Physique quantique : commutation d'opérateurs

[invite71e3cdf2]

bonjour,

j'ai dû mal à comprendre la commutation d'observable.
un exemple, on a :


on développe tout ça.
et là, la prof simplifie certains termes, par exemple :
ou encore

j'en déduis donc qu'il y a un certain ordre dans les termes à respecter, mais lequel ?

d'où ma question,
merci
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[invite7ce6aa19]

bonjour,

j'ai dû mal à comprendre la commutation d'observable.
un exemple, on a :


on développe tout ça.
et là, la prof simplifie certains termes, par exemple :
ou encore

j'en déduis donc qu'il y a un certain ordre dans les termes à respecter, mais lequel ?

d'où ma question,
merci

Bonjour,

Il faut tenir compte du caractère commutant ou non de 2 opérateurs:

Si tu as:

[A,B] = 0

alors A.B = B.A

cad tu peux changer l'ordre comme s'il s'agissait des nombres ordinaires.

Il te manque donc l'inventaire de tous les commutateurs.

Comme il y a 6 sortes d'opérateurs: x ,y , z, Px, Py ,Pz

Tu as donc 36 commutateurs à connaitre.

As toi de jouer.

[invite60be3959]

Comme il y a 6 sortes d'opérateurs: x ,y , z, Px, Py ,Pz

Tu as donc 36 commutateurs à connaitre.

Tu es allé un peu vite je pense ! Le nombre de combinaisons de 2 dans 6 est 15. (6!/(2! (6-2)!) = 15). Puisque l'on sait que les opérateurs position commutent entre eux, et de même pour les opérateurs impulsion, cela ne fait plus que 9 relations à connaître, qui peuvent être résumés dans le formule suivante :



avec i,j = 1,2,3 tels que x₁=x, x₂=y, x₃=z (même chose pour l'impulsion), et est le symbole de Kronecker qui vaut 1 si i=j et 0 sinon.

[invite71e3cdf2]

ça m'avance pas...

pourquoi elle écrit : -y.pz.x.pz = -xy.(pz)² et pas -(pz)².yx
y'a un ordre à respecter ?

de même :
[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B
est-ce égale à [B,C]A+B[A,C] ?

et enfin un petit HS :

c'est une représentation matricielle ?
comment traduire les ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite24327a4e]

Par déf, et c'est tout.
Lorsque deux opérateurs commutent, par exemples A et B, c'est à dire , alors .
D'après les relations de commutation canoniques, , donc typiquement, l'opérateur commute avec et , et ainsi de suite.

J'ai l'impression que tu ne sais pas ce qu'est un opérateur, je me trompe ?

[invite71e3cdf2]

J'ai l'impression que tu ne sais pas ce qu'est un opérateur, je me trompe ?

pour moi, c'est "quelque chose" qui transforme des vecteurs, des scalaires, des matrices, ...

tu peux également répondre à mon petit HS ? merci

[invite60be3959]

ça m'avance pas...

pourquoi elle écrit : -y.pz.x.pz = -xy.(pz)² et pas -(pz)².yx
y'a un ordre à respecter ?

oui il y a un ordre à respecter lorsque 2 opérateurs ne commutent pas. Les nombres commutent, mais pas forcément les matrices(on peut représenter des opérateurs par des matrices). Je t'ai donner les relations de commutation, il n'y a plus qu'à les utiliser, et aussi comprendre que ces x, y, pz, etc..., sont des matrices !(plus exactement, peuvent-être représenté par des matrices)

[invite24327a4e]

Pour ton HS, tu peux vérifier facilement que et sont des projecteurs si ta base est orthonormée.
Dans ton exemple, l'espace de hilbert sur lequel ton hamiltonien est défini est de dimension 2, et tu as donc simplement (somme des projecteurs).

Tu peux ainsi représenter par une matrice et l'écrire selon ses éléments de matrices. car ton hamiltonien est antidiagonale dans l'exemple que tu as donné. Tu peux ainsi interpréter comme le projecteur sur l'élément de matrice .

[invite71e3cdf2]

et autrement :

ça se développe comment ?

merci

[invite7ce6aa19]

et autrement :

ça se développe comment ?

Merci

[a+b,c] = [b,c] + [a,c]

[invite60be3959]

et autrement :

ça se développe comment ?

merci

les crochets de Lie sont bilinéaire, c'est-à-dire :



et anti-symétrique :



(ces 2 propriétés sont très facilement démontrables (c'est un bon exercice de le faire pour s'en rendre compte par soi-même))

[invite71e3cdf2]

donne bien ?

parce que dans un exo, je dois démontrer :








(le reste vaut 0)



alors qu'on doit trouver +ihpy

[invite60be3959]

donne bien ?

oui, sauf que dans ton avant dernière ligne :

alors qu'on doit trouver +i\hbar py

on a , ainsi

[invite71e3cdf2]

ok merci
j'ai enfin compris

merci à tous