Plan incliné mobile

invite21348749873 · 28/08/2009, 07h59

Bonjour à tous
On m'a posé le probleme suivant:
Une équerre OAB de masse M avec OA horizontal, OB vertical et AB faisant l'angle V avec OA peut tourner sans frottement autour de O en restant dans le plan OAB.
On lache en B une masse m qui desceng le long de AB.
L'équerre peut elle se soulever? Mouvement de m et de M?
N'ayant pas le temps de relechir au sujet dans l'immédiat, je la soumets à votre reflexion.

invite21348749873 · 28/08/2009, 08h00

Et mes excuses pour les fautes de frappe.

**LPFR** · 28/08/2009, 10h56

Bonjour.
Non. Bien sûr que non. Le couple dû au poids de la masse qui glisse plaque l'équerre contre le plan horizontal.
Et comme le point O est fixe, rien d'intéressant ne se passe.

Mais la variante plus amusante est quand l'équerre peut glisser librement sur le plan. Dans ce cas l'objet m glisse mais fait reculer l'équerre au même temps.
Cette variante a déjà été discutée dans le forum.
Au revoir.

invite21348749873 · 28/08/2009, 13h20

Envoyé par LPFR

Bonjour.
Non. Bien sûr que non. Le couple dû au poids de la masse qui glisse plaque l'équerre contre le plan horizontal.
Et comme le point O est fixe, rien d'intéressant ne se passe.

Mais la variante plus amusante est quand l'équerre peut glisser librement sur le plan. Dans ce cas l'objet m glisse mais fait reculer l'équerre au même temps.
Cette variante a déjà été discutée dans le forum.
Au revoir.

Bonjour LPFR
S'il existe une force qui fait glisser l'équerre, alors si on permet à l'équerre de pivoter autour de O, cette force possede un moment peut etre capable de vaincre celui du poids de l'équerre par rapport à O.
Cette force est mg sinV cos V

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mécano41** · 28/08/2009, 17h23

Bonjour,

Envoyé par LPFR

...Non. Bien sûr que non. Le couple dû au poids de la masse qui glisse plaque l'équerre contre le plan horizontal.
Et comme le point O est fixe, rien d'intéressant ne se passe...

Je ne comprends pas ; en raisonnant au point de départ B seulement, et sans aucun frottement, pour que la masse ponctuelle m descende, il faut bien l'accélérer pour la déplacer vers la droite. Cela commence à basculer si :

$\text{[math]}$

Comme au départ, d = 0 et h = OB on arrive à :

$\text{[math]}$

...mais je me trompe peut-être...

Ensuite, le problème doit sérieusement se compliquer...

Cordialement

invite21348749873 · 28/08/2009, 17h42

Envoyé par mécano41

Bonjour,

Je ne comprends pas ; en raisonnant au point de départ B seulement, et sans aucun frottement, pour que la masse ponctuelle m descende, il faut bien l'accélérer pour la déplacer vers la droite. Cela commence à basculer si :

$\text{[math]}$

Comme au départ, d = 0 et h = OB on arrive à :

$\text{[math]}$

...mais je me trompe peut-être...

Ensuite, le problème doit sérieusement se compliquer...

Cordialement

La force exercée par la bille sur le plan a une composante verticale
mg cos²V et une composante horizontale mg cos V sin V
Si on écrit que le moment de cette composante horizontale egale ou surpasse la somme des moments du poids de l'équerre et de la composante verticale, on voit qu'au moins au départ , le basculement est possible.

**mécano41** · 28/08/2009, 17h43

Il y a quand même quelque chose qui me chiffonne dans ce que j'ai écrit, c'est que le basculement au départ ne dépende pas de la forme du triangle...

invite21348749873 · 28/08/2009, 17h44

Envoyé par mécano41

Il y a quand même quelque chose qui me chiffonne dans ce que j'ai écrit, c'est que le basculement au départ ne dépende pas de la forme du triangle...

Il en dépend; vous le voyez quand vous faites la somme des moments.

invite21348749873 · 28/08/2009, 17h53

Vous aurez rectifié, je suppoise l'erreur d'enoncé: OA est horizontal, OB fait l'angle V avec OA et AB est vertical; désolé pour ce bug.

**mécano41** · 28/08/2009, 18h06

Mon dessin est fait selon tes premières données ; j'ai pensé ensuite que tu avais pris le complément de V au lieu de V dans ton calcul mais maintenant je ne comprends plus du tout... attends la validation de mon dessin et dis-nous ce qu'il en est....

... mais de toutes façons, je me suis trompé au départ... j'ai considéré la composante verticale = mg ce qui est faux....

Cordialement

**LPFR** · 28/08/2009, 18h10

Re-bonjour.
Je continue avec AB comme hypoténuse et OA horizontal

Effectivement vous avez raison tous les deux Mécano41 et Arcole. Il est possible qu'au départ l'équerre se relève pendant un certain temps. On peut le "voir" si on imagine OB grand et OA petit.
Je n'ai pas le temps maintenant de regarder de près le problème, mais il est effectivement plus intéressant que ce que j'avais vu. Je regarderai demain.
À demain.

**mécano41** · 28/08/2009, 18h52

Pour la cohérence, je corrige quand même mes âneries, toujours en utilisant mon dessin mais en corrigeant les composantes (on verra ensuite ....)

$\text{[math]}$

Au point B on a d = 0 et h = OB d'où, pour que cela bascule, il faut :

$\text{[math]}$

Maintenant, cela dépend bien de la forme du triangle

Cordialement

invite21348749873 · 28/08/2009, 19h26

Envoyé par mécano41

Pour la cohérence, je corrige quand même mes âneries, toujours en utilisant mon dessin mais en corrigeant les composantes (on verra ensuite ....)

$\text{[math]}$

Au point B on a d = 0 et h = OB d'où, pour que cela bascule, il faut :

$\text{[math]}$

Maintenant, cela dépend bien de la forme du triangle

Cordialement

Ca me semble correct.
Pour la suite, il faudrait tenir compte de la distance "e" parcourue pendant un temps t; V varie quand l'équerre bascule, l'accéleration de la bille diminue, l'équerre retombe, la bille accélère, etc... peut etre y at-il un phénomène pseudo périodique.
Je regarderai ça plus tard; merci pour ton intervention.

**mécano41** · 28/08/2009, 19h33

Envoyé par Arcole

...
Pour la suite, il faudrait tenir compte de la distance "e" parcourue pendant un temps t; V varie quand l'équerre bascule, l'accéleration de la bille diminue, l'équerre retombe, la bille accélère, etc... peut etre y at-il un phénomène pseudo périodique...

D'où la phrase de mon premier message :

"Ensuite, le problème doit sérieusement se compliquer..."

Cordialement

invite21348749873 · 29/08/2009, 08h27

Envoyé par mécano41

D'où la phrase de mon premier message :

"Ensuite, le problème doit sérieusement se compliquer..."

Cordialement

On peut aussi tenir compte du fait que M dépend de V.

**LPFR** · 29/08/2009, 13h15

Bonjour.
Je pense que le problème n'est intéressant que quand l'équerre bouge.
Donc, il faut faire le dessin en situation générale, avec l'équerre bougée.

Je garde le dessin de Mécano41 avec quelques nuances. Je vire la distance 'd' et considère que l'objet est ponctuel. Si ce n'était pas le cas, on peut toujours dessiner le plan un peu décalé pour le faire passer par le centre de masses de l'objet. Je place le centre de masse de l'équerre à une distance L du pivot O et à un angle avec l'horizontale de θ_c. I est le moment d'inertie de l'équerre autour de l'axe qui passe par O.
L'angle du plan incliné est θ, mesuré par rapport à l'horizontale et, eu départ, il vaut –V.
http://img33.imageshack.us/img33/1198/planincline.jpg
J'arrive aux équations suivantes:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

J'ai bien trois variables et trois équations, mais je ne crois pas avoir beaucoup avancé vers la solution autre que numérique.
D'autant plus que j'ai une équation en trop. Le système n'a que deux degrés de liberté: la position de l'équerre et la position de l'objet dans le plan. Cela veut dire que l'on peut trouver une relation géométrique qui relie x, y et θ et que l'on peut éliminer une des trois variables.

On devrait pouvoir arriver à un système de deux équations.

Il en reste encore du travail.
Au revoir.

**mécano41** · 30/08/2009, 10h10

Bonjour,

Envoyé par LPFR

...

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Je me trompe probablement mais j'aimerais savoir où...

Le poids mg, projeté sur le plan incliné donne la force F accélérant la masse m le long de la pente :

$\text{[math]}$

Les projections dans le repère xOy donnent les composantes de F :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

dont on tire les accélérations en divisant par m.

Où me suis-je trompé dans mon raisonnement?

Merci d'avance.

Cordialement

**LPFR** · 30/08/2009, 11h08

Bonjour Mécano41.
Non, vous ne vous trompez pas. C'est moi qui fais de conneries.

En attendant j'ai trouvé la relation entre x, y et θ:
y = x tg θ + H/cos θ = (x + OA) tg θ
H est la distance entre O et l'hypoténuse et OA est la longueur du cathète OA. Et je rappelle que mon thêta vaut –V au départ.

Je verrais cet après-midi ce que je peux faire (en essayant de ne pas me tromper). Mais, au pif, je ne suis pas sûr que le système soit intégrable analytiquement.
Cordialement,

invite21348749873 · 30/08/2009, 11h40

Envoyé par mécano41

Bonjour,

Je me trompe probablement mais j'aimerais savoir où...

Le poids mg, projeté sur le plan incliné donne la force F accélérant la masse m le long de la pente :

$\text{[math]}$

Les projections dans le repère xOy donnent les composantes de F :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

dont on tire les accélérations en divisant par m.

Où me suis-je trompé dans mon raisonnement?

Merci d'avance.

Cordialement

Bonjour
Pour le coup, c'est moi qui ne comprend plus.
La composante verticale de la poussée de m sur l''équerre n'est elle pas mg cos² theta?

**LPFR** · 30/08/2009, 12h17

Envoyé par Arcole

Bonjour
Pour le coup, c'est moi qui ne comprend plus.
La composante verticale de la poussée de m sur l''équerre n'est elle pas mg cos² theta?

Re.
Il ne s'agit pas des forces sur l'équerre mais des forces sur la masse glissante.
Cordialement,

**mécano41** · 30/08/2009, 13h01

.
Dans le dernier terme de $\text{[math]}$ , ne manque-t-il pas quelque chose? Il me semble que ce moment est :

$\text{[math]}$

ce qui donne bien un angle $\text{[math]}$ au départ puisqu'alors $\text{[math]}$

Cordialement

**LPFR** · 30/08/2009, 15h01

Envoyé par mécano41

.
Dans le dernier terme de $\text{[math]}$ , ne manque-t-il pas quelque chose? Il me semble que ce moment est :

$\text{[math]}$

ce qui donne bien un angle $\text{[math]}$ au départ puisqu'alors $\text{[math]}$

Cordialement

Re.
Oui. Vous avez encore raison. Je me suis mélangé les pinceaux entre la distance au point et la position en x. Bref, je ne fais pas assez attention.

Maintenant que vous avez corrigé ça. Vérifiez si ne me suis pas aussi trompé dans la relation entre x, y et thêta.
Il semble que les expressions se simplifient légèrement si on choisi de garder 'x' au lieu de 'y'.
Il ne restera que l'équation de $\text{[math]}$ et celle de $\text{[math]}$ , dans laquelle 'y' aura été remplacé par

$\text{[math]}$

où 'a' est la longueur de OA.

Mais je ne vois pas comment attaquer le système obtenu.

Cordialement,

invite21348749873 · 30/08/2009, 17h13

Envoyé par LPFR

Bonjour Mécano41.
Non, vous ne vous trompez pas. C'est moi qui fais de conneries.

En attendant j'ai trouvé la relation entre x, y et θ:
y = x tg θ + H/cos θ = (x + OA) tg θ
H est la distance entre O et l'hypoténuse et OA est la longueur du cathète OA. Et je rappelle que mon thêta vaut –V au départ.

Je verrais cet après-midi ce que je peux faire (en essayant de ne pas me tromper). Mais, au pif, je ne suis pas sûr que le système soit intégrable analytiquement.
Cordialement,

Si on suppose qe Theta est petit et qu'on simplifie sauvagement avec Cos Theta=1 et sin theta =theta, on voit que la masse se déplace verticalement par rapport au repere fixe et que Theta varie sinusoidalement avec le temps.

**LPFR** · 30/08/2009, 17h51

Envoyé par Arcole

Si on suppose qe Theta est petit et qu'on simplifie sauvagement avec Cos Theta=1 et sin theta =theta, on voit que la masse se déplace verticalement par rapport au repere fixe et que Theta varie sinusoidalement avec le temps.

Re.
Là vous allez un peu fort avec votre hache.

Au départ, thêta vaut –V, l'angle de l'équerre. On ne peut pas faire cette supposition.
A+

**mécano41** · 30/08/2009, 18h08

Envoyé par LPFR

...Maintenant que vous avez corrigé ça. Vérifiez si ne me suis pas aussi trompé dans la relation entre x, y et thêta.
Il semble que les expressions se simplifient légèrement si on choisi de garder 'x' au lieu de 'y'.
Il ne restera que l'équation de $\text{[math]}$ et celle de $\text{[math]}$ , dans laquelle 'y' aura été remplacé par

$\text{[math]}$ ...

Pour la relation entre x, y et $\text{[math]}$ , je ne trouve pas pareil ... mais :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

C’est un peu plus simple en gardant x et en le portant dans :

$\text{[math]}$

soit :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On peut évidemment mettre le premier terme en $\text{[math]}$ mais je je pense pas que cela soit intéressant

A vérifier quand même avant d'attaquer des calculs là-dessus....

Cordialement

**LPFR** · 30/08/2009, 18h40

Re.
Je viens de regarder mes formules pour la relation x,y, thêta, et je ne vois pas mon erreur.
On est bien d'accord que dans la position de départ thêta vaut –V (moins V).
Pour déduire mes équations, j'ai tourné l'équerre jusqu'à une position avec thêta positif.
Dans ce cas l'équation de l'hypoténuse devient y = tgθ. x + yo. Et yo = H/cosθ et H = OA sinV.
Je pense que nous n'utilisons pas le même thêta. Pouvez-vous vérifier?
Cordialement,

**mécano41** · 30/08/2009, 19h22

Envoyé par LPFR

Re.
Je viens de regarder mes formules pour la relation x,y, thêta, et je ne vois pas mon erreur.
On est bien d'accord que dans la position de départ thêta vaut –V (moins V).
Pour déduire mes équations, j'ai tourné l'équerre jusqu'à une position avec thêta positif.
Dans ce cas l'équation de l'hypoténuse devient y = tgθ. x + yo. Et yo = H/cosθ et H = OA sinV.
Je pense que nous n'utilisons pas le même thêta. Pouvez-vous vérifier?
Cordialement,

J'ai fait ainsi, selon croquis joint :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

et :

$\text{[math]}$

En faisant une application numérique sur un tracé cela a pourtant l'air bon...

Je vais essayer demain avec l'équation de l'hypoténuse...

Cordialement

**mécano41** · 30/08/2009, 19h34

Envoyé par LPFR

Re.
Je viens de regarder mes formules pour la relation x,y, thêta, et je ne vois pas mon erreur.
On est bien d'accord que dans la position de départ thêta vaut –V (moins V).
Pour déduire mes équations, j'ai tourné l'équerre jusqu'à une position avec thêta positif.
Dans ce cas l'équation de l'hypoténuse devient y = tgθ. x + yo. Et yo = H/cosθ et H = OA sinV.
Je pense que nous n'utilisons pas le même thêta. Pouvez-vous vérifier?
Cordialement,

Il me semble que l'erreur vient de yo :

$\text{[math]}$ n'est égal à $\text{[math]}$ qu'à la position d'origine...mais plus au cours du mouvement...on ne peut donc pas mettre $\text{[math]}$ en facteur ensuite...

Cordialement

**LPFR** · 31/08/2009, 07h20

Bonjour Mécano41.
Maintenant que j'au vu votre dessin, je vois que nous ne parlons du même thêta. Pour moi, ce que vous appelez thêta est "moins thêta". Pour vous, au départ thêta vaut V alors que pour moi il vaut moins V.
Je préfère travailler avec des angles qui augmentent dans le sens trigonométrique et, si possible je fait des dessins avec les angles positifs. Cela diminue mes chances de me planter et, comme je l'ai démontré, j'en ai fort besoin.

Cordialement,

**mécano41** · 31/08/2009, 09h53

Envoyé par LPFR

Bonjour Mécano41.
Maintenant que j'ai vu votre dessin, je vois que nous ne parlons du même thêta. Pour moi, ce que vous appelez thêta est "moins thêta". Pour vous, au départ thêta vaut V alors que pour moi il vaut moins V.
Je préfère travailler avec des angles qui augmentent dans le sens trigonométrique et, si possible je fait des dessins avec les angles positifs. Cela diminue mes chances de me planter et, comme je l'ai démontré, j'en ai fort besoin.

Cordialement,

Bonjour,

Pourquoi pas, mais on devrait trouver les mêmes résultats...

En partant avec $\text{[math]}$ les expressions que j'avais données deviennent :

$\text{[math]}$

et non pas :

$\text{[math]}$

pour la raison que j'ai donnée dans mon message précédent.

$\text{[math]}$

Ces expressions donnent un résultat correct si l'on dit, par exemple, que V=65°, donc qu'au départ, $\text{[math]}$ et que si l'on fait pivoter le triangle de 10° (sens trigo), $\text{[math]}$

L'angle de rotation est positif (ici 10°). Si c'est autrement...je ne vois pas...

Cordialement

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