Mouvement d'un point sur une roue

[antoineg]

Bonjour à vous tous!

Je viens de rentrer en première année et je tombe déjà sur un os au premier exo de physique...

J'étudie le mouvement d'un point sur une roue (cercle) à une distance égale au rayon de son centre.

Le point se déplace donc évidement en cycloïde.

Mais je dois montrer qu'il quitte le contact avec le sol dans un mouvement vertical (on pourra s'aider de l'approximation des petits angles).

"Vertical" signifie qu'au moment précis où il quitte le sol, il n'a de mouvement que sur l'axe des y ? Ca me parait bizarre en regardant la tangente, elle se projette sur les x.

Je précise que j'ai pris mon repère (oxy) au point où P est à la verticale de A (sur le sol) dans le sens du mouvement.

Pourriez vous m'indiquez une piste?

Merci bcp!
-----

[LPFR]

Bonjour.
Pour moi, intuitivement, cela me semble évident.
Je pense que le plus simple et d'exprimer le mouvement x et y en fonction de l'angle, et montrer de dx/dθ=0 pour y=0.
Au revoir.

[arbolis87]

Pour te convaincre que le mouvement du point est vertical lorsqu'il quitte le sol, regarde http://images.google.com.ar/images?h...gbv=2&aq=f&oq=.

[antoineg]

oui en effet, je vois le mouvement vertical maintenant.

L'ennui c'est que je n'arrive pas à paramétrer la position de P sur les x
ici: r= rayon, &= angle de AP avec la vertical
J'ai P ( r*sin& , r + r cos &)

Il me manque une variable à ajouter à Px = r*sin& pour tenir compte du mouvement de la roue sur les x ?

Merci de m'avoir répondu si vite!

[A voir en vidéo sur Futura]

[triall]

Bonjour, on voit bien ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Cyclo%C3%AFde que la tangente au point de contact est parallèle à l'axe des Y ...

[LPFR]

oui en effet, je vois le mouvement vertical maintenant.

L'ennui c'est que je n'arrive pas à paramétrer la position de P sur les x
ici: r= rayon, &= angle de AP avec la vertical
J'ai P ( r*sin& , r + r cos &)

Il me manque une variable à ajouter à Px = r*sin& pour tenir compte du mouvement de la roue sur les x ?

Merci de m'avoir répondu si vite!

Re.
Dessinez vos axes. Imaginez que le point P a touché l'origine des axes pour θ = 0, et que la roue a tournée d'un angle θ.
Maintenant la roue touche l'axe des x en x= rθ.
Et votre point P se situe en x = θr –r sinθ et y = r – r cosθ.
A+

[antoineg]

Re.
Dessinez vos axes. Imaginez que le point P a touché l'origine des axes pour θ = 0, et que la roue a tournée d'un angle θ.
Maintenant la roue touche l'axe des x en x= rθ.
Et votre point P se situe en x = θr –r sinθ et y = r – r cosθ.
A+

Merci!
En dérivant je trouve donc les composantes du vecteur vitesse:
dx/dθ = r -rcosθ
dy/dθ = r sinθ

les conditions sont le moment où y=0 soit quand θ=0 l'instant où le point P remonte.
en injectant 0 je trouve bien:
dx/dθ = 0
mais aussi dy/dθ = 0 (???)

Je ne comprends pas vraiment comment je dois montrer que mon mouvement ne se fait que sur y...

[LPFR]

Re.
Regardez le mouvement: pour y=0 la vitesse de P s'inverse. Donc il est logique qu'elle passe par zéro.
Mais autour de θ = 0, c'est quoi la vitesse en x?
Et c'est quoi la vitesse en y?
Faites le développement limité autour de θ =0 (c'est à dire pour θ petit), et vous comprendrez la différence.
A+

[antoineg]

Je n'ai pas encore vu les développements limités en maths. Mais je crois comprendre ce que vous voulez dire.

Ai-je le droit de prendre un θ petit ?
dans cas:
ex:
Soit θ=0.1 ; θ petit.

On peut écrire:
cos θ ~= 1
sin θ ~= θ

On a alors:
dx/dθ = R-Rcosθ = 0
dy/dθ = Rsinθ = 0.1R

Ainsi:
dy/dθ =/= 0 ; dx/dθ = 0

Le mouvement de P ne se fait que sur l'axe vertical.


Ca me semble peu rigoureux mais juste?

[LPFR]

Re.
Vous venez de faire un développement limité sans le savoir quand vous avez écrit:
cos θ ~= 1
sin θ ~= θ
C'est assez rigoureux. Si vous voulez être plus précis vous pouvez dire que cos θ ~= 1 – θ²/2

Une autre possibilité, qui est peut-être plus claire est de tracer la courbe de dx/dθ et dy/dθ en fonction de θ autour de θ = 0.
Dans un cas vous avez sinθ et dans l'autre 1- cosθ.

A+

[antoineg]

Et bien c'est la question suivante

Merci beaucoup de votre aide, ça m'aura été très utile!

[invite9db4487d]

@antoineg : Ahah, Ansermet m'a aussi fait sécher sur ce problème. =D (si je suppose juste ?) et ce n'est que la première série. =(

Merci à vous pour vos réponses. Elles m'ont également beaucoup aidé !