[long] adimensionnement, equation de Langevin

[Heimdall]

bonjour,

Ce post va etre un peu ... long, alors je résume le plan :

Je cherche à résoudre numériquement l'équation de langevin (équation décrivant une particule brownienne), mais je bute sur une première difficulté : l'adimensionnement de l'équation...

1) équation de langevin
2) allure du potentiel
3) variable adimensionnées
4) établissement de l'équation de langevin adimensionnée


1) L'équation de langevin est :



avec :
un terme de frottement venant d'une loi de Stockes divisé par la masse de la particule.
(donc est en seconde^-1)

U(x) est un potentiel extérieur dont dérive une force.

et enfin est une force stochastique, décrivant les multiples intéractions avec les particules du bain thermique dans lequel la particule brownienne est plongée.

2) allure du potentiel
Je cherche à résoudre cette équation dans le cadre de la théorie de Kramers (rate theory).

Dans ce modèle, on considère que le potentiel est formé par une suite de deux paraboles identiques (approximation harmonique) dont une condition de continuité nous permet de trouver la constante de raccordement.

voir cette page : ici

Je nomme B la hauteur ed la barrière de potentielle, et x_b l'abscisse corrrespondante. ce sont mes grandeurs caractéristiques en énergie et longueur, pour mon problème.

soit la pulsation de l'oscillateur harmonique associé aux paraboles, tel que les équation de la parabole 1 et 2 soient respectivement (on note x_0 le point de jonction) :


si x < x0

et


si x>x0

avec

3) Variables adimensionnées

j'introduit alors les nouvelles variables suivantes :








4) Equation de langevin adimensionnées

Les dérivées par rapport a la nouvelle variable de temps nous donnent un à chaque dérivation

on obtient l'équation :



la définition de Q donne :

il vient en divisant par et en insérant la définition de B :



ce qui est plutot pas mal, car le premier terme est sans dimension, le second aussi (beta à la dimension d'une pulsation) et idem pour le troisième...

c'est le dernier terme qui me pose problème, peut-etre faut-il s'aider de l'expression de la fonction d'autocorrelation de la force de Langevin :



puis insérer une nouvelle variable adimensionnée T/B (car k=1 ici donc T est une énergie et non une température)

mais je vois pas plus loin...

donc voilà si vous avez une idée...
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[zoup1]

Peux-tu préciser un peu quel est ton problème (j'ai pas tout bien regardé dans le détail j'avoue! )
Le dernier terme que tu indiques est lui aussi sans dimension.
De toute façon comme ce terme est aléatoire il ne possède pas d'échelle caractéristique. Lorsque tu feras l'intégration numérique de ce terme tu seras en pratique obligé de le "faire à la main". L'amplitude de ce terme croit comme la racine carré du pas de temps.
Tu trouveras sans doute des éclaircissements dans le lien suivant :
http://www.ks.uiuc.edu/~weiwang1/research/LI_pub.pdf

[Heimdall]

Le dernier terme que tu indiques est lui aussi sans dimension.
De toute façon comme ce terme est aléatoire il ne possède pas d'échelle caractéristique. Lorsque tu feras l'intégration numérique de ce terme tu seras en pratique obligé de le "faire à la main". L'amplitude de ce terme croit comme la racine carré du pas de temps.

euh bien oui le dernier terme est sans dimension je sais... le problème c'est que je ne vois pas "pourquoi"

en faisant l'analyse dimensionnelle c'est clair...

d'un autre coté... vu la fonction d'autocorrelation il devrait être proportionnel à ::









ici tout est sans dimension sauf gamma et omega, gamma est en kg.s^-1

on a donc en tout des kg^(1/2)...

ce qui ets étrange

[Heimdall]

je dois me planter quelque part..

[A voir en vidéo sur Futura]

[mtheory]

1) L'équation de langevin est :

es-tu d'accord que a la dimension L/T²?

[Heimdall]

ouais je suis d'accord vu que ce sont des newton/masse = longueur*masse*temps^-2/masse


alors si cette équation adimensionnée est correcte, il faudrait adimensionner les paramètres caractéristiques de la forces de langevin, i.e. la moyenne et l'écart-type de la distribution gaussienne sur lequel elle s'appuie ?

[mtheory]

ouais je suis d'accord vu que ce sont des newton/masse = longueur*masse*temps^-2/masse


alors si cette équation adimensionnée est correcte, il faudrait adimensionner les paramètres caractéristiques de la forces de langevin, i.e. la moyenne et l'écart-type de la distribution gaussienne sur lequel elle s'appuie ?

En fait j'ai du mal à comprendre ton problème,je pensais que tu n'avais pas vu que était non pas une force mais une force/masse.
Mais apparemment tu le savais donc tout est bien adimensionné avec ton équation en non?

[Heimdall]

bah ouais en fait j'ai bien vu que l'équation était adimensionnées, mais lorsqu'on examine la dimension du "terme stochastique" de droite, à l'aide du théorème de fluctuation-dissipassion je ne retrouve pas quelque chose sans dimension, là était ma question... dsl si j'étais pas clair.

[zoup1]

Le théorème de fluctuation-dissipation donne

c'est du moins ce que me suggère ce lien...
http://www.tn.utwente.nl/cdr/Polymee...at/node29.html
La relation que tu donnes doit être valable lorsuqe est effectivement une force et non pas une force par unité de masse.

[Heimdall]

ah okay, alors à partir de là j'peux certainement en déduire l'écart type de la gaussienne représentant cette force de Langevin






l'intégrale reste un peu mystérieuse pour moi.. apparement ça ferait : (j'ai vu une intégrale qui ressemble...)



donc avec et le changement de temps en temps adimensionné, et l'expression de B :



qui est bien adimensionné

la gaussienne représentant la force aléatoire serait donc :

[Heimdall]

Le théorème de fluctuation-dissipation donne

c'est du moins ce que me suggère ce lien...
http://www.tn.utwente.nl/cdr/Polymee...at/node29.html
La relation que tu donnes doit être valable lorsuqe est effectivement une force et non pas une force par unité de masse.

Et bien après réflexion c'est là que je ne comprends pas... car je ne trouve pas la même expression pour le théorème de fluctuation dissipation

tu peux voir sur ce lien : là

je peux le redémontrer :

soit la fonction de correlation de la (vraie) force de Langevin.

On pose (ceci vient du fait que g(t-t') est une force d'autocorrelation stationnaire, le 2Dm² est alors l'aire sous la courbe en cloche. D est un coefficient de fluctuation. (cf http://www.lkb.ens.fr/cours/college-...rs2/cours2.pdf


donc :



or on a la relation :



on trouve donc :




soit, en divisant par m² pour avoir à gauche la fonction de correlation de on obtient la forme suivante (k=1):




je cherche l'écart type de la gaussienne représentant , soit par définition :



or par hypothèse la moyenne de la force de langevin est nulle, donc l'écart type se réduit à :



après comment calculer ça je ne sais pas trop, mais pour le moment ce qui m'intéresse c'est que nous soyons d'accord sur la forme du théorème de fluctuation dissipation.

après recherche (c'est assez rare sur le net) j'ai trouvé ceci


en voyant la forme d'écart type dont il parle je suis encore plus étonné car ça ressemble à la forme dont tu parlais....