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Fonction propre d'un opérateur



  1. #1
    WraxKa

    Fonction propre d'un opérateur


    ------

    Bonjour,

    Je suis sur que c'est très simple mais je bloque sur une question d'un exercice de méca quantique.
    J'ai un opérateur A sous forme matricielle et on me demande de déterminer les fonctions propres de cet opérateur. Je sais comment trouver les valeurs propres, mais je n'ai jamais vu comment trouver des fonctions propres. Y a t-il une méthode particulière ou faut il tester certaines fonctions (puisque c'est un exo de méca quantique) ?

    merci d'avance

    -----

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  3. #2
    invite34596000666

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    Ce sont les vecteurs propres, tout bêtement

  4. #3
    mariposa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    Citation Envoyé par WraxKa Voir le message
    Bonjour,

    Je suis sur que c'est très simple mais je bloque sur une question d'un exercice de méca quantique.
    J'ai un opérateur A sous forme matricielle et on me demande de déterminer les fonctions propres de cet opérateur. Je sais comment trouver les valeurs propres, mais je n'ai jamais vu comment trouver des fonctions propres. Y a t-il une méthode particulière ou faut il tester certaines fonctions (puisque c'est un exo de méca quantique) ?

    merci d'avance
    Bonjour,

    Ce n'est pas vraiment un problème de MQ mais un problème d'algébre linéaire.

    Il faut résoudre l'équation:

    A.V = m.V

    la matrice A est donné et v et m sont les éléments propres recherchés.

    qui est un système d'équations linéaires.

    pour trouver les valeurs propres on détermine les zéros du polynome formé par le déterminant:

    Det [A-I.m] = 0

    Ce que tu as du faire.

    Tu obtiens donc des valeurs m1,m2,....


    Pour calculer le vecteur propre V1 associé à la valeur m1 tu résous:

    A.V = m1.V

    Qui est un système d'équation linéaire classique ou seules les composantes de V sont à déterminer.

  5. #4
    WraxKa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    merci, c'est le terme fonction qui m'a embrouillé
    edit: je viens de voir la réponse de mariposa, oui c'est ce que j'ai fait. en fait c'est le terme fonction qui m'a embrouillé je pensais pas qu'il fallait juste trouver les vecteurs propres.

    J'ai une autre question. A t=0 le système est caractérisé par une fonction d'onde

    Et on me demande, quelle est la fonction d'onde après un temps

    L'image matricielle de l'opérateur Hamiltonien est donné dans la base {u1,u2,u3}

    Pour obtenir l'évolution de la fonction d'onde dans le temps, on utilise l'équation de schrödinger (indépendante du temps): H psi = E psi. A partir de là, je ne suis pas sur de ma réponse pour aboutir à la nouvelle fonction d'onde. Pour moi, on a donc il suffit d'appliquer H sur psi et on a notre nouvelle fonction d'onde. Je sais pas si c'est bon

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    mariposa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    Citation Envoyé par WraxKa Voir le message
    merci, c'est le terme fonction qui m'a embrouillé
    edit: je viens de voir la réponse de mariposa, oui c'est ce que j'ai fait. en fait c'est le terme fonction qui m'a embrouillé je pensais pas qu'il fallait juste trouver les vecteurs propres.

    J'ai une autre question. A t=0 le système est caractérisé par une fonction d'onde

    Et on me demande, quelle est la fonction d'onde après un temps

    L'image matricielle de l'opérateur Hamiltonien est donné dans la base {u1,u2,u3}



    Pour obtenir l'évolution de la fonction d'onde dans le temps, on utilise l'équation de schrödinger (indépendante du temps): H psi = E psi.
    Ben non, si tu veux obtenir l'évolution de quelque chose dans le temps il faut certainement utilisé un équation dépendante du temps. Non!

    En fait il s'agit de l'équation de Schrodinger native:

    i.h.d/dt psi = H.psi

    Dans ton cas H ne dépend pas du temps.

    OK?

  8. #6
    WraxKa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    Hmhm dans ce cas à quoi sert l'équation de schrödinger indépendante du temps ? Parce que justement si H ne dépend pas du temps, je suis pas plutôt supposé utiliser l'équation indépendante du temps ?
    Je suis pas sur de bien comprendre
    Dernière modification par WraxKa ; 10/12/2009 à 16h11.

  9. Publicité
  10. #7
    mariposa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    Citation Envoyé par WraxKa Voir le message
    Hmhm dans ce cas à quoi sert l'équation de schrödinger indépendante du temps ? Parce que justement si H ne dépend pas du temps, je suis pas plutôt supposé utiliser l'équation indépendante du temps ?
    Je suis pas sur de bien comprendre
    On départ tu as une équation opérationnelle:

    i.h.d/dt Fi(t) = H.Fi(t)

    H est défini et faut chercher les Fi(t) inconnues.

    On cherche les Fi(t) sous la forme d'un produit exp(i.w.t).Fi

    où Fi ne dépendant pas du temps.

    Ce qui nous ramène à un problème aux éléments propres:

    H.Fi = h.w.Fi

    Qui est l'équation de Schrodinger que tu as résolu puisque tu trouves les valeurs h.w et Fi et donc Fi(t). Les Fi(t) constituent une base de fonctions qui peut représenter toutes les solutions possibles

    Donc la solution la plus générale est

    Ai.exp(-i.h.w.t)Fi avec sommation sur les i (ici i =1,2,3)


    Maintenant il faut résoudre le système linéaire d'équations en tenant compte des conditions aux limites que l'on t'a donné

  11. #8
    WraxKa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    Ok donc en fait c'est le fait que le hamiltonien soit indépendant du temps qui implique qu'on puisse séparer la partie qui dépend du temps et l'autre partie qui dépend de l'espace. Et si j'ai bien compris ma fonction d'onde à t>0 sera sous la forme: A1.exp(-i.h.w.t)F1 + A2.exp(-i.h.w.t)F2 + A3.exp(-i.h.w.t)F3 et j'ai plus qu'à trouver les Ai pour qu'on retombe bien sur le phi(t=0) donné au départ ?

  12. #9
    mariposa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    Citation Envoyé par WraxKa Voir le message
    Ok donc en fait c'est le fait que le hamiltonien soit indépendant du temps qui implique qu'on puisse séparer la partie qui dépend du temps et l'autre partie qui dépend de l'espace. Et si j'ai bien compris ma fonction d'onde à t>0 sera sous la forme: A1.exp(-i.h.w.t)F1 + A2.exp(-i.h.w.t)F2 + A3.exp(-i.h.w.t)F3 et j'ai plus qu'à trouver les Ai pour qu'on retombe bien sur le phi(t=0) donné au départ ?

  13. #10
    WraxKa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    merci encore

  14. #11
    WraxKa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    J'ai une dernière question (promis ), j'ai un peu de mal avec la mq . Donc j'ai ma fonction d'onde après un temps t0 > 0 . On me demande de faire une mesure avec un opérateur A puis avec un opérateur B . (*)
    J'obtiens donc une fonction d'onde
    On suppose que la mesure de B (*) a donné le résultat b et on me demande de donner la fonction d'onde du système immédiatement après la mesure. J'ai donc juste besoin de mettre b en facteur et j'ai ma nouvelle fonction d'onde juste après la mesure B (en ayant supposé que le résultat a donné b) ? Ca me paraît trop simple, je sens le piège

    (*) dans la base {u1, u2, u3}

    dans la base {u1, u2, u3}

  15. #12
    mariposa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    Citation Envoyé par WraxKa Voir le message
    J'ai une dernière question (promis ), j'ai un peu de mal avec la mq . Donc j'ai ma fonction d'onde après un temps t0 > 0 .
    Non cela n'est pas juste.

    Quand tu as diagonalisé ton hamiltonien cad trouvé les fonctions propres et les valeurs propres.

    Cela veut dire que l'équation d'évolution initiale des composantes d'un vecteur étaient couplées entre-elles et par un changement de base (le calcul des vecteurs propres) tu as réduit les 3 équations couplées initiales en 3 équations indépendantes chacune décrivent l'évolution d'une composante, on a trouvé donc:

    i.hd/dt Fi(t) = Ni.Fi(t)

    avec: Fi(t) = Fi.exp(-i.Ni.t)

    au lieu du problème initial:

    i.hd/dt G(t) = H.G(t)

    Les 3 vecteur G ont au départ 3 composantes dans la base initiale et il y a 3 vecteurs différents à trouver soient 9 chiffres dans cette base.

    Apres changement de base chaque vecteur F (parmi 3) possède une seule composante Fi (les autres sont nulles) c'est pour çà que l'on recherche les vecteurs propres, cad trouver une nouvelle base qui soit alignée dans les directions propres.

    Remarque: les F et les G sont les m^mes vecteurs donc ici F et G sont les représentations matricielles en colonnes dans leur base respective.

    Donc à t=0 Fi(t) = Fi

    Donc on peut écrire:

    Fi(t) = Fi(0).exp(-i.Ni.t)

    Donc ta solution s'écrit tenu compte des conditions initiales que l'on t'a donné:

    ??????????????


    A toi de jouer.


    Nota: Tout cela n'a rien d'évident et il bon de prendre son temps.

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  17. #13
    WraxKa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    Je suis pas sur d'avoir bien compris tout votre dernier message.
    Si j'ai bien compris ma fonction psi doit prendre la forme: psi ( t ) = somme sur les A_i u_i exp ( - i Ei t / hbar)
    On trouve donc:

  18. #14
    mariposa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    Citation Envoyé par WraxKa Voir le message
    Je suis pas sur d'avoir bien compris tout votre dernier message.
    Si j'ai bien compris ma fonction psi doit prendre la forme: psi ( t ) = somme sur les A_i u_i exp ( - i Ei t / hbar)
    On trouve donc:
    Ca c'est juste.

    En fait il ne faut comprendre cet exercice comme un parmi d'autres. En fait il est vital pour comprendre la MQ. il faut donc que tu profites de cet exercice pour réfléchir à la philosophie générale de la démarche.

    Bon courage.

  19. #15
    WraxKa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    ok

    En fait c'est l'équation de schrödinger qui me perturbe, je ne la comprend pas du tout. Je n'arrive pas à comprendre ce qu'il se passe. Je vais revoir tout ça.

  20. #16
    mariposa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    Citation Envoyé par WraxKa Voir le message
    ok

    En fait c'est l'équation de schrödinger qui me perturbe, je ne la comprend pas du tout. Je n'arrive pas à comprendre ce qu'il se passe. Je vais revoir tout ça.
    L'équation de Schrodinger représente l'équation d'évolution d'un vecteur (d'un espace de Hilbert).

    Un vecteur dans une base déterminée est représentée par ses composantes. Donc en composantes l'équation de Schrodinger représente l'évolution de ses composantes et c'est on pourquoi on obtient un ensemble de N équations différentielles linéaires couplées. N est la dimension de l'espace vectoriel.

    Pour un résoudre un tel système la stratégie est d'effectuer un changement de base de sorte que le systèmes de N équations différentielles couplées deviennent un système de N équations indépendantes. C'est la raison de la recherche des directions propres et des valeurs propres qui engendrent le système découplé.

    Est-ce que cela t'éclaircit les idées?


    En fait tout ceci n'a rien à voir avec la MQ, c'est de l'algébre linéaire..

  21. #17
    WraxKa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    ah yes, merci c'est beaucoup plus clair ! je comprend maintenant l'interêt de la séparation de la partie temps et espace.
    Une dernière question, comment je trouve des valeurs propre d'un opérateur quand il est pas sous forme matricielle ? par exemple pour l'opérateur -i hbar d/dx je vois pas trop comment faire. Je dirai qu'il faut utiliser la base canonique {1,x,x², ..., x^n} pour le mettre sous forme matricielle et trouver les valeurs propre mais je ne suis pas sur.

  22. #18
    mariposa

    Re : Fonction propre d'un opérateur

    Citation Envoyé par WraxKa Voir le message
    ah yes, merci c'est beaucoup plus clair ! je comprend maintenant l'interêt de la séparation de la partie temps et espace.
    Une dernière question, comment je trouve des valeurs propre d'un opérateur quand il est pas sous forme matricielle ? par exemple pour l'opérateur -i hbar d/dx je vois pas trop comment faire. Je dirai qu'il faut utiliser la base canonique {1,x,x², ..., x^n} pour le mettre sous forme matricielle et trouver les valeurs propre mais je ne suis pas sur.
    La réponse est connue:

    i.h.d/dx [exp(-i.k.x] = h.k [exp(-i.k.x]

    [exp(-i.k.x] est fonction propre pour la valeur propre h.k

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