Intégration

[mc222]

Salut,


Je m'apprète à faire ma première intégration de ma vie, ^^
suite à une question posée sur un autre poste, voici le problème.


En considérant que la Terre ne tourne pas et en prenant en compte la variation de l'accélération gravitationnelle en fonction de la hauteur, déduire l'énergie qu'il faut dépenser pour élever une masse m d'un hauteur h.


On sait que:








Ici "d" représente la distance au centre de la Terre.

Autrement dit, d = R+x

ou x est la hauteur parcouru et R le rayon terrestre, on obtient donc:




Voila, cela vous parait il bon ? Pour le polynome, j'ai mis dans l'ordre ou pas ( j'ai privilégier les x ).

Ensuite, de mes souvenir de terminale ( sa date pas temps que ca ^^ ) il faut determiner la primitive de cette fonction, mais que doit je primitiver ?

Ca?



J'ai mis des lettre "c" pour "constante"

Voila, merci d'avance ^^
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[invitea774bcd7]

Une primitive de 1/x^2 est 1/x (au signe près…)

[mc222]

ok mais le problème c'est que je n'ai plus la dimension d'une énergie apres !

[mc222]

à moins que je supprime le terme "h" de mon équation, mais OUI, je suis trop con !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea774bcd7]

T'inquiète pas pour les dimensions
L'élément infinitésimal dx, c'est une longueur

[mc222]

ok mais quelle longueur c'est ?

[invite60be3959]

Salut,

Je m'apprète à faire ma première intégration de ma vie, ^^

C'est bizarre, tu as été en terminale, et tu n'as jamais calculé d'intégrales ?

En considérant que la Terre ne tourne pas et en prenant en compte la variation de l'accélération gravitationnelle en fonction de la hauteur, déduire l'énergie qu'il faut dépenser pour élever une masse m d'un hauteur h.

On dit plutôt le travail qu'il faut fournir pour élever une masse m d'une hauteur h. (le travail d'une force a la dimension d'une énergie). Du coup ta façon de présenter les choses est un peu maladroite, et en plus le résultat de l'intégrale est faux !

Reprenons donc. De façon générale, le travail élémentaire(infinitésimal) d'une force le long d'une chemin élémentaire , est défini par :



Le travail totale de la force F le long de la courbe C décrit par le point d'application de cette même force est donc la somme le long de C de tous les travaux élémentaires. Cette somme se résume à une intégrale puisque le travail est infinitésimal. Ainsi :



Dans ton cas précis et la courbe C est simplement une portion de l'axe vertical de hauteur h. Le vecteur portant l'axe vertical alors et donc :



Les bornes de l'intégrale sont R_T et R_T+h, ce qui revient à intégrer de 0 à h :



En posant alors et l'intégrant peut s'écrire comme qui est une forme usuelle d'intégrant dont la primitive est (primitives usuelles)

On en conclue que :



j'ai mis le résultat sous cette forme pour bien faire apparaître l'énergie potentielle gravitationnelle GmM_T/r. Le signe moins devant stipule que le travail est résistant. Une fois à la hauteur h, si on laisse tomber la masse m alors on peut montrer facilement que le travail de la force d'attraction gravitationnelle de h à 0 est tel que qui est donc une quantité positive. On dit alors que le travail est moteur.

[mc222]

un grand merci à toi veincent, j'attendais depuis longtemps une réponse de ce type, me voila enfin satisfait!

Enfaite, j'essais de me mettre aux dérivations et aux primitives en physique car cela m'interesse beaucoup mais en maths au lycée, nous n'avons pas fait d'application "pratique" de ces outils, dommage.

Voila pourquoi je veux progresser dans ce domaine.

J'ai un autre problème, exactement le meme type de problème.


Il s'agit de déterminer la portance théorique d'une hélice en fonction de la vitesse de rotation de celle ci.

On a :



Bon je part comme toi:

La force élémentaire :



La Force totale est la somme de toute ces forces:



Je suis à nouveau bloqué, comme ferais-tu ? stp!!

[invite60be3959]

On a :

(attention tu n'as pas un vecteur à droite)
ce n'est pas le même type de problème ! Il n'y a pas de notion de portance totale ici. Tu veux simplement la portance en fonction de la vitesse. De façon abrégée, on peut écrire que(en module) :

où et

la portance dépend donc de manière quadratique de la vitesse. C'est tout. Attention de ne pas appliqué ce que je t'ai exposé à toutes les sauces. Pour le travail, si on fait de cette manière c'est parce que la force n'est pas constante le long du chemin totale.
Ici tu ne vas pas intégrer sur plusieurs vitesses de rotation puisque tu désires avoir la portance pour une vitesse de rotation quelconque. Ok ?

[mc222]

Oui, ok mais je ne comprend toujours pas comment integrer, la force dépend de la vitesse, la vitesse dépend du rayon, il faut donc integrer le rayon nan?

[invite60be3959]

non, car la portance est une quantité associée à une hélice dans son ensemble et non en fonction de la distance au centre de l'hélice. Une hélice de surface S, de rayon R et de vitesse angulaire omega a une portance donnée par P= ........

[mc222]

je ne comprend pas, cette formules est valable pour les mouvement de translation rectillige uniforme nan?

Elle serait aussi valable pour les mouvement de rotation?

[invite60be3959]

je ne comprend pas, cette formules est valable pour les mouvement de translation rectillige uniforme nan?

ok, en me renseignant je viens de comprendre que tu essayes d'utiliser la portance d'une aile pour en déduire la poussée d'une hélice(ce qui n'était pas forcément évident au regard de ta question !).
En fin de compte je pense que tu as bien posé les choses en exprimant la vitesse en fonction de r et de omega. Il suffit donc que tu intègres sur r entre 0 et R pour en déduire la poussée. Mais il faut bien garder en tête que ce n'est qu'une première approche, car une hélice n'a pas une surface élémentaire constante en fonction de r et que ses pales font un certain angle avec un plan perpendiculaire à l'axe de rotation.
Ce lien pourra peut-être t'aider à aller plus loin : http://inter.action.free.fr/publicat...es/helice.html

[mc222]

merci vaincent, je connais un peu ce site, il est pas mal, mais je cherche juste à essayer de maitriser les bases de l'intégration.

Donc reprenons, tu me dit qu'il faut bien integrer R, si on fait l'hypothèse que la surface est constante, ainci que le Cz.

On a:



Si on considère R comme seule variable, on a:



Avec =






J'ai deux question que represente dx concrètement et , C, quelle est sa dimention, un longueur?

[mc222]

et puis si dx est une longueur je me retrouve avec une force multipliée par des m² , dimensionellement, ca colle pas !

[mc222]

Encore une autre question, si je veux aussi integrer la surface, car il est évidant qu'elle varie en fonction du rayon.

On aurait:



Ou serait l'angle que forme la surface de l'hélice et par rapport à son centre, ( je ne sais pas si je suis claire ^^ )

Si oui , cela vous te parait il correct?

[invite60be3959]

Donc reprenons, tu me dit qu'il faut bien integrer R, si on fait l'hypothèse que la surface est constante, ainci que le Cz.

bonsoir,

attention, je n'ai pas dit que la surface était constante ! La question qu'il faut se poser c'est "que représente F maintenant que l'aile tourne ?". Et pour ça il faut savoir que représente chaque variable dont dépend F lorsque l'aile va à une vitesse V dont le vecteur est constant (mouvement rectiligne uniforme), ceci afin de nous aider à faire l'extrapolation translation -> rotation.
est la masse volumique du fluide dans lequel baigne l'aile, ça, ce sera constant quoiqu'il arrive. est le coefficent de portance, qui, comme tu as du le voir, dépend de tout un tas de paramètres. Au regard de l'ensemble de ces paramètres on constate que ce coefficient a une valeur fixe dans une situation donnée. Il dépend des quantités intrinsèques de l'aile fixées au départ de l'expérience, et certainement pas de S ni de R. On y met tout ce qui est constant.
S est la surface alaire, elle dépend donc uniquement de la largeur et de la longueur pour une aile de faible épaisseur comparée à ces 2 quantités(c'est une approximation qui sera valide dans le cadre que je viens de donner). Il faut bien noter que c'est la surface d'une aile qui va à la vitesse V, ce sera important pour la suite. Il nous reste la vitesse qui est constante lors d'un mouvement de translation uniforme.

Maintenant l'aile tourne. Elle a un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire . Qu'est-ce-qui change ? et vont rester constant manifestement. Par contre la vitesse va varier avec la distance au centre, telle que . Du coup tout le surface S de l'aile ne va pas aller à la même vitesse. Certaines portion de l'aile vont aller plus vite que d'autre et il va falloir en tenir compte. On a dit précédemment que , ainsi ( est constant quelque soit la vitesse, mais dépend de la vitesse puisque la vitesse dépend de .
On constate donc dans ce cas que l'on doit diviser la force F en une somme de quantités inifitésimales dF données par :



représente la portance créer par une portion infinitésimale de l'aile de surface et située à une distance du centre. C'est bon, on a ce qu'il nous faut. Reste plus maintenant qu'à intégrer de 0 et R(sans craindre que le résultat de l'intégrale n'ai pas la dimension d'une force, puisque l'on a vérifier que l'intégrant avait bien lui-même la dimension d'une force. L'intégrale sera donc une somme de forces élémentaires de même dimension.
Elle vaut :





Tu te rends compte donc que le problème dont tu cherchais la solution n'était pas ce qui se fait de plus simple, même si les calculs; eux, le sont. (à condition que l'on connaisse bien la méthode de calcul d'une intégrale en math ). Pas étonnant, c'est de la mécanique appliquée et la physique en jeu est loin d'être complètement évidente. Ce n'est pas vraiment ce qu'il y a de mieux pour ce faire au calcul intégrale en physique quand on débute.

Entraînes-toi avec le travail, pour différentes forces et différents chemins. Tu peux aussi t'exercer avec la variation de la quantité de mouvement (c'est la seconde loi de Newton sous forme intégrale, tu dois être capable de la retrouver à partir de et de tes connaissance sur l'intégration). L'électrostatique et la magnétostatique sont également bien fournient niveau calcul intégral.
Avant cela, revois bien l'intégration en math en appliquant scrupuleusement ce qui y est dit. Une fois en physique, évites les notations d'intégrales avec des "x" comme en math, car ça ajoute une certaine abstraction au problème et on peut s'y perdre. Il vaut mieux noter les variables par des lettres reconnaissables et identifiables facilement par rapport au problème considéré. Fait un schéma. Toujours, toujours, toujours toujours ! Même si ça te semble inutile. Ajoutes-y les variables et paramètres du problème. La géométrie te permet souvent de relier ces variables entre elles et ainsi d'exprimer la quantité recherchée en fonction de celles-ci. Le choix des variables d'intégration se fait alors beaucoup plus facilement.

Si tu fais bien ce que je t'ai dis tu verras que petit à petit, une approche pragmatique des choses et une attitude calme et posée(en revenant à ce que tu connais du cours et en ne cherchant pas à trouver la solution tout de suite) permet de résoudre un bon nombre de problèmes physique. Bon courage et essaye de répondre le plus par toi-même aux questions que tu te poses. ça force la réflexion et ça permet de se forger ses propres méthodes et petites techniques. C'est long, mais c'est le prix à payer pour être autonome ! (bien entendu il ne faut pas que cela t'empêches de venir poser des questions ici, mais après que tu ais passé au moins un mois dessus bien sûr ! )

[mc222]

je n'est pas finit de lire mais je crois que dans la formule, il faudrait mettre le oméga au carré nan?

[mc222]

merci de ces précieux conseil vaincent, j'apprécit beaucoup, je vais me mettre au travail, revoir mes maths, la dérivation, et l'intégration depuis le début, ca m'fera pas de mal^^.

[invite60be3959]

merci de ces précieux conseil vaincent, j'apprécit beaucoup, je vais me mettre au travail, revoir mes maths, la dérivation, et l'intégration depuis le début, ca m'fera pas de mal^^.

de rien et oui, en effet le omega devait-être au carré