Limite quantique de la mécanique classique

[invite391b927d]

Bonjour,

Le problème de la limite classique/quantique ne cesse de tarauder les physiciens depuis déjà longtemps. De nos jours la perspective de construire un ordinateur quantique, ou encore celle de pouvoir miniaturiser des circuits électroniques à l'échelle moléculaire rendent ce problème d'autant plus brûlant. Les études actuelles portent le plus souvent sur les limites classiques de la mécanique quantique plutôt que l'inverse. On entre alors dans le domaine méconnu et passionnant de la décohérence des ondes de probabilité ... Vaste programme encore loin d'être achevé.

Il est rare cependant que le problème de la limite classique/quantique soit abordé du point de vue classique, et cela pour une "bonne" raison : nous avons tous lu dans nos manuels de physique que la mécanique classique était totalement incapable de modéliser les systèmes à l'échelle atomique. Partant de ce postulat peu de chercheurs estiment qu'il y aurait un intérêt à explorer la mécanique classique pour y déceler ses limites quantiques.

Comme toutes ces questions me passionnent, mais que je suis trop mauvais en mathématiques pour manipuler les opérateurs, tenseurs et autres ondes de probabilité de la mécanique quantique, je me suis fixé comme objectif d'explorer cette limite quantique du point de vue de la mécanique classique, avec des mathématiques tout à fait classiques et donc plus à ma portée.

Je m'attendais à observer la vérification du postulat dont j'ai parlé au dessus d'incompatibilité entre classique et quantique, mais ce ne fut pas réellement le cas. J'ai en effet constaté une évidence : toute trajectoire classique x=f(t) est composée d'une suite d'intervalles dans lesquels la fonction f est une bijection (à un x correspond un t et un seul, et vice versa). En général ces intervalles sont compris entre un extremum de la trajectoire et un point d'inflexion. Ceci constaté il apparait qu'à partir des propriétés d'un système dans ces seuls intervalles on doit pouvoir déduire ses propriétés sur la trajectoire complète. J'ai donc étudié de plus près la mécanique classique des trajectoires bijectives.

J'ai produit un document qui relate cette étude, je vous le mets à disposition ici : www.oceanvirtuel.com/physics/mecanique_bijective.pdf

Les résultats obtenus sont étonnants de proximité avec la mécanique quantique, ils s'accordent aussi très bien avec l'électromagnétisme, la physique statistique et la thermodynamique. Cerise sur le gâteau, il est aussi possible de décrire le mouvements coniques des astres avec les mêmes équations que celles utilisées pour modéliser l'atome.

Tout cela peut paraitre sujet à caution et c'est pourquoi j'ai bien fait attention dans le document cité ci-dessus de n'introduire aucun nouveau postulat ni hypothèse d'aucune sorte. Je suis resté strictement dans ce qui est permis en mécanique classique. Je n'ai fait que dérouler les conséquences mathématiques de l'introduction des trajectroires bijectives dans le calcul de variation aboutissant aux équations du mouvement, ou équations de Lagrange (voir Lev Landau & Evgueni Lifchitz, Mécanique, éditions Mir, moscou, 1966).

Je serais très heureux de recevoir vos remarques et critiques sur mon travail afin de l'améliorer car il est encore sous une forme très synthétique que j'aimerais aérer pour une meilleure compréhension du lecteur.

A vous lire,
Cordialement
Hervé
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[Armen92]

J'ai jeté un coup d'oeil très rapide à la pièce en référence.

Une première question vient à l'esprit : dans une description purement mécaniste, on ne peut éviter le rayonnement de l'électron accéléré, et donc l'instabilité électrodynamique foncière de tout modèle d'atome où l'électron décrit une trajectoire au sens de la mécanique classique.

Comment considérez-vous cet aspect des choses ?

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Cependant dans les intervalles bijectifs la position et le temps ne sont pas indépendants mais liés par une bijection.

Pour comprendre :

La vitesse n'est elle pas une fonction des deux degrés de liberté temps et position sans avoir à invoquer une notion d'intervalle bijectif (tu as 3 variables et une relation qui les relit) ?


Patrick

[invite391b927d]

J'ai jeté un coup d'oeil très rapide à la pièce en référence.

Une première question vient à l'esprit : dans une description purement mécaniste, on ne peut éviter le rayonnement de l'électron accéléré, et donc l'instabilité électrodynamique foncière de tout modèle d'atome où l'électron décrit une trajectoire au sens de la mécanique classique.

Comment considérez-vous cet aspect des choses ?

Dans le document je montre comment on prévoit les propriétés électromagnétiques de la matière (les équations de Maxwell) à partir de la mécanique des intervalles bijectifs. La physique de ces intervalles ne prévoit cependant pas explicitement l'existence de la charge électrique. Les particules ne sont plus des points électriquement chargés mais sont des trains d'ondes électromagnétiques très similaires à ce que décrit la mécanique quantique. Je n'ai donc pas traité le cas de charges électriques ponctuelles.

Cordialement
Hervé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite391b927d]

Pour comprendre :

La vitesse n'est elle pas une fonction des deux degrés de liberté temps et position sans avoir à invoquer une notion d'intervalle bijectif (tu as 3 variables et une relation qui les relit) ?

Patrick

La vitesse est la tangeante à la trajectoire tracée dans un repère d'abscisse t et d'ordonnée x. On pourra toujours décomposer une trajectroire classique en une succession de morceaux de trajectoires dans lesquels x est lié à t par une bijection, et par suite mathématique dans ces intervalles la vitesse et le temps sont eux aussi liés par une bijection. La figure 1 du document illustre bien ce fait.

Cordialement
Hervé

[invite6754323456711]

La vitesse est la tangente à la trajectoire tracée dans un repère d'abscisse t et d'ordonnée x. On pourra toujours décomposer une trajectroire classique en une succession de morceaux de trajectoires dans lesquels x est lié à t par une bijection, et par suite mathématique dans ces intervalles la vitesse et le temps sont eux aussi liés par une bijection. La figure 1 du document illustre bien ce fait.

Cordialement
Hervé

Ma question porte sur la compréhension de hypothèse qui est faite sur l'existence d'une bijection et sur laquelle s'appuie tout le raisonnement qui suit. Cela semble être l'hypothèse de base, si elle n'est pas valide on peut démontrer tout et son contraire non ?

Comme je ne connais pas l'équation du mouvement :

La connaissance d'une variable tel que x par exemple ne permet pas de déduire t ni la pente de la tangente qui correspond à la vitesse.

Si on connait deux variables on ne peut pas déduire la troisième.

Donc la connaissance des trois variables ne permet pas de connaitre la relation qui les lie ?

On part donc du constat de l'existence d'une bijection qui lié x et t qui est une propriété de l'équation du mouvement que l'on ne connais pas ? Cette bijection existe mais on ne sait pas la définir (quel sont les éléments mis en correspondance) puisque l'on ne connait pas l'équation du mouvement (car c'est ce que l'on cherche à caractériser) ?


Patrick

[invite391b927d]

Ma question porte sur la compréhension de hypothèse qui est faite sur l'existence d'une bijection et sur laquelle s'appuie tout le raisonnement qui suit. Cela semble être l'hypothèse de base, si elle n'est pas valide on peut démontrer tout et son contraire non ?

Absolument d'accord.

Comme je ne connais pas l'équation du mouvement :
La connaissance d'une variable tel que x par exemple ne permet pas de déduire t ni la pente de la tangente qui correspond à la vitesse.
Si on connait deux variables on ne peut pas déduire la troisième.
Donc la connaissance des trois variables ne permet pas de connaitre la relation qui les lie ?

On part donc du constat de l'existence d'une bijection qui lié x et t qui est une propriété de l'équation du mouvement que l'on ne connais pas ? Cette bijection existe mais on ne sait pas la définir (quel sont les éléments mis en correspondance) puisque l'on ne connait pas l'équation du mouvement (car c'est ce que l'on cherche à caractériser) ?
Patrick

Il faut s'entendre sur les mots et notamment ce qu'on appelle "équation du mouvement", ce n'est pas l'équation de la trajectoire, c'est à dire x=f(t). L'équation du mouvement, ou équation de Lagrange, est l'équation différentielle obtenue en fin de calcul de variation mené sur le lagrangien (voir le document). Cette équation différentielle peut parfois être résolue pour donner la forme mathématique du lagrangien (par exemple L = 1/2 m v^2 +U), et c'est à partir de cette forme qu'on pourra calculer la trajectoire, c'est à dire x=f(t), au regard notamment des valeurs respectives de L et U.

En ce qui concerne plus spécifiquement les bijections, prenons une image. Nous savons tous qu'un ordinateur traçant une courbe procède par addition de segments de droites. Vu de loin on apperçoit une courbe, vu de près on voit des segments de droites. Ces segments ont une équation de type x = at+b, c'est à dire de droite, c'est à dire une bijection entre t et x. Le cas des segments est le cas limite de la décomposition de trajectoire en une succession d'intervalles bijectifs. On peut tout aussi bien choisir de découper la trajectoire en intervalles compris entre un point d'inflexion et un extremum, il s'agira bien aussi de bijections même si leur équation est plus complexe que celle de la droite. D'ailleurs leurs équations exactes dans chaque intervalle nous est inconnue a priori, et je rejoins donc ta remarque. Certes l'équation dans chaque intervalle est a priori inconnue mais il n'en reste pas moins qu'elle doit exister, tout comme la forme mathématique du lagrangien nous est inconnue mais il n'en reste pas moins qu'elle doit exister.

En fait on pourrait aussi retourner ta question et te mettre au défi de nous montrer une trajecttoire, c'est à dire une courbe quelconque, qu'on ne pourra pas découper en une succession d'intervalles bijectifs.

Cordialement
Hervé

[invite6754323456711]

En fait on pourrait aussi retourner ta question et te mettre au défi de nous montrer une trajecttoire, c'est à dire une courbe quelconque, qu'on ne pourra pas découper en une succession d'intervalles bijectifs.

Je voyais la conclusion incluse dans l'hypothèse, mais tu m'as donné une réponse claire

Il faut s'entendre sur les mots et notamment ce qu'on appelle "équation du mouvement", ce n'est pas l'équation de la trajectoire, c'est à dire x=f(t). L'équation du mouvement, ou équation de Lagrange, est l'équation différentielle obtenue en fin de calcul de variation mené sur le lagrangien (voir le document). Cette équation différentielle peut parfois être résolue pour donner la forme mathématique du lagrangien (par exemple L = 1/2 m v^2 +U), et c'est à partir de cette forme qu'on pourra calculer la trajectoire, c'est à dire x=f(t), au regard notamment des valeurs respectives de L et U.

Merci
Patrick