Relativité Générale: changement de referentiel

[invite1e1a1a86]

Bonjour,

J'ai un problème en relativité générale et je viens solliciter votre aide.

Je cherche les mouvements d'accélérations constantes dans un espace de Minkowski à une dimension d'espace (T,X) ( )(on à posé c=1)

on a donc les deux équations sur le vecteur vitesse

(norme² de U est -1 )
(accélération constante =a et est le temps propre)

il est facile de résoudre le système (par une intégrale faisant intervenir argsh) et de trouver


seulement l'énoncé demande aussi de le résoudre en se plaçant dans les coordonnées:




je calcule donc l'intervalle (et la métrique)


ce qui me permet d'exprimer le Christoffel qui n'a que 3 termes non nuls:

(le Riemann est donc nul ce qui est cohérent puisqu'on démarre d'un espace de Minkowski)

seulement voila, le changement de variable (qui est là pour simplifier les calculs je pense...) m'amène a deux horribles équations (enfin surtout une) (je pose ' la dérivée par rapport au temps propre)
(norme² de U=-1)
(norme constante du vecteur

que je ne sais pas résoudre du tout (même si je me doute bien que je dois avoir R'=0 par rapport à la résolution dans l'espace de Minkowski)

De plus, autre question, y'a t'il une méthode plus rapide pour calculer un Riemann sans utiliser l'affreuse formule avec les Christoffel (déjà pas facile à calculer)? ( avec les indices)

Merci
-----

[invite1e1a1a86]

Personne pour m'aider?

j'aurais aussi une autre question (qui n'a rien à voir):
la théorème de Ricci nous dis que

ce qui permet à la métrique de "traverser" les dérivées


pour tous V (scalaire,vecteur, covecteur, tenseur de variance quelconque...)

mais que dire de l'expression:


est t'elle égale à:
que j'obtiens en montant à travers la dérivée les indices? (on ne se place pas dans un référentiel inertiel mais dans un référentiel quelconque)

merci

[invite8d75205f]

Bonsoir,

pour ton 1er post, que te demande exactement l'énoncé ?

Car, la 1ère résolution, celle en coord X et T, te donnes directement, si tu intègre U^T et U^X :
T = a^-1sh(a.tau) et X= ^a-1ch(a.tau), en prenant a=b=0 pour simplifier. Tu obtiens donc la forme pour X et T que tu devrais utiliser ensuite pour re-résoudre (?) les équations.

Ensuite, pourquoi calculer les christoffel ici ?

Pour ce qui est des méthodes pour le calcul de Riemann, oui, il en existe d'autres (cf par exemple "Gravitation" de MTW), plus rapides que la méthode basique.

cordialement

[invite1e1a1a86]

je suis d'accord,mais l'énoncé demande explicitement de changer de coordonnée et de résoudre dans ce nouveau système sans utiliser la solution obtenu dans les coordonnées de Minkowski...
je pense que les calculs auraient dus se simplifier et je suppose donc que je n'ai pas bien compris comment on changeait de référentiel...

pour le Christoffel, c'est pour calculer le vecteur accélération


Merci pour la méthode pour calculer le Riemann, je regarderai cela

[A voir en vidéo sur Futura]

[ordage]

Bonjour,

J'ai un problème en relativité générale et je viens solliciter votre aide.

Je cherche les mouvements d'accélérations constantes dans un espace de Minkowski à une dimension d'espace (T,X) ( )(on à posé c=1)

on a donc les deux équations sur le vecteur vitesse

(norme² de U est -1 )
(accélération constante =a et est le temps propre)

il est facile de résoudre le système (par une intégrale faisant intervenir argsh) et de trouver


seulement l'énoncé demande aussi de le résoudre en se plaçant dans les coordonnées:




je calcule donc l'intervalle (et la métrique)


ce qui me permet d'exprimer le Christoffel qui n'a que 3 termes non nuls:

(le Riemann est donc nul ce qui est cohérent puisqu'on démarre d'un espace de Minkowski)

seulement voila, le changement de variable (qui est là pour simplifier les calculs je pense...) m'amène a deux horribles équations (enfin surtout une) (je pose ' la dérivée par rapport au temps propre)
(norme² de U=-1)
(norme constante du vecteur

que je ne sais pas résoudre du tout (même si je me doute bien que je dois avoir R'=0 par rapport à la résolution dans l'espace de Minkowski)

De plus, autre question, y'a t'il une méthode plus rapide pour calculer un Riemann sans utiliser l'affreuse formule avec les Christoffel (déjà pas facile à calculer)? ( avec les indices)

Merci

Salut
L'espace temps de Minkowski à deux dimensions vu par un observateur uniformément accéléré (observateur de Rindler) conduit aux coordonnées de Rindler. Voir par exemple:

http://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates

Pour le calcul du tenseur de Riemann, le Landau Lifchitz propose le formalisme tétradique pour le calculer (cf chapitre 98 théorie des champ éd 5). Souvent c'est plus simple.
Mais pour le tenseur de Riemann en coordonnées de Rindler pas besoin de faire le calcul, il est nul.
Comme les coordonnées de Rindler sont définies sur l'espace de Minkowski (plat) donc que le tenseur de Riemann est nul dans cet espace (on peut le vérifier dans les coordonnées de Minkowski dont la métrique est fixe) il est nul dans tous les systèmes de coordonnées.
Sinon pour le tenseur de Riemann dans le cas général il existe des modules de mathématica qui le font.
Tu définis la métrique et ils te donnent plein de choses dont le tenseur de Riemann.

Cordialement

[invite1e1a1a86]

merci tout d'abord de m'avoir répondu.

cependant je savais que le Riemann était nul (je l'avais écrit) et c'était pour un autre cas.

dans votre lien wikipédia je ne vois rien qui se rapproche a mon problème (=particule d'accélération constante) si ce n'est l'éspace de de Rindler... je reste donc bloqué à la résolution de ces horribles équations... (et la question de mon second message reste sans réponse..)

merci pour votre lien dans le Landau, je le consulterai.

[invite1e1a1a86]

Personne pour m'aider?

j'aurais aussi une autre question (qui n'a rien à voir):
la théorème de Ricci nous dis que

ce qui permet à la métrique de "traverser" les dérivées


pour tous V (scalaire,vecteur, covecteur, tenseur de variance quelconque...)

mais que dire de l'expression:


est t'elle égale à:
que j'obtiens en montant à travers la dérivée les indices? (on ne se place pas dans un référentiel inertiel mais dans un référentiel quelconque)

merci

je pense avoir résolu cette question: je n'ai pas le droit de monter/baisser les indices à travers la dérivées puisque:


et donc en différentiant:


a partir de là en multipliant par la métrique on obtient:


et donc y'a un signe moins qui apparait


me reste plus qu'à comprendre comment résoudre cet horrible système...(y'aurait pas une troisième équations simples?)

Merci

[invite8915d466]

ton système horrible, tu le retrouves en partant des équations initiales qui donne l'accélération non? mais l'énoncé te suggère peut etre plutot de partir des solutions de UT, Ux que tu as trouvées, et de le transformer en UR Utheta (tu as déjà intégré une fois) ? je n'ai pas essayé c'est juste une suggestion.

[ordage]

merci tout d'abord de m'avoir répondu.

cependant je savais que le Riemann était nul (je l'avais écrit) et c'était pour un autre cas.

dans votre lien wikipédia je ne vois rien qui se rapproche a mon problème (=particule d'accélération constante) si ce n'est l'éspace de de Rindler... je reste donc bloqué à la résolution de ces horribles équations... (et la question de mon second message reste sans réponse..)

merci pour votre lien dans le Landau, je le consulterai.

Salut
Pour les coordonnées de Rindler, le lien ci dessous sera peut être plus utile.
http://www-cosmosaf.iap.fr/Coordonné...%20Rindler.pdf

C'est un extrait d'un document, mais cette partie devrait suffire.

[invite1e1a1a86]

ton système horrible, tu le retrouves en partant des équations initiales qui donne l'accélération non? mais l'énoncé te suggère peut etre plutot de partir des solutions de UT, Ux que tu as trouvées, et de le transformer en UR Utheta (tu as déjà intégré une fois) ? je n'ai pas essayé c'est juste une suggestion.

En fait, l'énoncé demande de résoudre dans les coordonnées de Rindler puis dans déduire les solutions dans les coordonnées de Minkowski, c'est pour ça que je pensais (naïvement...) que ça simplifiait les calculs.

Salut
Pour les coordonnées de Rindler, le lien ci dessous sera peut être plus utile.
http://www-cosmosaf.iap.fr/Coordonné...%20Rindler.pdf

C'est un extrait d'un document, mais cette partie devrait suffire.

Merci pour votre lien. Mais celui ci utilise les résultats en coordonnées de Minkowski (1ere ligne 1ere page) pour donner ceux en coordonnées de Rindler (1ere ligne 2nd page). Par contre, il propose de faire le changement de variable où qui permet de réecrire le système:


mais ça ne m'aide pas beaucoup plus...

[ordage]

En fait, l'énoncé demande de résoudre dans les coordonnées de Rindler puis dans déduire les solutions dans les coordonnées de Minkowski, c'est pour ça que je pensais (naïvement...) que ça simplifiait les calculs.



Merci pour votre lien. Mais celui ci utilise les résultats en coordonnées de Minkowski (1ere ligne 1ere page) pour donner ceux en coordonnées de Rindler (1ere ligne 2nd page). Par contre, il propose de faire le changement de variable où qui permet de réecrire le système:


mais ça ne m'aide pas beaucoup plus...

Salut
Je ne comprends sans doute pas bien le problème que tu te poses, mais l'équation d'un observateur subissant une accélération propre constante en coordonnées de Rindler (X, T) est tout simplement X = Constante où la constante est l'accélération précisément constant.(éventuelement à un paramétrage près?)

[invite8d75205f]

Bonsoir,

Pour ton problème à accélération constante, tu écris
ds²= R'² - R²Théta'²
Tu en déduis, que R' =0 puisque g_thetatheta = -R et que g ne dépend pas de tau (pas plus que les g du ref de départ n'en dépendaient).
Ceci étant acquis, tu en déduis très facilement (et sans calculer les christoffel), la seule composante non nulle de la 4-vitesse en fonction de tau, la seule comp non nulle de la 4-accélération (=R^-1) et le fait que le produit scalaire des 2 est nul.

cordialement

[invite1e1a1a86]

la métrique ne dépend pas de mais de R (qui lui dépend de)

par exemple en sphérique (3d espace+1d temps), la métrique dépend de r et c'est pas pour autant qu'un mouvement uniformément accéléré à r'=0... a moins que j'ai mal compris...


je ne vois pas pourquoi j'aurai le droit de dire direct R'=0 (même si j'en suis convaincu que R'=0 mais je ne trouve l'équation qui me le dis).

[invite8d75205f]

Ce sont les g qui ne dépendent pas de tau (la géométrie ne peut pas dépendre du paramétrage choisi)

[invite1e1a1a86]

certes mais dans mon cas elle ne dépend pas de tau mais de la position R. et la position d'un objet dépend lui du temps propre.
avec ton raisonnement une métrique ne peut plus dépendre de la position...

si je demande les mouvement a accélération non constante (=b x t par exemple), la métrique est toujours la même et pourtant R' est différent de 0.

je suis désolé je ne comprend pas votre raisonnement.