Point de contact entre deux solides en mouvement

[invite3be2f223]

Bonjour a tous,

Voici mon probleme:

dans un plan, je defini deux objets A et B, positionné en (xA,yA) et (xB,yB) et chacun animé d'un vecteur vitesse Va et Vb. Ces objets ne sont pas des points mais des cercles de rayon R.

Je souhaiterai calculer le temps T apres lequel les objets A et B vont se toucher si ils continuent à se deplacer avec le meme vecteur vitesse.

Je trouve le probleme un peu compliqué car T peut etre egal à l'infini, si les cercles ne se touche jamais...

Est ce quelqu'un pourrait m'aider un peu svp ?

Merci d'avance!
-----

[invitecf700177]

yo

dans un 1er temps, essaye de definir les conditions dans lesquelles tes cercles se percutent/ne se percutent pas, en fonction des positions et vitesses initiales.

++

[LPFR]

Bonjour.
On transforme le problème en collision entre un point et un cercle en prenant un des objets comme le centre de son cercle et l'autre comme un cercle dont le rayon est la somme des rayons des deux objets.
Puis on déménage sur le repère liée à l'objet cercle (qui devient immobile) en on remplace la vitesse du point par la soustraction vectorielle V = Vp –Vc.
Si la droite qui contient ce vecteur vitesse coupe le cercle, il y a collision et l'instant de la collision vient donné par les règles habituelles avec la nouvelle vitesse du point. Si non, il n'y a pas collision mais on peut calculer l'instant de rapprochement avec le point de la droite le plus proche du cercle.
Au revoir.

[invite21348749873]

Bonjour.
On transforme le problème en collision entre un point et un cercle en prenant un des objets comme le centre de son cercle et l'autre comme un cercle dont le rayon est la somme des rayons des deux objets.
Puis on déménage sur le repère liée à l'objet cercle (qui devient immobile) en on remplace la vitesse du point par la soustraction vectorielle V = Vp –Vc.
Si la droite qui contient ce vecteur vitesse coupe le cercle, il y a collision et l'instant de la collision vient donné par les règles habituelles avec la nouvelle vitesse du point. Si non, il n'y a pas collision mais on peut calculer l'instant de rapprochement avec le point de la droite le plus proche du cercle.
Au revoir.

Astucieux
Mais les deux configurations cercle/ cercle et point/ cercle sont elles vraiment équivalentes? Je n'arrive pas à me le représenter.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1c0eeca8]

après réflexion t est qcq
en effet tt dépend des paramètres xA , yA , xB et yB et des directions vA et vB

donc si xB - xA = 2R t = 0 et comme tu le dis t = l'infini si les deux cercles s'éloignent l'un de l'autre sans se toucher au départ. Entre ces deux situations tu en as une infinité d'autres...donc t est compris entre 0 et l'infini

ok?

[invite3be2f223]

Oui tout a fait, t est compris entre 0 et l'infini.

Je viens d'implementer la solution proposée par LPFR. En effet c'est tres astucieux. Pour l'instant ça marche tres bien dans les cas simple mais je suis en train de le tester pour voir si l'equivalence cercle/cercle vs. gros_cercle/point est toujours vrai...

Je vous tiens au courant...

[LPFR]

Astucieux
Mais les deux configurations cercle/ cercle et point/ cercle sont elles vraiment équivalentes? Je n'arrive pas à me le représenter.

Re-bonjour.
Oui. Elles le sont. Si vous dessinez deux cercles en contact, vous pouvez agrandir l'un au dépends de l'autre autant que vous voudrez.

Mais je n'ai pas tout dit. Reste à trouver comment on fait pour savoir si une droite coupe un cercle... et où. Et ce l'on trouve ce sont les points ou se trouve le centre d'un des cercles au moment de la collision. Il reste à trouver le point de collision (mais c'est facile).

En fait ça n'a rien d'original. C'est la méthode utilisée en géométrie pour résoudre des problèmes du genre CCC (cercles tangents à trois cercles). On les transforme en PCC en faisant la même chose, puis en PRC avec une inversion sur un point du cercle (et je vous parle de très, très vieux souvenirs).
Cordialement,

[invite1c0eeca8]

bon j'ai trouvé une formule paramétrée en prenant deux ondes circulaires se propageant à vA et vB

et ca donne cela

t = r0/ ( 2vBcos(teta – teta0)) –R/vA-R/vB

avec teta0 = arctan(yB/xB)

teta variant de 0 à 2pi

r0 = xB² + yB²

[invite3be2f223]

Salut

Donc la solution de LPFR marche parfaitement bien. Il faut rajouter ensuite un petit calcul de trigo pour retrouver le temps d'impact si il existe.
Merci donc.
Cependant, je trouve que c'est un peu lourd (je doit effectuer ce calcul en boucle un grand nombre de fois et l'algo est un peu lent au final). Du coup je m'interesse à la solution proposée par "tempsreel1". Ca me 'parait' interessant car on a acces a la solution apres un seul calcul. Par contre je suis désolé d'avouer que je ne comprend pas de quoi il s'agit...
Dans l'equation
t = r0/ ( 2vBcos(teta – teta0)) –R/vA-R/vB

est ce que vA et vB sont des vecteurs ? si oui la solution ne peut pas etre un temps ...
pourquoi est ce que teta varie de 0 à 2pi ? est ce une integrale?

Je suis interessé mais j'aimerai plus d'explication stp..
Merci bcp
A+

[sylvainc2]

Si tu veux juste le temps de collision, il faut résoudre une seule équation du second degré, pour trouver le temps de contact entre la droite et le cercle. C'est assez rapide. Bon, il y a une racine carrée, dans la formule quadratique, c'est vrai, mais c'est pas si lent.

[invite3be2f223]

Ah oui? pas plus ?
Pour l'instant moi j'ai quelques lignes de code quand meme... mais je n'ai pas du choisir la voie la plus optimisée.. je vais chercher l'equation du polynome..

[invite1c0eeca8]

vA et vB sont les vitesses des cercles

j'ai essayé de résoudre le pb en coordonnées polaires

téta est l'angle que fait B au départ avec l'axe des x et j'ai placé A à l'origine

Ma formule, je pense est erronée, mais je planche pour l'améliorer...

car pour téta = 0 et r0 = 2R elle doit donner t = 0 et actuellement elle ne donne pas cette valeur...

[invite1c0eeca8]

voilà la formule

t²(@vA - @vB)² +t(2@OBo.@vB + 2@OAo.@vA) + OB0^2 + OA0^2 - 2@OB0.@Oa0 - 4R² = 0

@ signifie vecteur
O : origine du repère
A0 et B0 les points d'origine des centres des mobiles

il ne reste plus qu'à choisir tes conditions initiales (surtout l'angle téta des produits scalaires)
bon courage

au plaisir

[invite3be2f223]

Ok merci pour ta proposition.

Est ce que
(@vA - @vB)² = (@vA - @vB).(@vA - @vB) ?

Est ce que tu es sûr de la formule? je ne comprends pas trop comment tu en est arrivé là...

[invite1c0eeca8]

(@vA - @vB)² = vA^2 - 2@vA.@vB+ vB^2


la formule ? et bien je suis parti de la condition de contact qui est en vecteur : ||@rB - @rA ||= 2R et puis @rB = @OBo + @vB.t

O etant l'origine du repère cartésien

puis tu élèves au carré et tu écris ton équation du second degré en t


si @vA = -@vB et ro = 2R alors l'équation donne comme solution pour t : zéro . Bingo

Maintenant avec ton programme ou simulation tu peux essayer n'importe quelle situation

[invite3be2f223]

Merci pour ta contribution 'tempsreel' !
J'ai enfin compris comment ça marche et je suis en train de l'implementer. Je prefere cette solution car elle donne la réponse directement alors que celle LPFR necessite quelques calculs supplementaire...

Il reste une question qui me tracasse. Qu'est ce que cela signifie pour mon probleme lorsque le polynome admet deux solutions? Laquelle choisir? La plus petite (premier point de contact)? Mais ne risque t il pas d'y avoir des solutions négatives (t<0) ?

[LPFR]

Bonjour.
Oui. Il peut avoir des solutions négatives. Ça correspond à des objets qui s'éloignent mais qui, si on inversait leurs vitesses ils se rencontreraient.
Il peu avoir deux solutions: le premier contact et "la fin du contact" si les objets pouvaient se traverser l'un à l'autre. Évidement c'est la solution la plus petite qui vous intéresse.
Et il peut ne pas avoir de solution (radical négatif) si les objets ne se rencontrent pas.
En deux dimensions la seule possibilité pour ceci c'est des trajectoires parallèles. Mais pas en trois dimensions.
Au revoir.

[invite3be2f223]

Ok merci.
Donc si je comprends bien, il ne faut pas systematiquement prendre la plus petite solution, car dans certain cas (objet qui s'éloigne dos à dos) j'aurais un t<0.

En fait, si je me trompe pas, il faut prendre la plus petite solution et la remplacer par l'infini si elle est negative.

[LPFR]

Re.
Il faut prendre la plus petite solution positive.
Si elle est négative ça veut dire que les objets ne se rencontreront pas avec leurs trajectoires actuelles. Donc, on ne remplace pas par infini, on passe à la suite de votre modélisation (paire suivante, rencontre avec les parois, etc.).
A+

[LPFR]

Bonjour.
J'ai raconté des bêtises en disant qu'en deux dimensions on ne trouvait le radical négatif que pour des trajectoires parallèles.
Ça arrive pour des trajectoires qui se croisent mais sans collision (vous traversez le passage à niveau avant ou après le passage du train).
Au revoir.