Eqs. de Maxwell, solutions non physiques

[invitea774bcd7]

Salut à tous

Je suis dans la résolution des équations de Maxwell dans un réseau. Le problème se « réduit » à un système d'équations différentielles du premier ordre ; le vecteur regroupant mes composantes des champs, y étant la direction de propagation.
La solution est . Rien de bien sorcier jusqu'ici.

Le problème est que parmi mes composantes des champs certaines correspondent à des ondes évanescentes. Et les équations de Maxwell croient bien faire en me donnant à la fois le terme en exponentielle décroissante et en exponentielle croissante
Vous comprenez alors que ça devient assez instable numériquement après une propagation sur quelques microns

Il existe un jeu de conditions initiales bien particulier qui assure que chaque onde évanescente ne se propagent que en exponentielle décroissante; comme il se doit.
La dimension minimale de mon problème est 4 (un seul ordre de Rayleigh, deux composantes transverses de E et H). Pour ce cas, la diagonalisation de est analytique et je peux déterminer ces conditions initiales annulant les solutions non physiques exactement.

Mais pour des dimensions plus grandes ce n'est plus analytique et je me demande comment déterminer les conditions initiales annulant les solutions non physiques numériquement…
La dimension totale de mon problème est 4(2N+1) où N est l'ordre maximal de Rayleigh retenu. On montre que ces conditions initiales recherchées reviennent à « renormaliser » les composantes de E par rapport à celles de H. Ça revient donc à trouver 2(2N+1) inconnues.
Numériquement, je ne sais pas comment faire…

Si quelqu'un a une petite idée
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[invitea774bcd7]

Bon…

Je fais numériquement le cas où N=1 (ordre de Rayleigh maximal retenu). J'ai donc 12 composantes de champ à propager. 6 de champ électrique E et 6 de champ magnétique H qui elles mêmes se décomposent en 3 suivant x et 3 suivant z (le réseau est dans le plan (x,z))

Je fais plusieurs suppositions juste pour montrer le principe : je multiplie toutes les composantes de par la même quantité, je multiplie toutes les composantes de par la même quantité. C'est une grosse supposition (qui s'avère fausse en fait…) mais ça me permet d'avoir deux inconnues A et B à déterminer. Mon vecteur initiale de champ est donc

(Je mets les champs magnétiques arbitrairement à 1)

D'abord un petit test : je prends des conditions initiales au hasard (tous les champs à 1 en fait ) et propage sur 100nm :

Effectivement, toutes les composantes explosent exponentiellement.

En fonction de A et B, je regarde la moyenne arithmétique des composantes de mes champs après 100nm de propagation.

Cool : y a un minimum Je détermine numériquement ce couple {A,B} et repropage mes champs sur 100nm avec ces conditions initiales particulières :

Hmmm Avec ces suppositions drastiques, on dirait bien que j'arrive à annuler minimum 4 composantes de champ déjà

Pour être complet, il faudrait dans cet exemple déterminer 6 et non pas seulement 2 inconnues. J'y suis pas encore arrivé… C'est pas la même histoire de minimiser numériquement une fonction dans 6 dimensions

[invite88ef51f0]

Salut,
J'ai l'impression que même si tu choisis les bonnes conditions initiales pour ne garder que les modes évanescents, ton programme va être fondamentalement instable : la moindre erreur numérique risque d'exciter les modes croissants et de faire tout exploser.
Il faudrait donc peut-être chercher à rajouter à la main une contrainte pour tuer ces modes.

[invitea774bcd7]

Oui c'est instable numériquement je crois bien…
Je sais pas trop comment m'en sortir

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93279690]

Salut à tous

Je suis dans la résolution des équations de Maxwell dans un réseau. Le problème se « réduit » à un système d'équations différentielles du premier ordre ; le vecteur regroupant mes composantes des champs, y étant la direction de propagation.
La solution est . Rien de bien sorcier jusqu'ici.

Salut,

Le problème vient du fait qu'il doit y avoir des conditions aux bords normalement non ? (Au moins celle du genre : "les champs sont nuls à l'infini"). La réduction de ton problème de départ archi compliqué à un système d'équations differentielles ne doit marcher que dans le bulk mais pas aux bords ou alors la matrice M devrait contenir les conditions aux bords qui tueraient demblé les parties instables....ou il y a un truc que j'ai loupé ?

[invite0bbfd30c]

Ça ne doit pas être très compliqué de "tuer" au cours de la propagation les solutions évanescentes qui ont des vecteurs d'onde qui ne correspondent pas à ce que tu recherches, si? (en faisant une analyse type Fourier) Évidemment il faut faire ça assez souvent pour que ces solutions ne croissent trop.

[invitea774bcd7]

Bah en dehors du réseau c'est raccordé justement à un développement de Rayleigh.
Ces conditions dont tu parles, c'est justement ce que j'essaie de déterminer : les conditions pour qu'effectivement les modes évanescents sont zéro à l'infini, si on veut…
C'est pas simple, faut que je trouve un truc sioux

[invite0bbfd30c]

Bah en dehors du réseau c'est raccordé justement à un développement de Rayleigh. Ces conditions dont tu parles, c'est justement ce que j'essaie de déterminer : les conditions pour qu'effectivement les modes évanescents sont zéro à l'infini, si on veut…

Ah bon, je n'avais pas compris. J'imagine que tu n'aurais pas ce genre de problème avec une méthode de propagation comme la "FDTD" (finite-difference time-domain method), mais elle pourrait poser d'autres difficultés.