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Force de rappel



  1. #1
    nilot

    Force de rappel


    ------

    Bonsoir !

    Une particule de masse m se déplaçant selon l'axe des x est soumise à la force de rappel f = -k*x^3*ux.

    A t=0 on a x=x0 et x'=0, la période des oscillations est alors T.
    Que devient la période si à t=0 on a x=2*x0 et x'=0 ?

    Je n'ai pas de piste ...
    Merci de votre aide

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    tempsreel1

    Re : force de rappel

    seconde loi de newton

    md²x/dt²=-kx^3 : c'est une eq diff que je ne sais pas résoudre...

  4. #3
    nilot

    Re : force de rappel

    Oui d'accord mais vu l'équa diff cette approche ne semble pas être la bonne...

  5. #4
    phys4

    Re : force de rappel

    Bonsoir,
    Je pense qu'il faut procéder par analogie, la forme de l'oscillation est inconnue mais reste homothétique entre les deux expriences.
    Pour une élongation max deux fois plus forte, la force est 8 fois plus importante, il est donc possible d'en déduire que la période est 4 fois plus petite. Il faut écrire l'équation du mouvement en gardant la fonction du mouvement x(t) comme inconnue.
    Comprendre c'est être capable de faire.

  6. #5
    LPFR

    Re : Force de rappel

    Bonjour.
    Je pense, comme Phys4, que l'on peut raisonner qualitativement. Mais je me garderai bien d'utiliser le terme "homothétique" avec une cochonnerie non linéaire.
    Le raisonnement est bon. Comme la force de rappel s'accroît plus que linéairement avec l'amplitude, la force de rappel moyenne augmente plus rapidement avec l'amplitude du mouvement que si la force était linéaire. Donc la période est plus courte quand l'amplitude augmente.
    Mais je ne pense pas que l'on puisse dire que la période est 4 fois plus rapide quand l'amplitude double. Toujours parce que l'objet est non-linéaire.
    Au revoir

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    phys4

    Re : Force de rappel

    Pour faire un raisonnement complet, il faut faire un changement de variable sur la solution implicite, par exemple en multipliant l'amplitude et le temps par 2.
    La nouvelle fonction est encore solution de l'équation.
    Nous pouvons donc parler d'homothétie car l'équation est homogène.

    Par contre j'avais fait un calcul mental trop rapide par analogie avec la solution linéaire. Le rapport des périodes vaut 2, c'est simplement l'inverse du rapport des amplitudes.
    Comprendre c'est être capable de faire.

  9. Publicité
  10. #7
    nilot

    Re : Force de rappel

    Merci pour vos réponses, j'ai compris le raisonnement.

  11. #8
    tempsreel1

    Re : Force de rappel

    SI la periode ne dépendque de la constante de raideur et de m
    comme dans le probleme en kx alors si tu augmente ton élongation à 2xo la periode ne change pas...

  12. #9
    phys4

    Re : Force de rappel

    En effet, pour une force de rappel en kx, la période est une constante, mais pour toute autre loi, nous n'aurons plus cette constance.

    Pour un exposant inférieur à 1 , la période augmentera lorsque l'élongation augmente, inversement pour un exposant supérieur à 1, elle diminuera. le cas particulier du cube est typique car la fréquence est proportionnelle à l'élongation de l'oscillation.
    Si cela vous pose problème, vous considérez une solution type x = f(t) d'élongation x0, puis vous considérez la fonction g(t) = a * f(at)
    En remplaçant dans l'équation différentielle, vous verrez que x = g(t) est également solution.
    Comprendre c'est être capable de faire.

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