Stabilité des approximations rationnelles d'un retard pur

[stefjm]

Amis du traitement du signal et de la commande de procédé : Bonsoir!
Mes excuses pour le dérangement pour les autres et un petit coucou quand même...

Une question récente (http://forums.futura-sciences.com/ph...re-causal.html) m'a conduit à la réflexion suivante.

Je considère un système retard pur T de fonction de transfert en transformée de Laplace .
C'est un système stable de toute évidence. (un dirac en entrée, la sortie revient à 0)

Je considère les approximations rationnelles de la fonction de transfert de ce retard.

A l'odre 1

Pôle en -1/T : Système stable.

Je normalise T=1 pour les calculs numériques.

A l'ordre 2

pôles en -1+-i donc à partie réelle négative, donc stable.

A l'ordre 3

pôles en - 0.701+-i.1.807 et -1.59 stable.

A l'ordre 4
-0.27055576893229454343+2.50477 59043624344897.i -1.7294442310677054566+0.888974 37612186582717.i
-0.27055576893229454343-2.5047759043624344897.i
-1.7294442310677054566-0.88897437612186582717.i
Stable

A l'ordre 5
-1.6495028317358450823+1.693933 4043494134323.i
-2.1806071240351259045
-1.6495028317358450823-1.6939334043494134323.i
0.23980639375340803453+3.12833 50259707102429.i
0.23980639375340803453-3.1283350259707102429.i

Trois pôles stables et deux pôles INSTABLES!

Aux ordres suivants, il y a toujours au moins deux pôles instables. (pour ce que j'ai vérifié numériquement)

J'ai bien du mal à m'expliquer pourquoi une meilleures approximation peut être plus instable qu'une approx plus médiocre...

Si vous avez des idées sur ce sujet, d'avance merci.

Cordialement.
-----

[stefjm]

En relisant, je vois que j'ai merdouillé l'écriture des développements:



Cordialement.

[stefjm]

Bonsoir,
Je vois que ma question ne remue pas les foules!

A-t-elle si peu d'intérêt?
Est-ce que je me pose un faux problème?

La version équation diff de ce que j'expose est :

Approximation d'un retard pur : s(t)=e(t-T)

Au premier ordre :
T.ds/dt+s=e, stable si T est positif. (retard)

Au second ordre:
T=1 normalisé
1/2 d2s/dt2+ds/dt+1=e, stable

etc...

Cordialement.

[stefjm]

Bonjour,
Je risque une hypothèse histoire de réveiller un peu l'intérêt de ce fil.

Si on impose à une modélisation physique d'être à la fois
- linéaire.
- causale
- d'utiliser des grandeurs régulière (continuité C0, C1, C2, etc...) jusqu'à un certain ordre

on obtient pour la modélisation d'un retard pur les équations ci-dessus.

Les forcenés de la continuité à tout craint n'hésitent pas à utiliser des fonctions Cinfini, que l'on ne retrouve guère en physique.
J'avais d'ailleurs déjà noté que les systèmes physiques sont en général d'ordre 2 maxi. (mécanique, électromagnétisme, equation de la chaleur, etc...)

Or, il semble que si on utilise un système d'ordre supérieur à 4, l'approximation linéaire continue du retard pur n'est plus stable.

La nature aimant bien la stabilité, je me dis naïvement qu'elle se contente de l'ordre 4.

J'ai regardé pour l'ordre 1
Il me semble que cela revient à ne considérer qu'un type d'énergie, ie potentielle ou cinétique, pour la propagation. (RL, RC ou équivalent mécanique)
On obtient pour ce système un pôle en -1/T, constante de temps T.

J'ai regardé plus en détail pour l'ordre 2, les deux pôles obtenus :
et
Ils sont à partie imaginaire égales à la partie réelle, ce qui constitue une réponse idéale en terme de temps de réponse. (temps de réponse minimum)
Cela correspond à un coefficient d'amortissement de .
La réponse est en produit d'exponentielle et de sinus, avec un dépassement de 5%.

Pour les ordres suivants, il faut que je regarde ce que cela donne.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Bonjour,
Petit changement de titre pour adapter au terrain physique...

Cordialement.

Edit :
Caramba, c'est raté, cela ne change pas le titre de la discussion...

[stefjm]

Bonjour,
Je risque une hypothèse histoire de réveiller un peu l'intérêt de ce fil.
Si on impose à une modélisation physique d'être à la fois
- linéaire.
- causale
- d'utiliser des grandeurs régulière (continuité C0, C1, C2, etc...) jusqu'à un certain ordre
on obtient pour la modélisation d'un retard pur les équations ci-dessus.
Les forcenés de la continuité à tout craint n'hésitent pas à utiliser des fonctions Cinfini, que l'on ne retrouve guère en physique.
J'avais d'ailleurs déjà noté que les systèmes physiques sont en général d'ordre 2 maxi. (mécanique, électromagnétisme, equation de la chaleur, etc...)
Or, il semble que si on utilise un système d'ordre supérieur à 4, l'approximation linéaire continue du retard pur n'est plus stable.
La nature aimant bien la stabilité, je me dis naïvement qu'elle se contente de l'ordre 4.

Bonjour,
Je continue mon monologue, puisqu'ici comme partout ailleurs, seul les trolls obtiennent des réponses à leurs affirmations.

Je remplace donc le terme «hypothèse» de mon sujet initial par les termes «J'affirme haut et fort», histoire d'ouvrir un dialogue.

Ce sera toujours mieux que le silence de mort qui règne sur ce fil...

Trollesquement vôtre.

[stefjm]

Ben mince alors! Je suis toujours tout seul!

Je la refais quand même.

Comment se fait-il que la meilleure approximation d'un retard pur par équation différentielles linéaires à coefficients constants ne soit pas stable à partir de l'ordre 5? (alors que l'opérateur retard pur est stable)

Cordialement.

[obi76]

Salut !

et un ordre dessus ça redevient stable non ?
Si c'est ce que je pense, la parité de l'ordre de ton développement intervient là dedans, me trompé-je ?

[Ludwig]

Bonsoir,
Je vois que ma question ne remue pas les foules!

A-t-elle si peu d'intérêt?
Est-ce que je me pose un faux problème?

La version équation diff de ce que j'expose est :

Approximation d'un retard pur : s(t)=e(t-T)

Au premier ordre :
T.ds/dt+s=e, stable si T est positif. (retard)

Au second ordre:
T=1 normalisé
1/2 d2s/dt2+ds/dt+1=e, stable

etc...

Cordialement.

Salut,

J'ai rapidement jeté un coup d'oeil à ton affaire, j'ai pas trop le temps de te répondre tout de suite. En attendant regarde dèja du coté de l'aproximation de Padé. Sache que le monde de la physique utilise peu ou pas la transformation de Laplace (en particulier en France) ailleurs on commence tout juste par découvrir que Ervin Schrödinger s'en servait à tour de bras pour trouver les solutions de ses équations. D'ici samedi, je te répondrais plus en détail sur l'histoire du retard pur, désolé de ne pas pouvoir aller plus vite.


Cordialement

Ludwig

[stefjm]

et un ordre dessus ça redevient stable non ?
Si c'est ce que je pense, la parité de l'ordre de ton développement intervient là dedans, me trompé-je ?

Non et oui!
Au delà de l'ordre 4, l'approximation est instable. (j'ai regardé numériquement jusqu'à l'ordre 10.) Analytiquement, j'imagine qu'on peut peut-être prouver des choses en utilisant le critère de Routh?

J'ai rapidement jeté un coup d'oeil à ton affaire, j'ai pas trop le temps de te répondre tout de suite. En attendant regarde déjà du coté de l'approximation de Padé. Sache que le monde de la physique utilise peu ou pas la transformation de Laplace (en particulier en France) ailleurs on commence tout juste par découvrir que Ervin Schrödinger s'en servait à tour de bras pour trouver les solutions de ses équations. D'ici samedi, je te répondrais plus en détail sur l'histoire du retard pur, désolé de ne pas pouvoir aller plus vite.

Oh, j'ai tout mon temps.
J'ai remarqué qu'effectivement, la transformée de Laplace est assez inconnue et des physiciens et des mathématiciens. Ils connaissent Fourier, mais pas trop Laplace!

En cherchant, je suis tombé sur ton post très intéressant (et sur quelques autres sur la MQ...) :
http://forums.futura-sciences.com/te...etard-pur.html

J'avais interrogé les mathématiciens sans grand succès :
http://forums.futura-sciences.com/ma...nentielle.html

Je vais regarder ce que donne l'approx de Padé :
http://www-hadoc.lag.ensieg.inpg.fr/...n14/r14-01.htm

Je vous tiens au courant.
@+

[stefjm]

Rebonsoir à tous,
Encore merci à Ludwig pour la référence à Padé.



Résultat des courses :

Pour les ordres de 1 à 4 : Stabilité des pôles et zéros "instables".

Au delà de l'ordre 5 inclus, il y a toujours au moins un pôle instable!

J'ai vérifié numériquement jusqu'à l'ordre 10.

Décidément, la curiosité semble se confirmer...

Qu'en pense les spécialistes de ce forums?

Cordialement.

[Ludwig]

Non et oui!
J'ai remarqué qu'effectivement, la transformée de Laplace est assez inconnue et des physiciens et des mathématiciens. Ils connaissent Fourier, mais pas trop Laplace!


J'avais interrogé les mathématiciens sans grand succès :

Salut,

Si tu cherches du solide sur Laplace je te conseille Deutch, c'est la bible, 3 tomes malheureusement en allemand, je ne sais pas s'il y a des traductions. C'est ce que j'ai trouvé de mieux sur le sujet, c'est débarrassé de toutes les considérations sur la vitesse du vent et ça traite le sujet à fond.

Les mathématiciens en général, les Français en particulier n'aiment pas du tout Laplace, d'ailleurs je ne sais pas pour quelle raison. Ils devraient pourtant, car la TL apporte une simplification considérable, les équations compliquées (ED) fonctions du temps deviement de simples équations algébriques.

J'avais complètement oublié mon post sur le sujet, ( Retard Pur) censuré pour une question de forme.


Par ailleurs, on peut tout à fait appliquer la notion du retard pur aux propagateurs de Green. Voila la balle est jouée.


Autrement, si tu cherches à modéliser le vide pour des questions de progation, tu peux passer par le retard pur c'est pas forcément à coté de la plaque.

Il existe d'autres approximations du retard pur que celle de Padé, comme dit dès que j'ai quelques instant je répondrais.

Cordialement


Ludwig

[Ludwig]

Rebonsoir à tous,
Encore merci à Ludwig pour la référence à Padé.



Résultat des courses :

Pour les ordres de 1 à 4 : Stabilité des pôles et zéros "instables".

Au delà de l'ordre 5 inclus, il y a toujours au moins un pôle instable!

J'ai vérifié numériquement jusqu'à l'ordre 10.

Décidément, la curiosité semble se confirmer...

Qu'en pense les spécialistes de ce forums?

Cordialement.

Bonjour,

Juste rapidement,

J'ai pas vérifié, mais je crois que les pôles sont tous stables. Par ailleurs si tu veux étudier la stabilité tu dois étudier 1+GH(s) = EC(s) = 0 et EC (s)= équation caractéristique du système. Dans ton cas

Dénominateur + Numérateur = 0 = polynôme en s.

Pour étudier la stabilité d'un polynôme regarde les travaux de Routh.

Cordialement

Ludwig

[Ludwig]

Non et oui!
Au delà de l'ordre 4, l'approximation est instable. (j'ai regardé numériquement jusqu'à l'ordre 10.) Analytiquement, j'imagine qu'on peut peut-être prouver des choses en utilisant le critère de Routh?

Oh, j'ai tout mon temps.
J'ai remarqué qu'effectivement, la transformée de Laplace est assez inconnue et des physiciens et des mathématiciens. Ils connaissent Fourier, mais pas trop Laplace!

En cherchant, je suis tombé sur ton post très intéressant (et sur quelques autres sur la MQ...) :
http://forums.futura-sciences.com/te...etard-pur.html

J'avais interrogé les mathématiciens sans grand succès :
http://forums.futura-sciences.com/ma...nentielle.html

Je vais regarder ce que donne l'approx de Padé :
http://www-hadoc.lag.ensieg.inpg.fr/...n14/r14-01.htm

Je vous tiens au courant.
@+

Bonjour,

J'éspère te rendre service et ne pas subir les foudres de la censure



Approximation du retard pur

De façon générale, quand une grandeur circule d'un point A vers un point B distant de A d'une longueur l, connaissant la distance l ainsi que la vitesse il est trivial de définir le temps de parcours. Ce temps de parcours est dans certaines disciplines scientifiques considère comme un retard pur. Evidement il faut dans les équations d’écrivant la dynamique des systèmes, tenir compte de ce retard pur. La ``~modélisation optimale du retard pur~'' est un exercice extrêmement difficile. Les théoriciens du CNRS s'en préoccupent.
Voir ci-dessous.

``~VILBE, S. AZOU, P. BREHONNET, N. TANGUY, R. MORVAN, L.C. CALVEZ, \newline
" Retour sur la modélisation -optimale du retard pur ", Réunion des
Théoriciens des Circuits de Langue Française (RTCLF), Brest, Octobre
1998.''

On trouve sur le net énormément de littérature sur le sujet. Je cite ci-dessous une thèse (Beau travail) ou l'on trouvera une modélisation du retard pur (haut de la page 41)

http://www.univ-savoie.fr/Portail/Gr...hesemehmel.pdf

On pourra constater que le sujet traité dans le paragraphe cité est bien la modélisation du retard pur. Il y est même fait référence à une autre thèse [Morari89], qui elle montre que le retard pur correspond à un système de dimension infinie. Il s'agit donc bien de systèmes et non de signaux. Nous allons d'ailleurs montrer qu'il est impossible de faire le distinguo entre un système physique du premier ordre et un retard pur également approximé au premier ordre.

Pour ce faire le sujet du concours externe 2004 pour l'agrégation tombe à point nommé. Voici le lien internet.

http://www.iufmrese.cict.fr/concours...et_Doc_Rep.pdf


On se reportera à la page 8/52 et 9/52. (Comme on peut le remarquer, l'Agreg. n'est pas distribuée dans les pochettes surprises) Quelques questions et par la même occasion quelques réponses.

1-4: Approximations d'un retard pur.

Question 1.41

Fonction de transfert d'un retard pur notée R(p), je noterai R(s) par habitude. La réponse à cette question n'est évidement rien d'autre que le début de mon exposé dans le fil (Ether et Relativité Générale), que je cite à nouveau:

``~Le photon étudié dans notre expérience, étant transféré (propagé) de A vers B dans le vide poussé, nous pouvons~ :

Etablir la transformée de Laplace du signal en entrée, c.a.d. une impulsion de largeur epsilon :
(1)

Etablir la transformée de Laplace du signal en sortie, c.a.d. l'impulsion retardée:

(2)

La fonction de transfert est obtenue par la division de (2) par (1) ce qui donne sauf erreur:

Réponse 1.41

Question 1.42
Module et Argument de la FT.

Dans cette question on incite le candidat à faire un développement limité sur R(s), alors faisons cela:

On obtient :
(3)

Choisissant n pair, (3) sauf erreur, peut encore approximativement s'écrire comme suit:



Choisissant n impair, (3) peut encore s'écrire comme suit:

(5)

En toute rigueur il faudrait également tenir compte du reste Epsilon.

Pour répondre partiellement à la question 1.42, il y a lieu de calculer :



Pour le module, et pour l'argument on fait :


Toujours sous 1.42 on trouve:
Approximation du premier ordre:

On voit tout de suite que .

Sous 1.45 on voit une nouvelle approximation dite de Padé:

De Façon générale, l'approximation de Padé est un rapport de deux polynômes, P(s)/Q(s) par exemple. On peut faire cela à l'ordre 2, 3, etc.… selon les besoins de la cause.

Au vu de ceci, il devient évident que les théoriciens du CNRS se mettent à plancher sur le sujet car pas simple du tout.

Le modèle rigoureux du retard pur nous est donné par (3), mais malheureusement il est de dimension infini pour n qui tend vers l'infini et de ce fait inutilisable dans la pratique sous cette forme.


Nous allons maintenant montrer qu’il est impossible de faire la différence entre un système physique du premier ordre et une approximation du retard pur également du premier ordre.

En effet:

Approximation du premier ordre d’un retard pur:

avec .


Prenons la fonction de transfert triviale, d’un réseau intégrateur de type RC (résistance condensateur) :

avec .

Nous voyons bien que dès lors que nous remplaçons les caractéristiques intrinsèques par les équivalents temps propres ou pulsations propres, nous perdons toute trace de l’origine physique du système étudié. Ceci n’est en fait pas un vrai problème, pour la bonne et simple raison qu’appliquant ce modèle à une discipline particulière, (électricité, mécanique, chimie etc.…) nous savons, dans bien des cas de quoi sont faites les caractéristiques intrinsèques.
En mécanique quantique par exemple, le terme

,

prend la dimension d’une pulsation au même titre que le terme




Il existe encore d'autres approches pour la modélisation du retard pur, mais je crois que l'essentiel vient d'être dit.

Il à été montré ici comment les automaticiens traitent le problème du retard pur. Les physiciens pourront toujours contester. Mais en attendant nous les automaticiens continuerons de procéder de la sorte, même s’il s’agit de construire les instruments des physiciens (Interféromètre pour détecter des ondes gravitationnelles par exemple).

Citation selon A.Einstein

Conférence sur L’éther et la théorie de la relativité Université de Leyde le 5 mai 1920

En résumant, nous pouvons dire : d'après la théorie de la relativité générale, l'espace est doué de propriétés physiques ; dans ce sens, par conséquent un éther existe. Selon la théorie de la relativité générale, un espace sans éther est inconcevable, car non seulement la propagation de la lumière y serait impossible, mais il n'y aurait même aucune possibilité d'existence pour les règles et les horloges et par conséquent aussi pour les distances spatio-temporelles dans le sens de la physique. Cet éther ne doit cependant pas être conçu comme étant doué de la propriété qui caractérise les milieux pondérables, c'est à dire comme constitué de parties pouvant être suivies dans le temps : la notion de mouvement ne doit pas lui être appliquée."

Il est bien dit ici que l’espace est doué de propriétés physiques. En conséquence de quoi, ces propriétés doivent donner naissances à des caractéristiques intrinsèques que nous ignorons certes mais qui selon A. Einstein existent puisque nécessaires à la propagation de la lumière. L’expérience montre que ce sont les caractéristiques intrinsèques qui définissent les temps propres ainsi que les pulsations propres du système étudié. Si en appliquant une méthode d’identification afin d’établir la fonction de transfert de la propagation de la lumière, nous aboutissons invariablement sur le retard pur.
Il est de notoriété publique que l’approximation exacte du retard pur est donné par la relation :



Déjà citée et qui peut se mettre sous la forme suivante :



Par ailleurs, on rappelle que

On peut toujours émettre des réserves sur ce qui vient d'être montré, mais si c’est possible avec des équations, merci.


Cordialement

Ludwig

[Ludwig]

Bonjour

voici le rafraîchissement du lien :
http://www.polytech.univ-savoie.fr/f...hesemehmel.pdf

Merci à stefjm


Cordialement

Ludwig

[stefjm]

Salut,
Si tu cherches du solide sur Laplace je te conseille Deutch, c'est la bible, 3 tomes malheureusement en allemand, je ne sais pas s'il y a des traductions. C'est ce que j'ai trouvé de mieux sur le sujet, c'est débarrassé de toutes les considérations sur la vitesse du vent et ça traite le sujet à fond.

Je ne connais pas et je suis malheureusement incapable de lire l'allemand.

Les mathématiciens en général, les Français en particulier n'aiment pas du tout Laplace, d'ailleurs je ne sais pas pour quelle raison. Ils devraient pourtant, car la TL apporte une simplification considérable, les équations compliquées (ED) fonctions du temps deviement de simples équations algébriques.

Je crois que je sais pourquoi : Il y a des tas de choses qui ne sont pas encore démontrées proprement en Laplace, contrairement à Fourier. Une autre raison est que la transformée de Laplace n'est pas au programme de l'agrégation de Math, contrairement à Fourier.
En France et à ma connaissance, seuls les automaticiens utilisent cette transformée.

J'avais complètement oublié mon post sur le sujet, ( Retard Pur) censuré pour une question de forme.

En fait, il n'a pas été fermé à l'époque où tu l'as posté, mais il est passé completement inapperçu!
Je l'ai fais remonter pour rectifier le lien cassé et Papykiwi l'a fermé pour cause de déterrage.

Par ailleurs, on peut tout à fait appliquer la notion du retard pur aux propagateurs de Green. Voila la balle est jouée.

J'avais noté cela aussi, mais pas eu le temps de creuser un peu.

Autrement, si tu cherches à modéliser le vide pour des questions de progation, tu peux passer par le retard pur c'est pas forcément à coté de la plaque.

Retard + contre réaction donne oscillateur .

J'ai pas vérifié, mais je crois que les pôles sont tous stables.

Non. J'ai regardé.
Tous les pôles sont stables si on approxime inférieur ou égal à l'ordre 4.
Au delà, certains pôles sont instables.

Par ailleurs si tu veux étudier la stabilité tu dois étudier 1+GH(s) = EC(s) = 0 et EC (s)= équation caractéristique du système. Dans ton cas Dénominateur + Numérateur = 0 = polynôme en s.

Non. C'est pour une boucle fermée, évidement instable dans le cas du retard.
Je regardais la stabilité de la boucle ouverte.

Pour étudier la stabilité d'un polynôme regarde les travaux de Routh.

Je connais.

Merci à toi.

Cordialement.

[Ludwig]

Bonjour,

Je ne connais pas et je suis malheureusement incapable de lire l'allemand.

Je crois que je sais pourquoi : Il y a des tas de choses qui ne sont pas encore démontrées proprement en Laplace, contrairement à Fourier. Une autre raison est que la transformée de Laplace n'est pas au programme de l'agrégation de Math, contrairement à Fourier.
En France et à ma connaissance, seuls les automaticiens utilisent cette transformée.

.

En fait, Deutch donne les démonstrations qu'on ne trouve pas ailleurs. Il traite vraiment l'affaire dans sa totatlité. Souvent je me suis posé la question si je ne voulais pas faire une traduction en français.

En outre, Laplace n'est rien d'autre qu'une généralisation sur Fourier. D'ailleurs il est conseillé avant d'étudier Laplace de comencer par Fourier.

Non. J'ai regardé.
Tous les pôles sont stables si on approxime inférieur ou égal à l'ordre 4.
Au delà, certains pôles sont instables.

Je part de l'hypothèse que dans un premier temps tu as calculé les pôles du système suivant?






A priori, j'aurai dit que ce systène ne comporte pas de pôles à partie réelle positive, évidement je n'ai pas vérifié mais des que j'aurai un peu de temps je vais le faire.

Non. C'est pour une boucle fermée, évidement instable dans le cas du retard.
Je regardais la stabilité de la boucle ouverte.

Pour ce qui est de la boucle fermée, on peut tout à fait appliquer le critère de Routh. Si je met le système ci-dessus en boucle je dois sauf erreur obtenir la FTBF ci-dessous, à l'ordre n et en omettant de tenir compte du reste.




On trouve ceci pour le retard pur bouclé sur lui-même. En fait le vrai problème monte à la surface quand on ajoute la fonction de transfert d'un système suplémentaire comportant un gain, alors en général ça se gâte trés vite.

Si tu souhaite étudier la stabilité, il me semble dans un premier temps que le critère de Routh donne de bon résultats.





Cordialement


Ludwig


PS: Le problème du retard pur se simplifie considérablement dés que tu passes aux systèmes numériques.

[stefjm]

Bonjour,

En fait, Deutch donne les démonstrations qu'on ne trouve pas ailleurs. Il traite vraiment l'affaire dans sa totatlité. Souvent je me suis posé la question si je ne voulais pas faire une traduction en français.
En outre, Laplace n'est rien d'autre qu'une généralisation sur Fourier. D'ailleurs il est conseillé avant d'étudier Laplace de comencer par Fourier.

Je crois que tu es très bien placé pour faire cette traduction. Vois avec l'auteur et l'éditeur.

Pour Fourier, c'est plus simple car on passe d'un temps réel à une fréquence imaginaire pure, qu'on peut facilement considérée comme réelle.

Pour Laplace, on part d'un temps réel et on se retrouve vraiment dans l'espace complexe pour la fréquence généralisée.

Je part de l'hypothèse que dans un premier temps tu as calculé les pôles du système suivant?



A priori, j'aurai dit que ce systène ne comporte pas de pôles à partie réelle positive, évidement je n'ai pas vérifié mais des que j'aurai un peu de temps je vais le faire.

J'ai étudié les pôles pour la fonction de transfert que tu donnes. (en normalisant le retard à 1 pour les calculs numériques)

J'ai négligé le pour le calcul de ces pôles.

Ce n'est stable (pôles à partie réelle négative) que pour les ordres 1 à 4 inclus. Au dela, c'est probablement instable, mais je ne sais pas le démontrer. (j'ai vérifié numériquement jusqu'à l'ordre 10)

Pour ce qui est de la boucle fermée, on peut tout à fait appliquer le critère de Routh. Si je met le système ci-dessus en boucle je dois sauf erreur obtenir la FTBF ci-dessous, à l'ordre n et en omettant de tenir compte du reste.

Je ne comprends pas comment tu trouves la FTBF.
En calculant FTBF=R/(1+R), je n'obtients pas ce que tu donnes ci-dessus.
J'aurais plutôt :



Non?

On trouve ceci pour le retard pur bouclé sur lui-même. En fait le vrai problème monte à la surface quand on ajoute la fonction de transfert d'un système suplémentaire comportant un gain, alors en général ça se gâte trés vite.

Oui, il faudrait regarder ce que cela donne en fonction du gain.
Je n'ai pas le courage pour l'instant. (ni le temps...)

Si tu souhaite étudier la stabilité, il me semble dans un premier temps que le critère de Routh donne de bon résultats.

Je vais aussi relancer le forum de maths pour avoir d'autres pistes et ne pas chercher au hasard.

PS: Le problème du retard pur se simplifie considérablement dés que tu passes aux systèmes numériques.

Oui. Transformée en z.
Ce qui m'intéresse, c'est le lien avec le continu et les équations différentielles.

Vu le nombre de réponse sur ce sujet, il semble que nous soyons les spécialistes de ce forum?
J'aimerais assez être détrompé et avoir d'autres pistes...

Cordialement.

[stefjm]

Bonjour,
Lien vers la discussion en maths :
http://forums.futura-sciences.com/ma...nentielle.html

Cordialement.

[Ludwig]

Bonjour,


J'ai un peu rapidement fait le post précédent, c'est exact qu'il y a une erreur, et comme toujours sauf erreur de ma part, le système bouclé serai comme suit:



Système bouclé,






En général, on s'arrange pour que le coéff de la puissance la plus élevée de S opérateur de Laplace soit égal à 1. Donc si j'ai pas d'erreur de calcul, ça devrait donner ce qui précède.



Cordialement


Ludwig

[stefjm]

Bonsoir,
Je suis d'accord avec ton calcul.
Pourquoi t'intéresses-tu à la BF d'un retard pur?
C'est sûr que c'est instable puisque cela produit un oscillateur tout ou rien.
Pour les approximations rationnelles, je ne sais pas. Je n'ai pas regardé.

@+

[Ludwig]

Bonsoir,


Pourquoi t'intéresses-tu à la BF d'un retard pur?

@+

Bonjour,

En fait c'est pas un intérêt particulier, simplement si tu veux étudier la stabilité d'un système, il y a lieu de construire sont équation caractéristique. Elle est obtenue à partir du dénominateur de la FTBF (Fonction de transfert en boucle fermée). Ce qui dans notre cas et sauf erreur, nous donne:






A vrai dire je n'ai jamais vérifier avec le critère de Routh si ce truc était stable ou pas. Je dois juste dire que si ce n'était pas toujours stable je crois que ça arrangerai bien mes affaires. Mais à priori j'aurai tendance à dire que ce polynôme en S est stable, en fait il faut tout de même vérifier.


Cordialement


Ludwig

[Ludwig]

Bonjour,

Maintenant que j'ai l'équation sous les yeux, je crois qu'il serait intéressant de faire une étude complète de la stabilité en prenant tau comme paramètre variable, ceci à des ordres différents, un peu comme tu l'as montré dans ton premier Post. J'ai le net sentiement qu'il faut s'attendre à quelques surprises.

Cordialement

Ludwig

[stefjm]

En fait c'est pas un intérêt particulier, simplement si tu veux étudier la stabilité d'un système, il y a lieu de construire sont équation caractéristique. Elle est obtenue à partir du dénominateur de la FTBF (Fonction de transfert en boucle fermée).

Mais NON!
Je ne m'intéresse pas à la BF d'un retard pur, mais au retard pur lui même!

Ce qui dans notre cas et sauf erreur, nous donne:


A vrai dire je n'ai jamais vérifier avec le critère de Routh si ce truc était stable ou pas. Je dois juste dire que si ce n'était pas toujours stable je crois que ça arrangerai bien mes affaires. Mais à priori j'aurai tendance à dire que ce polynôme en S est stable, en fait il faut tout de même vérifier.

Stable pour les ordres 1 à 4 inclus.
Instable pour les ordre 5 à 10 inclus.
Je conjecture qu'au delà, c'est instable mais je ne sais pas le démontrer...

[stefjm]

Maintenant que j'ai l'équation sous les yeux, je crois qu'il serait intéressant de faire une étude complète de la stabilité en prenant tau comme paramètre variable, ceci à des ordres différents, un peu comme tu l'as montré dans ton premier Post. J'ai le net sentiement qu'il faut s'attendre à quelques surprises.

Je ne vois pas bien en quoi changer la valeur du retard change la stabilité de l'approximation.

Cela change juste la valeur numérique des pôles qui sont en -1/T (a+jb)

Ordre 1 : -1/T
Ordre 2 : -1/T (-1+-j)
etc...

[Ludwig]

Mais NON!
Je ne m'intéresse pas à la BF d'un retard pur, mais au retard pur lui même!

Stable pour les ordres 1 à 4 inclus.
Instable pour les ordre 5 à 10 inclus.
Je conjecture qu'au delà, c'est instable mais je ne sais pas le démontrer...

Considérant l'équation suivante comme étant bien l'équation caractéristique qui apparait au travers d'un retard pur, pour l'instant non associée à un quelconque système physique, on peut étudier la dite équation caractéristique avec le critère de Routh.






Il faut donner une valeur à ainsi qu'à .

A titre de rappel et titre d'exemple, supposons le polynôme suivant auquel on va appliquer le critère de Routh:






Tableau des coéficients selon Routh: (Sauf erreur de calcul évidemnt)

[
[

[

[


on peut arrêter les calculs car sur la première colonne apparaît un changement de signe ce qui veut dire que ce polynône contient au moins une racine à partie réelle positive donc instabilité.

En fait le critère de Routh nous dit qu'il y a autant de pôles instables qu'il y a de changement de signe sur les coéff de la première colonne.

Je ne sais pas si j'ai réussi à t'aider, mais tu peux parfaitement baser ta démonstration sur le critère de Routh.



Cordialement


Ludwig

[Ludwig]

Je ne vois pas bien en quoi changer la valeur du retard change la stabilité de l'approximation.

Cela change juste la valeur numérique des pôles qui sont en -1/T (a+jb)

Ordre 1 : -1/T
Ordre 2 : -1/T (-1+-j)
etc...

Salut,

La stabilité ou pas d'un polynôme dépend de la valeur numérique des coéffs. Donc selon les coéff que tu as c.a.d selon la valeur numérique du retard ça donne des résultats différents. Comme déja dis, le problème du retard pur monte à la surface dés qu'il est associé à un système physique et que le tout est pris dans une boucle. Effectivement, ça se met à osciller selon que. Mais pour être précis il y a lieu de faire une étude pour chaque cas.

Cordialement

Ludwig

[stefjm]

Considérant l'équation suivante comme étant bien l'équation caractéristique qui apparait au travers d'un retard pur, pour l'instant non associée à un quelconque système physique, on peut étudier la dite équation caractéristique avec le critère de Routh.

Avec le critère de Routh, tu peux aussi étudier la boucle ouverte, ce qui m'intéressait à priori.

Pour ce qui est du critère de routh pour un ordre 5 en valeur numérique, autant faire travailler mathématica qui sait très bien factoriser :

alpha

Salut,
La stabilité ou pas d'un polynôme dépend de la valeur numérique des coéffs. Donc selon les coéff que tu as c.a.d selon la valeur numérique du retard ça donne des résultats différents. Comme déja dis, le problème du retard pur monte à la surface dés qu'il est associé à un système physique et que le tout est pris dans une boucle. Effectivement, ça se met à osciller selon que. Mais pour être précis il y a lieu de faire une étude pour chaque cas.

Tu me fais une blague? C'est cela?

La stabilité ne peut pas dépendre de T, il suffit de faire le changement de variable x=Ts pour le montrer :



M'enfin!

Cordialement.

[Ludwig]

Salut,

La stabilité ou pas d'un polynôme dépend de la valeur numérique des coéffs. Donc selon les coéff que tu as c.a.d selon la valeur numérique du retard ça donne des résultats différents.

Bonjour,

Je ne suis pas sur que ceci est une blague, mais aprés tout ça se pourrait bien pourquois pas.


Je précise qu'il était sous-entendu que le retard pur est supposé être associé à un système physique. Et c'et là qu'il pose probléme entre autre.

Je suppose que le discussion est en rapport avec la théorie des systèmes, dans ce cas, je propose qu'on définise le vocabulaire généralement utilisé.
.

3.1.3. Vocabulaire et terminologie


= grandeur de référence
= grandeur consigne ou contrôlée
= grandeur d’erreur
= fonction de transfert de la chaîne directe
= fonction de transfert de la boucle de retour
= gain du système
= fonction de transfert en boucle ouverte
= équation caractéristique du système EC(s)
= fonction de transfert en boucle fermé ou rapport de commande



Voila, ceci étant posé, je pense que l'on pourra discuter sur la stabilité des systèmes comportant un retard pur. Pour ce faire, il y a lieu d'étudier l'équation caractéristique EC(s) = 0

Je souhaite encore rajouter que pour obtenir l'EC(s) d'un système bouclé à retour unitaire, il suffit de faire:





Cordialement

Ludwig

[stefjm]

Oui.
Tu regardes la stabilité en BF.
Au départ, je regardais la stabilité des approximations du retard pur en BO.

En BO, les approx sont stables indépendamment de la valeur du retard T de l'ordre 1 à 4 inclus.
De l'ordre 5 à 10, c'est instable.
Au delà, probablement.

Pour la BF, c'est sans doute intéressant, mais je n'ai pas encore regarder.

@+