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Mouvement du centre d'inertie d'un solide



  1. #1
    indilunique

    Mouvement du centre d'inertie d'un solide


    ------

    Une grosse bille en acier de rayon r = 3 cm et dont la masse volumique est p = 7.8* kg. est lancée, avec une vitesse horizontale v sur une piste en forme de demi-sphère creuse dont le rayon intérieur est R.
    bonjour,


    la bille toutne sur elle-même sans glisser à la vitesse angulaire et autour de l'axe vertical ZZ' de la piste mi-sphérique , à la Vitesse rad.s-1

    on suppose que l'expérience a lieu dans le vide et les frottements dus au roulement la bille sur la piste sont nuls.

    Le Mouvement de la bille étant stabilisé, on désigne par l'angle que fait OC avec ZZ'


    je dois à partir d'un raisonnement fondé sur le calcul de l'énergie totale de la bille , quelle est l'expression littérale de l'angle en fonction de


    je ne voit pas comment commencer car la bille tourne sur elle même donc la vitesse cinétique est différente dans ce cas. Hors doit-elle être ajouté à l'energie cinétique rectiligne ou le calcul est différent.


    merci pour toute aide sur la méthode de résolution

    -----
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  3. #2
    verdifre

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    bonjour,
    la condition de non glissement devrait te permettre de lier grand omega, petit omega et teta
    teta te permet aussi de trouver l'energie potentielle de la bille

    il va manquer à priori l'altitude de la quelle est lancée la bille afin de pouvoir determiner l'energie mecanique de la bille

    je pense qu'il faut que tu commences par exprimer la condition de non glissement, aprés tu devrait y voir un peu plus clair
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

  4. #3
    indilunique

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    bonsoir,

    pouvez vous être plus précis car je ne vois pas le point de départ?

    Merci d'avance

  5. #4
    verdifre

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    bonsoir,
    la bille roule sans glisser, son axe de rotation est fixé dans l'enoncé zz'
    tu peux determiner le point de contact entre la bille et la piste en fonction de teta,r et R
    tu peux alors calculer les distances à l'axe de la bille et à l'axe de la sphere du point de contact
    la condition de non glissement impose une vitesse nulle au point de contact
    a toi de continuer
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    indilunique

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    ok

    on a donc et OC =

    OH =
    OI =

    En

    = 0 et 1/2m

    En

    = ) et 1/2m

    je demarrage comme ça mais je suis sur qu'il me manque un point car je vois pas comment lier ?

  8. #6
    verdifre

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    bonjour,
    pour ma part j'aurai posé IM = R sin teta
    la projection horysontale de CM = r sin teta
    on peut alors deduire immediatement que le rapport des vitesses omega majuscule / omega minuscule = -r/R et que teta ne rentre pas en ligne de compte
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

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  10. #7
    mc222

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    Salut, j'ai ma petite idée sur la question, mais je ne passe pas par la dynamique mais par la statique (ou presque):

    La bille est soumise à 3 forces:

    _La poids

    _ La force centrifuge ( je ne parle pas de force centripète pour simplifier)

    _ La reaction de la surface.



    _Le poids est forcement vertical

    _ La force centrifuge est forcement horizontale

    _La reaction de la surface n'est que la resultante des deux dans le sens opposé.



    Pour que la bille reste à la meme hauteur, il faut que la resultante de P et Fc soit "radiale" au la demi sphère.

    Autrement dit:




    La bille décrit un cercle de rayon:



    La force centrifuge vaut donc:



    Ou








    On décompose le tan :





    On simplifi par sin theta et m :






    Bon apres si on veut avec V et non omega:

    On sait que :




    Dernière modification par mc222 ; 19/09/2009 à 20h49.

  11. #8
    verdifre

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    re
    pour l'energie cinetique tu as l'energie cinetique de rotation autour de l'axe de la bille
    Ec1 = 1/2 2mr²/5 omega²
    il te faut aprés trouver le moment d'inertie de la bille dans son mouvement autour de l'axe zz'
    donc tu emploie le theoreme du transport du moment d'inertie
    tu calcules Ec2
    avec E = Ec1+Ec2+Ep
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

  12. #9
    indilunique

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    désolé plus que j'essaye de comprendre moins je comprend votre raisonnement :-s

  13. #10
    verdifre

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    petit rappel de cour,
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_..._de_Steiner.29
    tu sais normalement exprimer d la distance entre les deux axes de rotation, le reste devrait aller tout seul

    mc222, il me semble que tu as oublié l'energie cinetique de rotation de la bille sur son axe propre.
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

  14. #11
    mc222

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    Citation Envoyé par verdifre Voir le message

    mc222, il me semble que tu as oublié l'energie cinetique de rotation de la bille sur son axe propre.
    fred

    Je ne sais pas si cela influ vraiment le résultat la féquence de rotation de la bille sur elle meme, a mon avis, c'est l'effet de cette frequence de rotation, à savoir la vitesse de la bille qui influe.

    Qu'en penssez vous?

    J'ai regarder sur me calculatrice les résultat en fonction de V et j'obitient des valeurs inderdites vers V= 3 m/s, avez vous une explication merci ? (J'ai etablit que R-r = 0.99 et g 9.81 )

  15. #12
    verdifre

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    ton système n'est qu'un systéme en rotation,
    la bille tourne sur elle même, elle à donc de ce fait une energie cinetique de rotation par rapport à son propre axe
    la bille tourne aussi autour de l'axe de la piste spherique, elle à aussi a ce niveau une energie cinetique de rotation autour de cet axe
    elle à de plus une enrgie potentielle par rapport au bas de la piste

    alors 1) tu peux calculer la loi qui lie les vitesses de rotation de la bille à la vitesse de rotation de son centre de gravité autour de l'axe de la piste
    tu peux alors exprimer l'energie cinetique de la bille par rapport a son propre axe
    puis l'energie cinetique de la bille par rapport à l'axe de la piste
    puis l'energie potentielle

    tu as une loi qui lie les deux vitesses de rotation, il te suffit de l'injecter la dedans

    tu doit avoir aussi une autre solution un peu plus tordue (mais je suis pas sur) qui est d'exprimer l'energie cinetique de rotation par rapport à l'axe instantané de rotation qui est la verticale passant par M
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

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  17. #13
    verdifre

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    bonjour,
    Je ne sais pas si cela influ vraiment le résultat la féquence de rotation de la bille sur elle meme, a mon avis, c'est l'effet de cette frequence de rotation, à savoir la vitesse de la bille qui influe.

    Qu'en penssez vous?
    mais alors d'ou est venue l'energie nessecaire pour faire tourner la bille sur elle même alors ?
    tu devrais regarder
    http://wiki.oleocene.org/index.php/S...nt_d.27inertie
    ou faire une petite recherche sur volant d'inertie
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

  18. #14
    indilunique

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    ok, donc on a :

    Moment d'inertie de la bille :

    et Ec de la bille =

    on applique le théorème de d'huygens



    donc Ec2 =

    l'énergie mécanique en

    avec Ep =0


    l'énergie mécanique en



    donc comme il y a pas de frottements , l'énergie mécanique se conserve ... la determination est simple?

  19. #15
    verdifre

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    pour idelta ce n'est pas R-r, c'est la distance à l'axe donc HC
    pour les autres points, il faudrait etre sur de l'enoncé complet
    savoir si on lance la bille en la faisant rouler ou si elle se met à rouler arrivée sur la piste
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

  20. #16
    indilunique

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    ok , pour HC

    la bille est lancée, avec une vitesse horizontale v ....

  21. #17
    verdifre

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    une fois sur la piste, ta bille n'as plus que des vitesses de rotations, il ne faut donc prendre en compte que des vecteurs vitesse de rotation
    revois un peu ton cours sur l'energie cinetique d'une masse en rotation
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

  22. #18
    indilunique

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    ouai, mais mon cours se resume a des formules sans aucune explication donc je ne sais comment les appliqué correctement :s

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  24. #19
    indilunique

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    merci pour les indiquations car je reste assez perdu face a l'histoire de la vitesse v de depart car je pense qu' elle dois agir q'une fois au point du lancement de la bille

  25. #20
    verdifre

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    tu as du voir normalement dans tes cours, le moment d'inertie d'une masse ponctuelle
    = mr² avec r la distance à l'axe
    si on fait tourner cette masse (ponctuelle) autour de l'axe que l'on à définit
    on calcule l'energie cinetique de l'ensemble
    "j'ai encore rien vu des energie cinetiques de rotation alors je pose
    Ec= 1/2 mv²"
    on tourne alors v = rw
    ---> Ec = 1/2 m r²w² ---> = 1/2 mr² w² = 1/2 J w²
    attention ceci n'est valable que pour une masse ponctuelle (cependant tu remarqueras que dans le theoreme du transport du moment ce mr² reaparait.

    Quand la masse n'est plus ponctuelle ce n'est plus si facille, le mr² ne marches plus forcément si bien il faut utiliser les calculs de moments d'inertie par les integrales

    pour en revenir a notre bille qui tourne sur sa piste circulaire
    c'est un mouvement de rotation donc l'energie cinetique s'exprime sous la forme Ec = 1/2 J W² et plus sous la forme 1/2 mv²
    la masse n'est plus ponctuelle donc mon calcul de coin de table precedent ne marche plus
    il te faut donc calculer J comme on l'a vu dans un message precedent.
    et dans ce calcul on ne prend en compte que l'energie cinetique de rotation de la bille par rapport à l'axe de la piste, il faudra rajouter son energie cinetique de rotation par rapport a son propre axe
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

  26. #21
    indilunique

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    ok, merci pour l'aide

  27. #22
    indilunique

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    Citation Envoyé par indilunique Voir le message
    ok, merci pour l'aide
    ok, merci pour l'aide mais je suis toujours aussi perdu car bien que je connaisse mes formules , je ne vois absulement pas l'enchainement du raisonnement .

  28. #23
    verdifre

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    bonjour,
    on va reprendre par le début
    ton exercice fait appel à deux domaines de connaissance differents
    1) la cinematique
    2) "l'energetique"

    la cinematique va te permettre de trouver des relations entre des vitesses, dans cette partie on ne fait appel qu'a des considerations geometriques et des conditions telles que "rouler sans glisser" etc...
    as tu vu les toreurs en mécanique et en particulier le torseur cinematique ?
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

  29. #24
    indilunique

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    oui, avec le moment cinétique


    le moment autour d'un axe :


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  31. #25
    LPFR

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    Bonjour.
    J'arrive un peut tard, mais il me semble que c'est un problème de pendule conique modifié pour ajouter l'énergie de rotation de la bille sur elle même.
    Donc, je calculerais, pour un angle thêta, la vitesse angulaire du "pendule" de autour de l'axe zz', et à partir du rayon de rotation et du rayon le la bille, la vitesse de rotation de la bille sur elle même et son énergie.
    Au revoir.

  32. #26
    indilunique

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    bonjour,

    le problème c'est que mon raisonneemnt doit s'appuyer sur l'energie mécanique totale de la bille

  33. #27
    LPFR

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    Re.
    Eh oui.
    Vous avez le droit de faire le problème dans l'autre sens: vous calculez l'énergie pour un angle donné, puis vous dites: pour cette énergie on obtient cet angle.
    A+

  34. #28
    verdifre

    Re : Mouvement du centre d'inertie d'un solide

    bonjour,
    si tu as vu les torseurs, tu peux utiliser le fait que l'energie cinetique est la moitié du comoment du torseur cinetique avec le torseur cinematique
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

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