produit scalair

[221]

bonsoir j ai un probleme avec l exo suivant :
on me demende de montrer grace au produit scalaire que dans un triangle quelconque ABC on a :
AC^2=AB^2+BC^2 -2AB.BC.COS ALPHA
je ne vois pas tres bien la relation entre le produit scalaire et cette equation mais j ai essayer:
AC =AB+BC DONC AC^2 =AB^2+BC^2 +2AB.BC MAIS JE bloque votre aide est la bienvenue merci
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[invite656bb80a]

Bonsoir

Le produit scalaire te donne :

Je te laisse déterminer la suite.

[invitea774bcd7]

Bah ça y est, c'est presque fini
Sauf que ce que tu as écrit 2AB.BC est en fait AB.BC + BC.AB et c'est ça qui te donnera le signe moins (dans un cas l'angle est alpha, dans l'autre pi-alpha)
Suffit d'être méticuleux pour mesurer les angles orientés

[221]

pouvez vous etre plus explicite svp

[A voir en vidéo sur Futura]

[221]

je n est toujour pas compris comment boucler cet exo aide svp

[invitea774bcd7]

(égalité des vecteurs donc…)
(…égalité de leurs normes)

[221]

merci a toi de m avoir eclaire mais cependant il reste un flou pour se qui est de pi + alfa et pi - alfa peut tu m expliquer merci

[invitea774bcd7]

C'est ce que j'ai dit : faut être méticuleux avec les angles orientés.
Fais un dessin. Tu te rendras compte que l'angle entre BC et AB est pi-alpha et l'angle entre AB et BC est pi+alpha.

[vaincent]

pour se représenter les choses, je pense qu'il y a plus simple :



donc :



si est l'angle entre et , alors :

[221]

bonsoir a tous et merci a tous de mavoir repondue
cependant g un petit probleme avec le dernier message de gueromoo
pour toi l angle alpha est forme par quels vecteurs merci de me repondre

[invitea774bcd7]

Tu vas quand même pas me forcer à poster un dessin, si ?!
As-tu fait un dessin ?

[invitea774bcd7]

[Universus]

Salut 221,

Il faut que tu remarques une certaine subtilité (que j'ai honteusement mis quelques temps à remarquer moi aussi) dans la démonstration de guerom00.

Tu as un triangle ABC. On s'entend qu'il y a les côtés AB (ou BA, c'est équivalent, le segment n'ayant pas de sens, seulement une direction), BC et AC. Néanmoins, on peut vouloir associer à chacun de ces côtés un vecteur ayant la même direction et la même norme qu'un de ces 3 côtés afin de pouvoir transformer un problème de géométrie 'pure' en un problème de géométrie vectorielle dont les outils s'avèrent ici très appréciables.

Néanmoins, tu dois te rendre compte qu'il n'y a pas une seule façon d'associer un tel vecteur à un côté, car un vecteur a un sens, chose que n'a pas le segment. Ainsi, par exemple, je peux représenter le côté AB par le vecteur ou, de façon toute aussi convenable, par le vecteur . Néanmoins, le problème ne sera pas traité tout à fait de la même façon si on considère l'un de ces vecteurs plutôt qu'un autre.

guerom00 a choisi de 'schématiser' la situation à l'aide des vecteurs , et afin d'appliquer la loi de Chasles . Néanmoins, je suis plutôt sûr que dans ton esprit, tu imagines (avec raison) l'angle comme étant l'angle entre les segments (les côtés) AB et BC se trouvant à l'intérieur du triangle ABC. Néanmoins, il ne s'agit pas de l'angle entre les vecteurs et , puisque l'angle entre deux vecteurs est défini comme étant l'angle qu'ils forment lorsque leur 'pied' respectif (l'extrémité sans flèche du vecteur) coïncident, chose qui n'est pas le cas avec les vecteurs et (la tête du premier vecteur coïncide avec le pied du second). Ainsi, pour bien voir l'angle qu'il y a entre ces deux vecteurs, tu dois déplacer le vecteur de telle sorte que son pied coïncide avec celui de et là, tu verras bien que l'angle entre les deux est de .

Si par contre, comme l'a fait vaincent, on modifie quelque peu le problème pour considérer les vecteurs et , là on fait apparaître directement l'angle entre les deux. Néanmoins, c'est la relation entre ces deux vecteurs et le vecteur qui est légèrement moins directe dans ce cas (vu la soustraction).

Edit : Le dessin du message précédent vaut les milles mots du mien ^^

Edit 2 : Aussi, l'utilisation des angles orientés par guerom00 a l'avantage de ne jamais restreindre la définition d'un angle entre deux vecteurs comme étant celui qui est le plus petit des 2 (ainsi, nous avons pas à toujours vérifier dans un problème quel est l'angle le plus petit. Néanmoins, il s'agit d'une technique un peu moins visuelle.

[221]

merci guerom00 le dessin est un collector je le garde
et universus merci a toi mon ami !