Démonstration de la formule de la période orbitale

[moogly13]

Bonjour,

Je suis actuellement en 1ère S SI et j'ai choisit comme sujet de TPE (travaux personnels encadrés): les satellites (principes et lois; mise en orbite; différentes orbites;domaines d'utilisation des satellites; constitution d'un satellite; contrôle thermique; gestion de l'énergie; gestion de bord; propulsion; contrôle d'orientation; dangers spatiaux et problèmes) .

Ma prof de Physique m'a fortement conseillé de démontrer la formule de la période orbitale :

J'ai pas mal réfléchi et essayé mais je ne vois vraiment pas comment faire je suis bloqué.

Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider,
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[calculair]

Bonjour

Dans le cas d'un satellite le satellite P est soumis a une force centrale
F = -G Mm/R² avec M Masse de la terre m masse du satellite et R distance du satellite P au centre de la terre O

Tu as OP = vecteur R

Les coordonnée de P ( X,Y)

La projection de la force Fest Fx = -Ax sur l'axe X et Fy = -Ay sur Y

L'equation du mouvement sur ces axes

m d²X/dt² +Ax = 0
m d²Y/dt² + Ay = 0

les solutions sont de la forme

X = kA sin( wt + S)
Y = K' A sin(wt + S)

La trajectoire est une elipse

[Gloubiscrapule]

Salut,

Je doute que la démonstration soit d'un niveau de 1ère, c'est pas trivial comme démonstration!!

[Ygo]

Bonjour

Ta question correspond au programme de TS, tu trouveras toutes les explications dans un livre de Terminale.

pour le cas le plus simple d'une trajectoire circulaire de rayon a = (rayon de la Terre) + (altitude au-dessus du sol) :
Période = (circonférence du cercle de rayon a) divisée par (vitesse) = 2*PI*a/V

et pour la vitesse il faut utiliser les lois de Newton dans le cas du mouvement circulaire :

d'une part la force d'attraction est F = G*(masse terre)*(masse satelite) / (carré du rayon de l'orbite a)
d'autre part dans le cas du mouvement circulaire
F = m* (carré de V) / (rayon a)

Je te laisse le soin de réfléchir avec tout ça...

A suivre !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gloubiscrapule]

Bonjour

Ta question correspond au programme de TS, tu trouveras toutes les explications dans un livre de Terminale.

pour le cas le plus simple d'une trajectoire circulaire de rayon a = (rayon de la Terre) + (altitude au-dessus du sol) :
Période = (circonférence du cercle de rayon a) divisée par (vitesse) = 2*PI*a/V

et pour la vitesse il faut utiliser les lois de Newton dans le cas du mouvement circulaire :

d'une part la force d'attraction est F = G*(masse terre)*(masse satelite) / (carré du rayon de l'orbite a)
d'autre part dans le cas du mouvement circulaire
F = m* (carré de V) / (rayon a)

Je te laisse le soin de réfléchir avec tout ça...

A suivre !

Dans le cas d'un cercle, effectivement c'est plus simple, regarde ce qu'a dit Ygo...

Bonjour

Dans le cas d'un satellite le satellite P est soumis a une force centrale
F = -G Mm/R² avec M Masse de la terre m masse du satellite et R distance du satellite P au centre de la terre O

Tu as OP = vecteur R

Les coordonnée de P ( X,Y)

La projection de la force Fest Fx = -Ax sur l'axe X et Fy = -Ay sur Y

L'equation du mouvement sur ces axes

m d²X/dt² +Ax = 0
m d²Y/dt² + Ay = 0

les solutions sont de la forme

X = kA sin( wt + S)
Y = K' A sin(wt + S)

La trajectoire est une elipse

C'est quoi Ax, Ay, k et K' ?? Je comprends pas!!

[moogly13]

Merci de vos réponses,

Je vais travailler sur ce que propose Ygo mais Calculair c'est peut être juste mais je ne comprends rien de rien et mon but est de démontrer la formule et non de connaitre la trajectoire.

Par contre la solution d'Ygo ne fonctionne que si le satellite à un mouvement circulaire (autrement dit pour les satellites géostationnaires)?? Si oui comment faire si c'est une orbite elliptique ?

Merci,

[calculair]

Dans le cas d'un cercle, effectivement c'est plus simple, regarde ce qu'a dit Ygo...



C'est quoi Ax, Ay, k et K' ?? Je comprends pas!!

Bonjour,

J'ai appliqué la relation F = m a relation vectorielle en la projettant sur 2 axes OX et OY

pour l'un des axe par exemple OX tu ax Fx profection de la force d'attraction Terre satellite que j'ai noté Ax donc -Ax = m d²X/dt²
ou m d²X/dt² + Ax = 0

Ax est la projection de la force d'attraction Terre satellite sur l'axe des X
Ay idem pour sue l'axe Y

K et K' sont des constantes qui dependent des conditions initiales d'injection du satellite sur son orbite;

Si K = K' tu aura une orbite circulaire, mais non necessairement geostationnaire

[calculair]

Bonjour,
Tout à l'heure j'etais un peu pressé

Pour trouver la solution de m d²X/dt² + Ax = 0
ou d²X /dt² + A/m x =0
o
Tu identifies avec une solution du type
X = S sin(wt + q)

dx/dt = Sw cos ( wt + q)

d²x/dt² = - Sw² sin (wt + q)

En identifiant avec l'equation d²X/dt² +A/m x = 0

W² = m /A

Or A= F = G M m /R² *Vecteur R / ( module R)

Fx = GMm X / R² * ( module de R) = GM m X /R³( car la projection du vecteur R sur X est X)

W = Racine R³/ GM

T = 2 pi Racine ( R³/GM )

[moogly13]

Bonsoir,

Merci Calculair mais ce n'est absolument pas de mon niveau à moins que t'es vraiment envie de m'expliquer (si c'est la cas, un schéma serait le bienvenue).

Voilà si quelqu'un à quelque chose à proposer, des idées, des démonstrations, des pistes de démonstration, n'hésitez pas !!


Merci;

PS: je rappel que je suis en 1ere S avec un bon niveau

[Ygo]

Bonsoir Moogly

Suite à mon message (n° 4) et à ta question (n°6) je confirme que la relation que l'on établit pour la période du mouvement circulaire est valable ausi pour la période du mouvement elliptique (la démonstration est plus "hard", mais dans un TPE je trouverai normal que cette affirmation ne soit pas démontrée).

Seule précaution à prendre pour calculer la période : remplacer le rayon "a" défini plus haut par le demi-grand axe de l'ellipse, c'est à dire a = (Rayon de la Terre)+ 0,5*(altitude mini + altitude maxi). D'autre part, s'il est facile de calculer la vitesse pour le mouvement circulaire, c'est plus compliqué pour l'ellipse puisque la vitesse varie.

Une remarque : il n'y a pas que les satellites géostationnaires qui ont une orbite circulaire, c'est le cas aussi à très peu de chose près pour la station spatiale, pour bon nombre de satellites météo, pour les satellites du GPS...

A mon avis, les élèves de 1ère S peuvent comprendre la démonstration à partir des éléments que je donne. Bien sûr, je peux les aider en cas de besoin, et expliquer avec plus de détails. Comme il est d'usage sur ce forum, j'ai préféré ne pas donner la solution "clé en mains" tout de suite... mais le sujet du TPE semble très (trop ?) vaste, je ne veux pas non plus faire perdre du temps.

Donc j'attends les questions, ça me fait plaisir de me replonger dans les TPE !

A suivre...

[moogly13]

Grace à votre aide et notamment celle de Ygo j''ai enfin réussi à démontrer la formule. Je suis allé comme m'a conseillé Ygo (toujours de bons conseils on dirait ) chercher au CDI dans les livres de Physique de Terminal S et j'ia trouvé la démonstration qui se trouve à la fin de la mécanique céleste. Malgré un manque de connaissances j'ai réussi avec ma prof de Physique à la démontrer relativement simplement mais correctement.

J'aurais surement d'autres questions d'ici là sur tous ce qui touche au satellites, amateurs de la physique tenez vous prêt !

Je re posterais un nouveau post le plus rapidement possible pour mettre la solution car on m'a aidé à moi 'daider les prochains qui vont galérer comme moi ^^