en prenant tout les paramètres réelles pouvant intervenir, même infiniment faiblement, alors avant même que de commencer à chercher à trouver une solution, il vous faudra prendre en compte tout les phénomènes physiques. Et vous en aurez pour des jours rien que pour les énumérer.
Choc mou, choc élastique. Frottement de l'air, frottement dans le ressort, inertie du ressort, masse de la partie mobile de la balance, le revêtement caoutchouté du plateau, les déformations de la masse en chute, les déformation du plateau, l'énergie sonore absorbant une partie du phénomène..... Je peux vous en citer des pages et des pages sur ce simple problème.

Si vous ne voulez pas d'hypothèse, vous ne ferez jamais rien: vous vous perdrez dans la seule énumérations des phénomènes (connus) existant. Vous serez même obligé d'oublier les éléments que vous ne connaissez pas (structure cristalline du plateau de la balance et dissipation de l'énergie dans l'édifice par exemple)

[invite5cf37a3e]

Dans la réponse que j'ai faite, les hypothèses sont raisonnables pour obtenir une réponse simple.
Par exemple, un corps supposé ne pas se déformer permet de prendre le cas extrême avec une déviation maximum de l'aiguille.

[invite5cf37a3e]

Au fait, un kilo de lait ou un kilo d'acier sur un pied n'a effectivement pas le même effet.

Pourtant c'est bien de la même force dont il s'agit.(si on fait des hypothèses, la encore, sur par exemple les frottements...) et sur une balance, la différence ne sera pas fulgurante.

Le poinçonnage sur le pied, lui, est différent. Attention quand on donne des exemples, de bien maitriser ce que l'on dit.

[invite5cf37a3e]

Dans le post 40, Vaincent nous expose un tout autre problème: quel est la cinématique et la dynamique d'un mobile au bout d'une corde?
Je n'ai répondu (par de la dynamique) qu'à la question de Fistos: jusqu'où la corde descend-t-elle au maximum?

L'étude de Vaincent s'intèresse plus au phénomène transitoire et oscillatoire.
Il a d'ailleurs fait des hypothèses sans les énoncer: une corde et un mobile réelle suivront une oscillation amortie et non une oscillation non amortie. Il y a forcément une antropie positive que l'on retrouvera dans les frottement, dans les déformations volumiques de la corde, dans les vibrations.... Toujours ces foutus hypothèses.
Pas d'hypothèse pas = pas de solution plausible.
Et ce n'est pas parce qu'il n'y a pas d'hypothèses dans l'énoncé qu'il ne faut pas en faire.

[invite5cf37a3e]

Oups, j'écris un peu vite et sans relire assez: je fais plein de fotes et m'en excuse. Par exemple il fallait lire entropie, évidemment (lol)

[invite5cf37a3e]

Il me vient un exemple d'hypothèse sur un cas super simple ( super compliqué en fait, si on ne fait pas d'hypothèse)

Calculez la période d'oscillation d'un pendule pesant.

Tout le monde connait le résultat. Et cela parait très simple.
Mais si vous ne faites pas l'hypothèse de vous situer aux petits angles d'oscillation, la démonstration devient vite rédhibitoire.

En effet, pour calculer cette période, on fait l'approximation que i=sin(i) aux petits angles.
Supprimez cela, et essayez de retrouver la formule. Je vous souhaite bien du courage!

[invite60be3959]

L'étude de Vaincent s'intèresse plus au phénomène transitoire et oscillatoire.
Il a d'ailleurs fait des hypothèses sans les énoncer: une corde et un mobile réelle suivront une oscillation amortie et non une oscillation non amortie. Il y a forcément une antropie positive que l'on retrouvera dans les frottement, dans les déformations volumiques de la corde, dans les vibrations....

j'ai tout de même précisé que je considérais la corde comme un ressort(j'ai omis parfait) de raideur k, ce qui suppose implicitement qu'il n'y a pas de déformations volumiques internes (même si dans un ressort réel il y en a effectivement mais sont moins important que dans une corde faite de multiples "cordelettes" entrelacées). De plus je ne me suis uniquement intéressé qu'à la 1ère demi-periode(celle où l'amortissement est quasiment négligeable) afin d'obtenir des résultats plus réalistes, et de répondre au mieux à la curiosité de Fistos : quelle masse faudrait-il lâcher de 2m pour obtenir le même allongement qu'une masse de 80 kg sans vitesse initiale ?

Vous avez l'air d'avoir un certains recul et une certaine connaissance sur ces sujets. Quelle(s) type(s) de contrainte(s) pourrais-je rajouter à l'équa. diff. pour obtenir un résultats plus réaliste dans le temps ? Ou plus précisément en particulier, sous quel forme se traduirait les déformations volumique de la corde dans l'équa. diff. ?

[triall]

Désolé , je zape la corde et reviens au saut , car j'ai trouvé la méthode pour calculer et j'ai débusqué une erreur de raisonnement.

Dans la réponse que j'ai faite, les hypothèses sont raisonnables pour obtenir une réponse simple.
Par exemple, un corps supposé ne pas se déformer permet de prendre le cas extrême avec une déviation maximum de l'aiguille.

Bonjour , je ne crois pas que ce soit la recherche de Fistos, en fait, il ,et on ,se contrefout de la balance , le but est de savoir ce que l'on peut ressentir dans nos jambes quand on saute de 2 m de hauteur.

Quand on saute de cette hauteur, on ne tombe pas raide, croyez moi, on replie ses jambes. Ce qui est intéressant est de savoir combien on encaisse dans ses jambes, là on peut parler de g.
On peut estimer qu'on replie les jambes sur 70cm, c'est à dire qu'on a 70 cm pour s'arrêter et passer de X. m/ s à 0 .
Le calcul est assez simple, certes, mais attention d'ajouter votre poids aussi.
ET je viens de me rendre compte
1)Que j'ai fait une erreur dans les calculs , car en sautant de 2 m de hauteur, et en ayant 0.7 m pour s'arrêter , il faut calculer la vitesse de chute sur 2-0.7=1.3 m et non sur 2m !! Donc pour 90 kg, je trouve finalement avec le calcul de la décélération..2520 Newtons et 257 kg

2)Si l'on se passe le film à l'envers, on peut résoudre le problème inverse, quelle force sur 70 cm doit -on produire sur les jambes pour monter à une hauteur de 2 m , et le résultat sort très facilement en utilisant F x L=mgh . Hé oui, grand couillon(ça m'est adressé !) , où F est la force à produire sur L pour monter une masse m sur Terre (avec g =9.8) de h de hauteur (ici 2m)
D'où F=mgh/L =2520 N .... et 257 Kg

Ceci Fistos est le BON CALCUL , car trouvé 2 fois avec 2 méthodes différentes, la 2 étant la mieux bien entendu! (pourquoi je n'y ai pas pensé avant !!!)
Tu peux te servir maintenant de cette formule pour calculer la Force x L que peux avoir un équilibriste pour faire sauter son camarade qui lui même aura la même impulsion

Cordialement .Signé le grand couillon !!!

[invite5cf37a3e]

Quelle(s) type(s) de contrainte(s) pourrais-je rajouter à l'équa. diff. pour obtenir un résultats plus réaliste dans le temps ?

Pour faire intervenir un frottement simple, il faut effectivement ajouter un terme à l'équa. dif. Vous avez un terme pour l'accélération, un autre pour la position, il vous faut rajouter un terme pour la vitesse.
C'est ce terme qui vous apportera un amortissement dans la solution de l'équation.
Un frottement est généralement proportionnel à la vitesse (mais ce peut être plus complexe... comme toujours suivant les hypothèses)
l'équation sera de la forme (toujours pour un frottement simple)

ax'' + bx' + c =0

b correspond au frottement

[invite5cf37a3e]

Quand on saute de cette hauteur, on ne tombe pas raide, croyez moi, on replie ses jambes.

Et j'en suis fort aise!
Mais pour le calcul...

J'ai eu à étudier la mécanique du genoux humain dans une thèse de recherche il y a 25 ans. Ce que je peux vous rapporter c'est que les équations sur le seul genoux ne sont pas piquées des hannetons!
Si vous voulez calculer quelque chose mieux vaut essayer avec des hypothèses utilsables.

De plus pour calculer l'accélération dans les jambes, il n'est pas nécessaire que le corps se déforme.
Il suffit juste de calculer la décélération lors de la compression des ressorts.
Si vous amortissez la chute par flexion des jambes, vous diminuez les contraintes. Mais de combien... impossible à calculer.
(basculement de la tête, aide des bras, élasticité de toutes les parties du corps, moment d'inertie de toutes les parties en rotation... )

[invite5cf37a3e]

De plus je ne me suis uniquement intéressé qu'à la 1ère demi-periode(celle où l'amortissement est quasiment négligeable)

Détrompez vous! C'est justement dans la première demi période que les frottements sont les plus importants: n'oubliez pas qu'ils sont proportionnels à la vitesse.

Mais votre démarche est correcte.
S'il s'agit juste de calculer l'allongement de la corde, croyez-moi, la méthode la plus simple est le bilan énergétique que je vous ai présenté.
Maintenant, s'il s'agit de décrire le mouvement, votre méthode est plus appropriée. Mais nous devons obtenir le même résultat sur le point bas.
S'il s'agit de calculer la décélération, encore une fois votre méthode est celle qu'il faut utiliser.
N'oubliez dans vos conditions initiales (au moment ou la corde est juste tendue sans étirement) de prendre en compte l'accélération qui vaut g à ce point


On pourrait se simplifier la vie en calculant le temps mis pour atteindre le point bas et dire que l'accélération passe de g à 0 dans ce laps de temps...

[invite5cf37a3e]

ax'' + bx' + c =0

b correspond au frottement

Reoups!!!
il fallait lire

ax'' + bx' + cx + d=0

evidemment, mais vous aurez corrigé de vous même!

[invite60be3959]

Reoups!!!
il fallait lire

ax'' + bx' + cx + d=0

evidemment, mais vous aurez corrigé de vous même!

bien entendu ! mais à vrai dire je m'en doutait un peu quand même ! j'éspérais une formulation plus précise avec des paramètres auxquels je n'aurais pas pensé, mais bon ça va me donner l'occasion de chercher !

[invite60be3959]

Détrompez vous! C'est justement dans la première demi période que les frottements sont les plus importants: n'oubliez pas qu'ils sont proportionnels à la vitesse.

En mode non-amortie la vitesse est également périodique et il y a donc aucune raison que les frottements soient maximum uniquement sur la 1ère demi-période (ils le sont de manière périodique). C'est l'accumulation des amortissement qui va jouer un rôle important ici. Ce que je voulais dire initialement, c'est que l'on observe bien que la différence d'amplitude entre les mode amortie et et non-amortie est plus faible sur la 1ère demi-période que sur les suivantes, à cause de l'accumulation des amortissements. (j'ai résolu l'équation avec amortis, et surtout avec Mathematica !)

[invitefd754499]

Pardonnez moi, mais tkiteasy, pourriez-vous faire quelques efforts pour éviter de poster 5 posts d'affilée...le multipost est autorisé, mais tout de même Ce n'est pas pour améliorer la lisibilité...

Merci d'avance.

Cordialement,

[triall]

Bon, allez, c'est fini la récré, rangez vos équations .Vos calculs, aussi interressants qu'ils soient sont un peu à côté de la plaque par rapport à la question posée, il me semble .
Voici la seconde question de Fistos :

Bonjour,


J'en reviens à mon exemple :
Je constate simplement que la rupture d'une corde peut se produire dans 2 cas :
A. Lorsque la masse immobile M1 qu'on y suspend atteint une certain nombre de Kg
B. Lorsqu'on laisse tomber d'une hauteur H, une masse M2 accrochée à cette corde fixée solidement à son autre extrémité.

Ces deux applications produisant le même effet (rupture de la corde), il me semble donc imaginable, que pour une corde donnée, il puisse exister une relation entre d'une part la masse M1 et d'autre part la masse M2 combinée à la hauteur H.

Merci à ceux qui ont bien voulu se pencher sur ma question.

Relisez bien la question, elle est assez simple finalement, on a un point de rupture avec une masse M1 , quel est l'équivalent avec une masse M2 lancée de la hauteur H .
Regardez le fichier joint .
On prend une corde de h de longueur , on y accroche M1 qu'on augmente au fur et à mesure pour provoquer la rupture , la corde s'est allongée de L et a cassé sous une force F=M1g .

On reprend une autre corde de la même facture , de même longueur h , à laquelle on accroche une masse M2 que l'on va lancer de la hauteur h-L (là où est accroché la corde) qui va faire casser la corde .

On suppose que la corde va donc recevoir la même force F=M1g de rupture pendant la longueur L (même déformation )
Ce qui me permet d'écrire avec le théorème de l'énergie potentielle :
F.L=M2gh d'où M1L=M2h ET M2=M1.L/h

Pas besoin de sortir la grosse artillerie !!!
On voit que cette masse M2 dépend directement de M1 et du rapport L/h qu'on va appeler rapport d'étirement pour cette masse de rupture, qui ne devrait pas dépendre de la longueur de la corde .
On a donc ce résultat (remarquable ndr) la masse M2 de rupture en chute sera proportionnelle à M1 masse de rupture statique et au rapport d'étirement associé à cette masse limite M1.
Exemple : rupture sous 10000 N¨M1 (soit 1020 kg ) en statique avec rapport d'étirement de 20% .
On aura la même rupture avec une masse M2 de 204 Kg lancée de .....n'importe quelle hauteur (la corde étant évidement d'autant plus longue, le rapport d'étirement le même..)!
Ca c'est sur le papier, déja avec une hauteur identique ça devrait beaucoup mieux cadrer ! Par exemple, on a une rupture en statique pour une longueur de corde h-L, et bien pour la rupture en dynamique on reprend cette même hauteur h-L . Pour un rapport de 1/5 et bien une masse 5 fois plus faible pour M1 , simple !!!
Pour avoir le moins de rupture en chute , alors ,on voit malgré tout qu'il faudrait diminuer ce rapport d'étirement , au détriment du confort de celui qui tombe !(Rappel , le rapport d'étirement est donné en statique pour la masse de rupture)

Je ne ferais malgré tout pas confiance outre mesure à ces calculs, et si l'on m'oblige à sauter avec une corde faite selon ces critères , ou renier ce qui est écrit :..... Je renie sans aucun doute !!!!

J'aimerais savoir si Fistos a compris ce calcul .
Cordialement