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Mouvement d'un solide le long d'un plan



  1. #1
    Shadowlugia

    Mouvement d'un solide le long d'un plan

    Bonjour à tous,
    j'ai eu en colle de physique une exercice de mécanique, mais j'ai eu quelques difficultés et je l'ai donc repris chez moi. le problème, c'est que comme c'est les vacances, je ne peux pas demander au prof de me dire si ce que j'ai fait est juste.

    l'énoncé est :
    on considère une masse M lâchée à t=0 sans vitesse initiale sur un plan incliné d'un angle ß
    étudiez le movement dans les cas suivants :
    1) pas de frottement
    2) frottement fluide et pas de frottement solide
    3) frottements fluide et solide
    les vecteurs sont notés ici entre guillemets "AB", leurs composantes entre parenthèses : "AB" = (x,y)

    on choisit un repère cartésien avec l'axe des X orienté suivant le plan incliné. A t=0, x = x0

    cas n°1 : il n'y a que deux forces : le poids "P" et la réaction du support "N"
    on projette les vecteurs accélération "a", "P" et "N" :
    on obtient
    "a" = (d²x/dt² , 0) car pas de mouvement vertical
    "P" = (Mg sin ß, - Mg cos ß)
    "N" = (0, N)

    l'application du principe fondamental de la dynamique (PFD) donne :
    "P" + "N" = M"a" soit, avec les projections :

    Mg sin ß = M*(d²x/dt²)
    N-Mg cos ß = 0

    la deuxième équation donne immédiatement N = Mg cos ß

    on a aussi, d'après la première équation, d²x/dt² = g sin ß
    soit dx/dt = g sin B t
    et x = (1/2)g sin ß t² + x0

    le mouvement est donc rectiligne uniformément accéléré


    deuxième cas :
    on rajoute un frottement fluide "F" = -k "v" que l'on projette "F" = (-F,0)
    l'application du PFD donne alors
    Mg sin ß – kv = M*(dv/dt)
    N-Mg cos ß = 0

    On retrouve alors N = Mg cos ß
    De plus la première équation donne une équation différentielle (dv/dt) + (k/M)*v = g sin ß, qui après résolution nous donne : v(t) = [(Mg sin ß)/k] * [1-exp(-t/T)] avec T = M/k


    Troisième cas : on rajoute une autre force "R", somme de la réaction du support et des frottements solides. par projection :
    "R" = (-R sin ß, R cos ß)

    le PFD donne alors :
    Mg sin ß - kv - R sin ß = M*(dv/dt)
    - Mg cos ß + R cos ß = 0

    ce qui nous donne R = Mg
    puis, en réinjectant dans la première équation, une équation différentielle (dv/dt) + (k/M)*v = 0
    c'est là que j'ai un problème, car si on continue, on a une solution de type v(t) = A exp (-t/T)
    or à t=0, v=0, d'où, A = 0 donc on se retrouve avec une vitesse nulle tout le temps, ce qui revient à dire que le solide ne bouge pas si on le lâche sans vitesse initiale...

    j'aurais besoin qu'on me dise si les deux premiers cas sont correctement traités et quel est le problème avec le troisième.
    je sais que ça fait beaucoup de lecture, alors merci à ceux qui me répondront

    -----


  2. #2
    alien49

    Re : Mouvement d'un solide le long d'un plan

    Salut,

    A première vue les deux premiers cas sont bons.
    Pour le troisième, il faut faire attention à bien traiter le frottement solide : il faut que tu détermines s'il y a mouvement ou non. Pour rappel, il n'y a pas de mouvement si T/N < µ ou T est la réaction tangentielle (frottements) nécessaire pour avoir équilibre, N la réaction normale, et µ le coefficient de frottement statique. Ainsi si les conditions font qu'il n'y a pas de mouvement (conditions à déterminer) v = 0, sinon tu connais la valeur de la force de frottement solide et tu peux poursuivre les calculs (et vérifier que tu trouves bien v > 0)

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