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La conjuguée d'une fonction propre aussi fonction propre ?



  1. #1
    kjux

    La conjuguée d'une fonction propre aussi fonction propre ?


    ------

    Bonjour,

    Si on considère (f,E) couple fonction propre, valeur propre d'un hamiltonien H,
    1°) Peut-on dire que la fonction conjuguée f* est aussi fonction propre de H avec la même valeur propre ?
    H |f>=E|f> par conjugaison hermitique, j'obtiens
    <f| H[+] = <f| E[*]
    Ce qui revient à écrire H f*=E f*.
    Qu'en pensez-vous ?

    2) f et f* désignent-elles le même état physique ?
    Je dirai oui, car les modules au carré sont identiques, bien que les 2 états ne diffèrent pas seulement d'un facteur de phase.
    Vos avis sur la proposition ?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    invite54165721

    Re : La conjuguée d'une fonction propre aussi fonction propre ?

    contre exemple avec l'onde plane exp(ikx) de valeur propre k
    exp(-ikx) a pour valeur propre -k
    l'opérateur H n'est pas invariant par conjugaison.

  4. #3
    Thwarn

    Re : La conjuguée d'une fonction propre aussi fonction propre ?

    Citation Envoyé par alovesupreme Voir le message
    contre exemple avec l'onde plane exp(ikx) de valeur propre k
    exp(-ikx) a pour valeur propre -k
    l'opérateur H n'est pas invariant par conjugaison.
    Attention, exp(-ikx) a une impulsion -k mais à bien la meme energie que exp(ikx).
    Bien entendu l'hamiltonien est hermitique!
    Pour l'impulsion, il faut faire attention à la conjugaison, car meme si un i intervient dedans, il est aussi hermitique.
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  5. #4
    mariposa

    Re : La conjuguée d'une fonction propre aussi fonction propre ?

    Citation Envoyé par kjux Voir le message
    Bonjour,

    Si on considère (f,E) couple fonction propre, valeur propre d'un hamiltonien H,
    1°) Peut-on dire que la fonction conjuguée f* est aussi fonction propre de H avec la même valeur propre ?
    H |f>=E|f> par conjugaison hermitique, j'obtiens
    <f| H[+] = <f| E[*]
    Ce qui revient à écrire H f*=E f*.
    Qu'en pensez-vous ?

    2) f et f* désignent-elles le même état physique ?
    Je dirai oui, car les modules au carré sont identiques, bien que les 2 états ne diffèrent pas seulement d'un facteur de phase.
    Vos avis sur la proposition ?
    Bonjour,

    Si |f> est fonction propre de H avec la valeur propre E dans l'espace de Hilbert Hb.

    <f| est fonction propre de H avec la valeur propre E dans l'espace de Hilbert dual Hb*.

    En bref |f> et <f| n'appartiennent pas au même espace et donc ne peuvent être conjointement vecteurs propres de H.

  6. #5
    kjux

    Re : La conjuguée d'une fonction propre aussi fonction propre ?

    Pourtant

    peut s'écrire
    donc
    avec H hermitique et E réel amène à

    Soit donc
    Par conjugaison hermitique, on obtient

    Donc

    et ma conclusion que la fonction conjuguée f* est aussi fonction propre de H avec la même valeur propre.
    Qu'est-ce qui est incorrect dans ce qui précède ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mariposa

    Re : La conjuguée d'une fonction propre aussi fonction propre ?

    Citation Envoyé par kjux Voir le message

    peut s'écrire

    Qu'est-ce qui est incorrect dans ce qui précède ?
    Le H de ta première ligne ne peut pas être le même H que ta deuxième ligne.

  9. Publicité
  10. #7
    kjux

    Re : La conjuguée d'une fonction propre aussi fonction propre ?

    Le H de la seconde ligne n'est-il pas seulement H en représentation x ? Il me semble voir cela dans des livres pour passer de la relation H |f> à une relation s'appliquant à des fonctions ?

  11. #8
    mariposa

    Re : La conjuguée d'une fonction propre aussi fonction propre ?

    Citation Envoyé par kjux Voir le message
    Le H de la seconde ligne n'est-il pas seulement H en représentation x ? Il me semble voir cela dans des livres pour passer de la relation H |f> à une relation s'appliquant à des fonctions ?
    Effectivement. Il ne faut donc pas confondre un opérateur et une representation de celui-ci dans une base déterminée (ici la representation [r}. Donc il faut que tu écrives correctement la deuxième ligne à partir de la première ligne.

  12. #9
    kjux

    Re : La conjuguée d'une fonction propre aussi fonction propre ?

    Pour écrire la relation en représentation ,
    Si n'est pas correct, quelle est l'écriture correcte ?

  13. #10
    mariposa

    Re : La conjuguée d'une fonction propre aussi fonction propre ?

    Citation Envoyé par kjux Voir le message
    Pour écrire la relation en représentation ,
    Si n'est pas correct, quelle est l'écriture correcte ?
    l'écriture est presque correcte, ce qui ne va pas est que tu ne peux pas utiliser le même symbole pour l'opérateur H et sa representation dans une base. Pour passer de la deuxième ligne à la première il faut introduire la relation de fermeture (l'opérateur identité).

  14. #11
    Thwarn

    Re : La conjuguée d'une fonction propre aussi fonction propre ?

    Pour completer ce que dit mariposa, dans le cas general, tu ne peux pas dire que <x|H=H<x| (ou H(x)<x|) car des qu'il y a P dans H (ce qui arrive souvent ), H n'est pas diagonal dans la base |x> du fait de la derivé.
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

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