Mouvement du centre d'inertie d'un solide

invite5815a41b · 19/09/2009, 17h35

Une grosse bille en acier de rayon r = 3 cm et dont la masse volumique est p = 7.8* $\text{[math]}$ kg. $\text{[math]}$ est lancée, avec une vitesse horizontale v sur une piste en forme de demi-sphère creuse dont le rayon intérieur est R.
bonjour,

la bille toutne sur elle-même sans glisser à la vitesse angulaire $\text{[math]}$ et autour de l'axe vertical ZZ' de la piste mi-sphérique , à la Vitesse $\text{[math]}$ rad.s-1

on suppose que l'expérience a lieu dans le vide et les frottements dus au roulement la bille sur la piste sont nuls.

Le Mouvement de la bille étant stabilisé, on désigne par $\text{[math]}$ l'angle que fait OC avec ZZ'

je dois à partir d'un raisonnement fondé sur le calcul de l'énergie totale de la bille , quelle est l'expression littérale de l'angle $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$

je ne voit pas comment commencer car la bille tourne sur elle même donc la vitesse cinétique est différente dans ce cas. Hors doit-elle être ajouté à l'energie cinétique rectiligne ou le calcul est différent.

merci pour toute aide sur la méthode de résolution

invitee0b658bd · 19/09/2009, 19h37

bonjour,
la condition de non glissement devrait te permettre de lier grand omega, petit omega et teta
teta te permet aussi de trouver l'energie potentielle de la bille

il va manquer à priori l'altitude de la quelle est lancée la bille afin de pouvoir determiner l'energie mecanique de la bille

je pense qu'il faut que tu commences par exprimer la condition de non glissement, aprés tu devrait y voir un peu plus clair
fred

invite5815a41b · 19/09/2009, 20h13

bonsoir,

pouvez vous être plus précis car je ne vois pas le point de départ?

Merci d'avance

invitee0b658bd · 19/09/2009, 20h35

bonsoir,
la bille roule sans glisser, son axe de rotation est fixé dans l'enoncé zz'
tu peux determiner le point de contact entre la bille et la piste en fonction de teta,r et R
tu peux alors calculer les distances à l'axe de la bille et à l'axe de la sphere du point de contact
la condition de non glissement impose une vitesse nulle au point de contact
a toi de continuer
fred

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invite5815a41b · 19/09/2009, 21h07

ok

on a donc $\text{[math]}$ et OC = $\text{[math]}$

OH = $\text{[math]}$
OI = $\text{[math]}$

En $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ = 0 et $\text{[math]}$ 1/2m $\text{[math]}$

En $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ) et $\text{[math]}$ 1/2m $\text{[math]}$

je demarrage comme ça mais je suis sur qu'il me manque un point car je vois pas comment lier $\text{[math]}$ ?

invitee0b658bd · 19/09/2009, 21h38

bonjour,
pour ma part j'aurai posé IM = R sin teta
la projection horysontale de CM = r sin teta
on peut alors deduire immediatement que le rapport des vitesses omega majuscule / omega minuscule = -r/R et que teta ne rentre pas en ligne de compte
fred

**mc222** · 19/09/2009, 21h45

Salut, j'ai ma petite idée sur la question, mais je ne passe pas par la dynamique mais par la statique (ou presque):

La bille est soumise à 3 forces:

_La poids

_ La force centrifuge ( je ne parle pas de force centripète pour simplifier)

_ La reaction de la surface.

_Le poids est forcement vertical

_ La force centrifuge est forcement horizontale

_La reaction de la surface n'est que la resultante des deux dans le sens opposé.

Pour que la bille reste à la meme hauteur, il faut que la resultante de P et Fc soit "radiale" au la demi sphère.

Autrement dit:

$\text{[math]}$

La bille décrit un cercle de rayon:

$\text{[math]}$

La force centrifuge vaut donc:

$\text{[math]}$

Ou

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On décompose le tan :

$\text{[math]}$

On simplifi par sin theta et m :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Bon apres si on veut avec V et non omega:

On sait que : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

invitee0b658bd · 19/09/2009, 21h47

re
pour l'energie cinetique tu as l'energie cinetique de rotation autour de l'axe de la bille
Ec1 = 1/2 2mr²/5 omega²
il te faut aprés trouver le moment d'inertie de la bille dans son mouvement autour de l'axe zz'
donc tu emploie le theoreme du transport du moment d'inertie
tu calcules Ec2
avec E = Ec1+Ec2+Ep
fred

invite5815a41b · 19/09/2009, 21h53

désolé plus que j'essaye de comprendre moins je comprend votre raisonnement :-s

invitee0b658bd · 19/09/2009, 21h54

petit rappel de cour,
http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_..._de_Steiner.29
tu sais normalement exprimer d la distance entre les deux axes de rotation, le reste devrait aller tout seul

mc222, il me semble que tu as oublié l'energie cinetique de rotation de la bille sur son axe propre.
fred

**mc222** · 19/09/2009, 21h58

Envoyé par verdifre

mc222, il me semble que tu as oublié l'energie cinetique de rotation de la bille sur son axe propre.
fred

Je ne sais pas si cela influ vraiment le résultat la féquence de rotation de la bille sur elle meme, a mon avis, c'est l'effet de cette frequence de rotation, à savoir la vitesse de la bille qui influe.

Qu'en penssez vous?

J'ai regarder sur me calculatrice les résultat en fonction de V et j'obitient des valeurs inderdites vers V= 3 m/s, avez vous une explication merci ? (J'ai etablit que R-r = 0.99 et g 9.81 )

invitee0b658bd · 19/09/2009, 22h06

ton système n'est qu'un systéme en rotation,
la bille tourne sur elle même, elle à donc de ce fait une energie cinetique de rotation par rapport à son propre axe
la bille tourne aussi autour de l'axe de la piste spherique, elle à aussi a ce niveau une energie cinetique de rotation autour de cet axe
elle à de plus une enrgie potentielle par rapport au bas de la piste

alors 1) tu peux calculer la loi qui lie les vitesses de rotation de la bille à la vitesse de rotation de son centre de gravité autour de l'axe de la piste
tu peux alors exprimer l'energie cinetique de la bille par rapport a son propre axe
puis l'energie cinetique de la bille par rapport à l'axe de la piste
puis l'energie potentielle

tu as une loi qui lie les deux vitesses de rotation, il te suffit de l'injecter la dedans

tu doit avoir aussi une autre solution un peu plus tordue (mais je suis pas sur) qui est d'exprimer l'energie cinetique de rotation par rapport à l'axe instantané de rotation qui est la verticale passant par M
fred

invitee0b658bd · 19/09/2009, 22h26

bonjour,

Je ne sais pas si cela influ vraiment le résultat la féquence de rotation de la bille sur elle meme, a mon avis, c'est l'effet de cette frequence de rotation, à savoir la vitesse de la bille qui influe.

Qu'en penssez vous?

mais alors d'ou est venue l'energie nessecaire pour faire tourner la bille sur elle même alors ?
tu devrais regarder
http://wiki.oleocene.org/index.php/S...nt_d.27inertie
ou faire une petite recherche sur volant d'inertie
fred

invite5815a41b · 19/09/2009, 22h29

ok, donc on a :

Moment d'inertie de la bille : $\text{[math]}$

et Ec de la bille = $\text{[math]}$

on applique le théorème de d'huygens

$\text{[math]}$

donc Ec2 = $\text{[math]}$

l'énergie mécanique en $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ avec Ep =0

l'énergie mécanique en $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

donc comme il y a pas de frottements , l'énergie mécanique se conserve ... la determination $\text{[math]}$ est simple?

invitee0b658bd · 19/09/2009, 22h38

pour idelta ce n'est pas R-r, c'est la distance à l'axe donc HC
pour les autres points, il faudrait etre sur de l'enoncé complet
savoir si on lance la bille en la faisant rouler ou si elle se met à rouler arrivée sur la piste
fred

invite5815a41b · 19/09/2009, 22h41

ok , pour HC

la bille est lancée, avec une vitesse horizontale v ....

invitee0b658bd · 19/09/2009, 22h44

une fois sur la piste, ta bille n'as plus que des vitesses de rotations, il ne faut donc prendre en compte que des vecteurs vitesse de rotation
revois un peu ton cours sur l'energie cinetique d'une masse en rotation
fred

invite5815a41b · 19/09/2009, 22h53

ouai, mais mon cours se resume a des formules sans aucune explication donc je ne sais comment les appliqué correctement :s

invite5815a41b · 19/09/2009, 23h25

merci pour les indiquations car je reste assez perdu face a l'histoire de la vitesse v de depart car je pense qu' elle dois agir q'une fois au point $\text{[math]}$ du lancement de la bille

invitee0b658bd · 19/09/2009, 23h38

tu as du voir normalement dans tes cours, le moment d'inertie d'une masse ponctuelle
= mr² avec r la distance à l'axe
si on fait tourner cette masse (ponctuelle) autour de l'axe que l'on à définit
on calcule l'energie cinetique de l'ensemble
"j'ai encore rien vu des energie cinetiques de rotation alors je pose
Ec= 1/2 mv²"
on tourne alors v = rw
---> Ec = 1/2 m r²w² ---> = 1/2 mr² w² = 1/2 J w²
attention ceci n'est valable que pour une masse ponctuelle (cependant tu remarqueras que dans le theoreme du transport du moment ce mr² reaparait.

Quand la masse n'est plus ponctuelle ce n'est plus si facille, le mr² ne marches plus forcément si bien il faut utiliser les calculs de moments d'inertie par les integrales

pour en revenir a notre bille qui tourne sur sa piste circulaire
c'est un mouvement de rotation donc l'energie cinetique s'exprime sous la forme Ec = 1/2 J W² et plus sous la forme 1/2 mv²
la masse n'est plus ponctuelle donc mon calcul de coin de table precedent ne marche plus
il te faut donc calculer J comme on l'a vu dans un message precedent.
et dans ce calcul on ne prend en compte que l'energie cinetique de rotation de la bille par rapport à l'axe de la piste, il faudra rajouter son energie cinetique de rotation par rapport a son propre axe
fred

invite5815a41b · 20/09/2009, 07h48

ok, merci pour l'aide

invite5815a41b · 20/09/2009, 09h07

Envoyé par indilunique

ok, merci pour l'aide

ok, merci pour l'aide mais je suis toujours aussi perdu car bien que je connaisse mes formules , je ne vois absulement pas l'enchainement du raisonnement .

invitee0b658bd · 20/09/2009, 21h04

bonjour,
on va reprendre par le début
ton exercice fait appel à deux domaines de connaissance differents
1) la cinematique
2) "l'energetique"

la cinematique va te permettre de trouver des relations entre des vitesses, dans cette partie on ne fait appel qu'a des considerations geometriques et des conditions telles que "rouler sans glisser" etc...
as tu vu les toreurs en mécanique et en particulier le torseur cinematique ?
fred

invite5815a41b · 21/09/2009, 18h20

oui, avec le moment cinétique

$\text{[math]}$
le moment autour d'un axe :

$\text{[math]}$

**invite6dffde4c** · 21/09/2009, 18h48

Bonjour.
J'arrive un peut tard, mais il me semble que c'est un problème de pendule conique modifié pour ajouter l'énergie de rotation de la bille sur elle même.
Donc, je calculerais, pour un angle thêta, la vitesse angulaire du "pendule" de autour de l'axe zz', et à partir du rayon de rotation et du rayon le la bille, la vitesse de rotation de la bille sur elle même et son énergie.
Au revoir.

invite5815a41b · 21/09/2009, 18h53

bonjour,

le problème c'est que mon raisonneemnt doit s'appuyer sur l'energie mécanique totale de la bille

**invite6dffde4c** · 21/09/2009, 18h58

Re.
Eh oui.
Vous avez le droit de faire le problème dans l'autre sens: vous calculez l'énergie pour un angle donné, puis vous dites: pour cette énergie on obtient cet angle.
A+

invitee0b658bd · 21/09/2009, 19h59

bonjour,
si tu as vu les torseurs, tu peux utiliser le fait que l'energie cinetique est la moitié du comoment du torseur cinetique avec le torseur cinematique
fred

Mouvement du centre d'inertie d'un solide

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