Mise en equation d'un refroidissement

[invite2313209787891133]

Bonjour à tous.

Je cherche à mettre en équation le refroidissement d'une cuve, malheureusement je ne suis plus très à l'aise avec les équa diff (ça fait dans les 15 ans que je n'ai pas fait de math).

Le problème est assez simple: J'ai une cuve d'un certain volume, avec une certaine surface. Elle contient de l'eau à une température t0 et l'air est à une température ambiante tamb.

Prenons par exemple 1000 litres, 3m² et 100°C initiaux, avec Tamb de 20°C.
Je perds 10W par m² par degré de différence, donc 10 x 3 x (100-80) = 2400W à l'instant t0.
Je suis capable de trouver la température au bout d'un certain temps en faisant des itérations sur Excel, mais je préférerai utiliser une formule. J'apprécierai beaucoup d'avoir aussi la démarche pour arriver à l'équation.

Merci d'avance pour le coup de main.
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[Fanch5629]

Bonjour.

Soient :

t le temps (s),
T la température de l'eau à l'instant l (°K),
T₀ la température de l'eau à t = 0 (°K)
Ta la température ambiante (°K),
V le volume d'eau (m³),
S la surface d'échange thermique avec l'ambiance (m²),
C la capacité thermique de l'eau (J.kg^-1.K^-1),
la masse volumique de l'eau (kg.m^-3),
la conductance thermique de l'enveloppe (W.m^-2.K^-1).

Les paramètres physiques du système sont supposés constants, la température de l'eau homogène, la conductance thermique identique en tout point de l'enveloppe, etc.

Pendant le laps de temps dt, la quantité de chaleur perdue par l'eau est dQ = . S . (T - Ta) . dt

Le température de l'eau varie de dT, donc dQ = - . C . V . dT

D'où : - . C . V . dT = . S . (T - Ta) . dt

Pour alléger l'écriture, posons = . C . V / ( . S ) ( constante de temps, unité : la seconde )

L'équa diff s'écrit : dT / dt + T / = Ta / , équa diff du premier ordre à coeff constants avec second membre.

Résolution de l'ESSM : T = K . exp( - t / ), K : constante d'intégration.

Intégrale particulière : T = Ta

Solution générale : T = K . exp( - t / ) + Ta

A t = 0, T = T₀, d'où K = T₀ - Ta

Et donc : T = (T₀ - Ta ) . exp( - t / ) + Ta

que l'on peut écrire : T - Ta = (T₀ - Ta ) . exp( - t / ).

Seules des différences de température interviennent. On peut donc exprimer T en degré Celsius ou en Kelvin.

A noter également, T₀ peut être queconque par rapport à Ta. Refroidissement et réchauffement sont régis pas la même équation.

Application numérique :
V = 1
S = 3
C = 4186
= 1000
= 10
T₀ = 100
Ta = 20

On obtient = 1,395 . 10⁵ s ( environ 38h 45 mn 33 s )

Et puis c'est tout, je crois. (Ca m'a rajeuni tout cela !)

Cordialement.

[invite2313209787891133]

Un grand merci pour cette réponse claire et détaillée !

Je suis confronté régulièrement à ce genre de problème; un de ces jours il faudra que je me fasse une petite révision en math.

[FC05]

Un détail Fanch, si ton profil est exact tu avais 11 ans quand on a décidé qu'il ne fallait plus dire °K, mais K ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Fanch5629]

Un détail Fanch, si ton profil est exact tu avais 11 ans quand on a décidé qu'il ne fallait plus dire °K, mais K ...

Remarque tout à fait pertinente ! Merci FC05.

[invite2313209787891133]

J'ai intégré la formule à ma feuille de calcul de déperditions et le résultat semble coller avec les itérations que j'avais faites.

Par contre en reprenant les valeurs de mon exemple je trouve une constante de temps de 20930 secondes

[Fanch5629]

1000 . 4186 . 1 / 10 / 3 sur ma calcu, ca me donne 139 533,3...

[invite2313209787891133]

J'ai bien fais de vérifier, j'avais fais une erreur sur ma feuille de calcul.

Merci encore.

[invite5c857167]

Bonjour,

Comment arriver vous à calculer la conductance thermique de l'enveloppe (W.m-2.K-1) =10 Fanch5629 ?
C'est l'inverse de la résistance thermique , n'est-ce pas ?

Sur wikipedia on voit la résistance thermique
résistance thermique
et la densité de flux thermique qui permet de la calculer
Flux thermique
Mais à la Densité de flux thermique je suis pommé.

Merci.

[invite2313209787891133]

Bonjour

Cette valeur de 10W/m2.°C est le coefficient d'échange global; je l'avais donnée à titre d'exemple, mais en réalité elle dépend de plusieurs paramètres : Géométrie de ce qui dissipe, taille, nature de la convection (forcée ou non, vitesse de l'air), température et émissivité.

[invite5c857167]

Re,
quelquechose me tracasse :

"Pour alléger l'écriture, posons tau= ro . C . V / ( phi . S ) ( constante de temps, unité : la seconde )"

or je trouve que l'unité est des kg / m :
C en [W/(m.K)]
V en [m^3]
ro en [kg/m^3]
phi en [W/(m².k)]
et S en [m²]; il dit des secondes !

Ce n'est donc pas homogène ? où est le bug ?

[invite2313209787891133]

C est en J/kg/K; quand on réduit on trouve des J/W, ce qui fait bien des secondes.