Intégration de la poussée d'une voile solaire

[Gilgamesh]

Bonjour,

j'avais lancé un fil ici, sans arriver à la solution. Je repose ma question suite à la lecture du fil Gravitation, distance, temps d'impact., où j'ai vu que LPFR et vaincent avait trouvé l'intégration d'une équa diff très proche de la mienne.

Je repose la question en la simplifiant (je retire la question du freinage et je rajoute la force de gravité, ce qui à mon avis ne rajoute pas en complexité puisque les deux forces sont en 1/x²).

Voila : je voudrais trouver l'équation du mouvement d'une voile solaire mue par la seule poussée radiative qui est en 1/x² (x étant la distance au Soleil) et luttant contre la force de rappel du Soleil, en 1/x² également. La voile commence son périple sur l'orbite terrestre et je voudrais calculer quelle vitesse radiale est atteinte à l'infini, en fonction de sa surface A et de sa masse m.

J'ai un truc de la forme :


avec :



avec :

A : surface de la voile
P : pression radiative au niveau de l'orbite terrestre (4,8 µN/m²)
m : masse de l'engin (structure + câblerie + voile)
x0 : 1 UA (dist. Terre Soleil)
G : cte de gravitation
M : masse du Soleil 2e30 kg

Et je cherche l'expression exacte de x(t).

Conditions initiales

en t = 0 j'ai :
x0 = 1 UA
v0 = 0
a0 = AP/m - GM/x0²

a+
-----

[mc222]

salut, ton problème m'interesse égualement, mais je pense, pour avoir quelque début de notion en relativité que ton engin n'a pas de vitesse fini, il continura à accélérer jusqu'à c sans jamais l'atteindre.

[Gilgamesh]

Salut,
oui, mais en un temps exponentiellement long et dans le cas réel, on peut arrêter l'intégration quand la luminosité solaire devient inférieure à celle du fond stellaire, par exemple.

a+

[LPFR]

Bonjour Gilgamesh.
Dans le lien que vous citez, Vaincent et moi étions arrivés à la même équation, mais c'est Vaincent qui, armé de Mathematica, avait trouvé la solution.

Si votre voile solaire était en orbite autour du soleil, je la vois bien gagner de l'énergie avec le vent et la radiation du soleil. Mais si la voile est en orbite autour de la terre, c'est le système voile + terre + lune qui gagnera l'énergie, et là, il va falloir attendre longtemps pour que l'orbite de la terre change. Mais l'orbite de la voile ou de la lune par rapport à la terre resteront les mêmes.

Il faudrait casser la symétrie de sorte que la voile reçoive plus de radiation quand elle s'éloigne du soleil que quand elle se rapproche. Ainsi, la voile gagnerait de l'énergie est son orbite autour de la terre augmenterait de rayon.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[Calvert]

Salut !

Cette équation différentielle se simplifie considérablement en multipliant à gauche et à droite par .

On a alors :



qui s'intègre par rapport au temps :



En prenant la racine, on tombe sur une équation qui se résoud en faisant un changement de variable avec une fonction trigonométrique (je ne sais plus laquelle, c'est un ancien exercice que j'avais fait... Je peux rechercher, au cas-où !)

[Gilgamesh]

Bonjour Gilgamesh.
Dans le lien que vous citez, Vaincent et moi étions arrivés à la même équation, mais c'est Vaincent qui, armé de Mathematica, avait trouvé la solution.

Si votre voile solaire était en orbite autour du soleil, je la vois bien gagner de l'énergie avec le vent et la radiation du soleil. Mais si la voile est en orbite autour de la terre, c'est le système voile + terre + lune qui gagnera l'énergie, et là, il va falloir attendre longtemps pour que l'orbite de la terre change. Mais l'orbite de la voile ou de la lune par rapport à la terre resteront les mêmes.

Il faudrait casser la symétrie de sorte que la voile reçoive plus de radiation quand elle s'éloigne du soleil que quand elle se rapproche. Ainsi, la voile gagnerait de l'énergie est son orbite autour de la terre augmenterait de rayon.

Cordialement,

Oui j'ai vu que c'était avec l'aide de Mathematica ; c'est bluffant Mais ce qui m'aide aussi c'est la façon de poser le problème proprement

Le voilier solaire, tel que j'envisage la chose, n'est pas en orbite terrestre, on va le mettre sur une orbite héliocentrique à 1UA, mais loin de la Terre (ou de la Lune).

Si AP/m > GM, k est positif et mon voilier doit prendre le large.


a+

[Gilgamesh]

Salut !

Cette équation différentielle se simplifie considérablement en multipliant à gauche et à droite par .

On a alors :



qui s'intègre par rapport au temps :



En prenant la racine, on tombe sur une équation qui se résoud en faisant un changement de variable avec une fonction trigonométrique (je ne sais plus laquelle, c'est un ancien exercice que j'avais fait... Je peux rechercher, au cas-où !)

Awesome.

Ah oui ! Si tu pouvais faire ça pour moi, je t'en serais éperdument reconnaissant.

Cette voile me nargue depuis trop longtemps


a+

[Gilgamesh]

Le voilier solaire, tel que j'envisage la chose, n'est pas en orbite terrestre,

edit : ah oui, désolé, il y avait une imprécision dans mon énoncé. J'aurais du dire "au niveau" de l'orbite terrestre.

[LPFR]

Re.
Je ne suis pas sûr que l'équation du mouvement soit aussi simple que:

Car la voile est en orbite est le mouvement angulaire se conserve. Je pense qu'il faut plonger dans le mouvement planétaire et rajouter la correction d'une petite force supplémentaire vers l'extérieur.
Malheureusement, dans les (peu de) traitements du mouvement planétaire que je connais, on ne résout pas vraiment les équations de mouvement mais on part de la conservation de l'énergie et du moment angulaire. Et on calcule la trajectoire en éliminant le temps. Ici le moment angulaire se conserve, mais pas l'énergie, mais on ne peut pas évaluer l'apport d'énergie par la force du rayonnement puisque la force est presque perpendiculaire à la trajectoire.
Il faut réfléchir...
A+

[Gilgamesh]

Re.
Je ne suis pas sûr que l'équation du mouvement soit aussi simple que:

Car la voile est en orbite est le mouvement angulaire se conserve. Je pense qu'il faut plonger dans le mouvement planétaire et rajouter la correction d'une petite force supplémentaire vers l'extérieur.
Malheureusement, dans les (peu de) traitements du mouvement planétaire que je connais, on ne résout pas vraiment les équations de mouvement mais on part de la conservation de l'énergie et du moment angulaire. Et on calcule la trajectoire en éliminant le temps. Ici le moment angulaire se conserve, mais pas l'énergie, mais on ne peut pas évaluer l'apport d'énergie par la force du rayonnement puisque la force est presque perpendiculaire à la trajectoire.
Il faut réfléchir...
A+

C'est une question que je me suis posée, mais il me semble que la vitesse orbitale doit diminuer de façon képlerienne. Plus la voile s'éloignera, plus sa vitesse angulaire sera faible autour du Soleil. De la sorte le moment angulaire est conservé. Je pense qu'on peut raisonner en faisant de x la distance radiale sans changer l'équation.

a+

[LPFR]

C'est une question que je me suis posée, mais il me semble que la vitesse orbitale doit diminuer de façon képlerienne. Plus la voile s'éloignera, plus sa vitesse angulaire sera faible autour du Soleil. De la sorte le moment angulaire est conservé. Je pense qu'on peut raisonner en faisant de x la distance radiale sans changer l'équation.

a+

Re.
J'ai fait un calcul dont le résultat m'a surpris. Je me limite à une orbite circulaire et je calcule la force radiale qu'il fut pour augmenter le rayon de l'orbite d'un petit peu.
L'énergie totale est:

Comme la vitesse tangentielle V est:

Ce qui donne comme différence d'énergie entre deux orbites de rayons r1 et r2:

Pour des variations de r petites, on peut approcher:

Et la force radiale qui a provoqué ce changement d'orbite est:


Donc, la force radiale pour obtenir un changement d'orbite est la moitié de celle de l'attraction gravitationnelle.
Ceci est nécessairement faux. Donc, la méthode de dire qu'on peut travailler qu'avec des forces radiales pour les orbites et les énergies, est aussi fausse. Il faut faire le calcul comme il faut.
Cordialement,

[Gilgamesh]

Re.
J'ai fait un calcul dont le résultat m'a surpris. Je me limite à une orbite circulaire et je calcule la force radiale qu'il fut pour augmenter le rayon de l'orbite d'un petit peu.
L'énergie totale est:

Comme la vitesse tangentielle V est:

Ce qui donne comme différence d'énergie entre deux orbites de rayons r1 et r2:

Pour des variations de r petites, on peut approcher:

Et la force radiale qui a provoqué ce changement d'orbite est:


Donc, la force radiale pour obtenir un changement d'orbite est la moitié de celle de l'attraction gravitationnelle.
Ceci est nécessairement faux.

Est ce que ce ne serait pas plutôt une jolie démonstration du théorème du viriel ?

Dans un système en équilibre dynamique, l'énergie cinétique Ec est égale à l'opposé de la moitié de l'énergie potentielle Ep.
soit :


Avec ici, pour un petit déplacement :


Le travail de la force radiale (la poussée radiative) correspond au et il est bien égal à .

Je suis seulement sûr de moi, mais ça serait beau

a+

[LPFR]

Je suis seulement sûr de moi, mais ça serait beau

a+

Bonjour.
Ça serait beau si c'était possible que la force de la radiation + vent solaire avait juste la bonne valeur, ce qui est absurde.

Avez-vous essayé de résoudre les équations de mouvement numériquement?
Au revoir.

[Gilgamesh]

Bonjour.
Ça serait beau si c'était possible que la force de la radiation + vent solaire avait juste la bonne valeur, ce qui est absurde.

Je ne comprend pas. La différence d'énergie totale entre deux orbites r1 et r2 est bien égale au travail de la poussée radiative (le vent solaire, c'est 1/1000e de la poussée radiative, donc négligeable).

Avez-vous essayé de résoudre les équations de mouvement numériquement?

En résolvant pas à pas, vous voulez dire ? j'avais fait un essai avec excel y'a longtemps, mais dans mon souvenir ce n'était pas concluant.

J'aimerais bien avoir la solution de Calvert.


a+

[Calvert]

Re !

Ma solution est une solution purement radiale, i.e. sans composante tangentielle initiale, et dans le cas gravitationnel pur (sans la pression de radiation, mais puisque ça ne change pas la forme de l'équation, la solution est similaire). Elle tient sur un pdf que j'ai rédigé il y a quelques temps déjà. Je ne souhaite pas mettre ce pdf en ligne, car je ne suis pas seul impliqué dans sa rédaction.

Par contre, je peux la distribuer ponctuellement via mail. Contactez-moi par MP si vous êtes intéressés.

[LPFR]

...

En résolvant pas à pas, vous voulez dire ? j'avais fait un essai avec excel y'a longtemps, mais dans mon souvenir ce n'était pas concluant.

a+

Re.
Je veux dire que l'augmentation d'énergie entre les deux orbites n'est pas égale à la différence des rayons multipliée par la poussée radiative (ni à l'intégrale, évidement).
Quand je dis résoudre le problème par intégration numérique, je veux dire: écrire les équations (F=ma) prendre un programme, et utiliser une méthode de solutions d'un système d'équations différentielles (Runge-Kuta, par exemple).
J'avais fait, dans le millénaire précèdent, un petit programme de N-corps en 2 dimensions sous ce principe. On peut passer des heures à regarder évoluer le système.
A+

[vaincent]

avec :



avec :

A : surface de la voile
P : pression radiative au niveau de l'orbite terrestre (4,8 µN/m²)
m : masse de l'engin (structure + câblerie + voile)
x0 : 1 UA (dist. Terre Soleil)
G : cte de gravitation
M : masse du Soleil 2e30 kg

Et je cherche l'expression exacte de x(t).

Conditions initiales

en t = 0 j'ai :
x0 = 1 UA
v0 = 0
a0 = AP/m - GM/x0²

Bonjour,

avant même de se lancer dans le calcul de x(t) on peut se demander que doit valoir le rapport m/A pour que la voile commence à s'éloigner du soleil. On remarque effectivement que cette condition équivaut à écrire que



Pour x₀ = 1 U.A. on trouve m/A = 8.1x10^-4 kg/m² . Ce qui fait 0.81 gramme par mètre carré ! D'où les problèmes techniques rencontrés pour construire ce type de voile. Mais peu importe, ce sera certainement possible un jour.

L'équation différentielle est très simple à résoudre numériquement avec Mathematica (encore lui !). Mais il me semble que vous avez oubliez que la pression de radiation dépend de la distance au soleil. Il faut donc refaire le calcul de la pression de radiation en fonction de la distance. Je vous en laisse le soin je dois y aller !

[vaincent]

La voile commence son périple sur l'orbite terrestre et je voudrais calculer quelle vitesse radiale est atteinte à l'infini, en fonction de sa surface A et de sa masse m.

Le problème est résolu ! Numériquement bien sûr. Comme je l'ai dit dans le post précédent, j'ai considéré la dépendance de la pression de radiation en fonction de la distance. Cela est d'une grande importance comme on le verra plus tard.
En prenant les données numériques de la page de wikipédia sur les voiles solaires, la pression de radiation est donnée environ par :



ce qui modifie l'équation différentielle initiale :



J'ai fait apparaître le terme m/A qui est un paramètre important du problème. C'est lui qui, avec la distance, pourra rendre positif ou négatif le facteur et ainsi rendre croissante ou décroissante la fonction r(t). Il représente la masse du dispositif totale sur la surface de la voile. Sa valeur est très faible, de l'ordre du gramme ou du dizième de gramme par mètre carré. Pour que la voile commence à quitter l'attraction du soleil (à une distance r₀ = 1 U.A. et pour la pression de radiation ci-dessus) il faut que m/A soit au plus égale à 0.596 g/m².

Pour cette valeur, on remarque, une fois l'équation différentielle résolue, que la distance oscille d'une distance de l'ordre de 120 000 km sur une période d'environ 2.2x10⁷ s (255 jours). Ceci est dû au fait que pendant une demi-période le facteur k est positif et ainsi r(t) est croissante, jusqu'à ce que la valeur atteinte par r(t) rende k négatif et r(t) décroissante. Une fois que la voile "revient" vers le soleil la pression de radiation redevient suffisante pour faire "repartir" la voile pour un cycle.

Ces oscillations ont lieu jusqu'à une valeur de m/A de l'ordre de 0.22 g/m². Pour m/A=0.2g/m², par exemple la voile quitte le système solaire à une vitesse de 25 km/s. Pour m/A=0.1g/m², cette vitesse monte à 47 km/s et ainsi de suite...

J'imagine que, peut-être, vous vouliez initialement savoir si une voile solaire pouvait servir de vaisseau interstellaire. A la vue de ces résultats je ne parirais pas grand chose dessus !

[Gilgamesh]

Wou ça dépote

Ce seuil de 0,2 g/m² est vraiment un résultat précieux, et je suis soufflé par l'existence d'un comportement oscillant. Ça a lieu autours l'orbite initiale ?

Si je prend un voile avec un A/m réglable, et que j'augmente A à m constant, par exemple, je vais voir ma voile osciller sur son orbite (sur 1/1000e de son rayon orbital) puis s'échapper quand A/m passe en dessous de 0,2 g/m, c'est ça ?

a+

[Gilgamesh]

Re.
Je veux dire que l'augmentation d'énergie entre les deux orbites n'est pas égale à la différence des rayons multipliée par la poussée radiative (ni à l'intégrale, évidement).

Ah oui, d'accord.

Quand je dis résoudre le problème par intégration numérique, je veux dire: écrire les équations (F=ma) prendre un programme, et utiliser une méthode de solutions d'un système d'équations différentielles (Runge-Kuta, par exemple).
J'avais fait, dans le millénaire précèdent, un petit programme de N-corps en 2 dimensions sous ce principe. On peut passer des heures à regarder évoluer le système.
A+

J'aimerais vraiment bien, mais je me sens bien incapable de programmer un truc pareil, en partant d'équations fondamentales .

Mais on trouve des simulation java en ligne, j'adore ça, c'est vrai que c'est fascinant.

a+

[LPFR]

Bonjour Vaincent.
Je dois être bête, mais je ne vois pas du tout ce qui casse la symétrie qui fait que k soit négatif pendant une demi-période et positif l'autre demi.
Si on part avec une orbite circulaire, k à la même valeur pendant toute l'orbite.
Je ne vois pas du tout non plus pourquoi il faut que A/m soit inférieur à une valeur quelconque pour que la voile commence à s'éloigner. Je pense que toute force diminue la force centripète et augmente le rayon de courbure de l'orbite... et nous voilà dans le mouvement planétaire.

Comme j'avais dit dans le post #11, je ne pense pas que l'on puisse étudier le problème avec 'r' comme seule variable. Le mouvement est un mouvement planétaire et il faut l'étudier comme tel.

Qu'est que j'ai raté?

Cordialement,

[vaincent]

Bonjour Vaincent.
Je dois être bête, mais je ne vois pas du tout ce qui casse la symétrie qui fait que k soit négatif pendant une demi-période et positif l'autre demi.
Si on part avec une orbite circulaire, k à la même valeur pendant toute l'orbite.
Je ne vois pas du tout non plus pourquoi il faut que A/m soit inférieur à une valeur quelconque pour que la voile commence à s'éloigner. Je pense que toute force diminue la force centripète et augmente le rayon de courbure de l'orbite... et nous voilà dans le mouvement planétaire.

Comme j'avais dit dans le post #11, je ne pense pas que l'on puisse étudier le problème avec 'r' comme seule variable. Le mouvement est un mouvement planétaire et il faut l'étudier comme tel.

Qu'est que j'ai raté?

Bonjour,

vous avez raté le fait que je n'ai pas réellement expliqué dans quel cadre je me suis placé ! Dans l'optique d'une première approche, je ne tient pas compte d'un mouvement orbital initial. 2 forces colinéaires se combattent sur une même dimension, c'est tout. On place "à la main" la voile à une distance r₀ du soleil avec une vitesse nulle, on la lâche et on regarde comment cela évolue.
Je suis allé voir quelques autres études de ce problème, et je suis en effet tombé sur des gens qui étudient le phénomène dans le plan orbital et résolvent numériquement le système d'équa. diff. On peut également rafiner le modèle en tennant compte du coefficient de réflexion de la voile (en fonction des caractéristiques du matériaux réflecteur), de la pression de radiation tangente à la voile due à une réflexion non-orthogonal des rayons du soleil(ce qui modifie alors le moment cinétique) etc,.... On peut compliquer autant que l'on veut. Mais pour une 1ère étude j'aime bien faire simple et dégager quelques propriétés physiques caractéristiques du problème.

Dans ce cadre il est normal qu'il y ait une valeur du paramètre m/A, qui exprime la compétition gravitation/pression de radiation, pour laquelle la voile est à l'équilibre. Au delà de cette valeur, la voile commencera à s'éloigner du soleil. Lorsque la voile s'éloigne, la gravité diminue mais la pression de radiation également et il existe certaines valeurs de m/A pour lesquelles la pression de radiation n'arrive plus à contrecarrer la gravitation. La voile se redirige vers le soleil et ainsi de suite. D'où le mouvement oscillant que j'obtiens. Je suis près à parier que l'on observera le même phénomène pour des trajectoires circulaires ou elliptiques. La voile ira d'une orbite à une autre en spirale et reviendra à son orbite initiale également de façon spiralaire. Pour que le voile puisse s'éloigner continuement, le rapport m/A doit-être très faible et c'est là toute la difficulté de la construction de ce type de voile.

Dans un deuxième temps, dans le cadre d'une étude planaire, ce qui serait marrant de calculer est "quelle orbite correspond à une vitesse d'éjection maximale du système solaire ?" .....

[vaincent]

Ce seuil de 0,2 g/m² est vraiment un résultat précieux, et je suis soufflé par l'existence d'un comportement oscillant. Ça a lieu autours l'orbite initiale ?

nan, la position initiale est en bas de l'oscillation pour m/A = 0.596 g/m². Par contre pour des valeurs supérieures, il existe aussi un mouvement oscillant, mais cette fois-ci la position initiale est en haut de l'oscillation. Normal puisque au départ la pression de radiation ne suffit pas à maintenir la voile à une certaine distance du soleil, la voile se rapproche donc de lui, puis lorsque la pression de radiation a suffisamment augmenté(puisqu'on se rapproche su soleil) la voile peut maintenant s'éloigner et regagner sa position initiale, et un nouveau cycle commence.

Si je prend un voile avec un A/m réglable, et que j'augmente A à m constant, par exemple, je vais voir ma voile osciller sur son orbite (sur 1/1000e de son rayon orbital) puis s'échapper quand A/m passe en dessous de 0,2 g/m², c'est ça ?

oui, dans cette 1ère approche, c'est ça en tout cas. Reste à voir si la valeur de 0.22 g/m² va significativement changer dans le cadre d'un mouvement planétaire.

[LPFR]

Bonjour,

vous avez raté le fait que je n'ai pas réellement expliqué dans quel cadre je me suis placé ! Dans l'optique d'une première approche, je ne tient pas compte d'un mouvement orbital initial. 2 forces colinéaires se combattent sur une même dimension, c'est tout. On place "à la main" la voile à une distance r₀ du soleil avec une vitesse nulle, on la lâche et on regarde comment cela évolue.

Re.
Ouf! Me voila soulagé.

Si une voile est en orbite, ce qui est plus réaliste, la pression de rayonnement lui fera décrire une orbite en spirale, avec le pas de la spirale d'autant plus grand que le rapport surface/masse est important. Mais il n'y aura pas de minimum ni d'oscillation.

Dans le cas d'une trajectoire radiale, il est malvenu de parler d'orbite.
La solution oscillante est due au fait que l'on commence avec des conditions initiales en déséquilibre des forces d'attraction et répulsion. Il est évident que l'oscillation aura lieu autour de la position d'équilibre. Mais celle-ci ne se trouvera pas au centre car c'est un oscillateur non linéaire.
A+