Action de Nambu-Goto

[inviteccb09896]

Bonjour

Je suis en plein dans le lecture du livre "A first cours in string theory" de Zwiebach et j'en suis à la page 99 lorsque l'on démontre pourquoi sous la racine de l'action de Nambu-Goto :



Cette démonstration me paraît bien faible. Elle suppose que l'on peut construire une base orthogonale à partir des dérivées partielles temporelles et spatiales de la surface d'Univers d'une corde et que chaque tangente peut être décomposé en ces deux vecteurs de base (il y a un même un petit schéma O_O !).

Or, l'idée est bonne (même s'il faudrait vérifier que l'orthogonalité soit vérifiée en tout point...) mais lorsque l'excitation de la corde n'est plus transversal à son mouvement cela ne marche plus puisque il est alors possible d'imaginer les deux vecteurs respectifs comme étant colinéaires et non plus perpendiculaires.

J'aimerai donc savoir :

1. S'il existe une démonstration comme quoi il est possible de construire une base orthogonale en tout point de la surface d'Univers à partir des vecteurs et

2. Savoir s'il n'y aurait pas des hypothèses "fortes" non énoncées dans l'ouvrage de Zwiebach quant à ce point

3. Savoir s'il existe une autre démonstration ou argumentation

Merci d'avance pour votre aide
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[mtheory]

Or, l'idée est bonne (même s'il faudrait vérifier que l'orthogonalité soit vérifiée en tout point...) mais lorsque l'excitation de la corde n'est plus transversal

Bonjour isozv,si ma mémoire ne me trompe pas je crois qu'on peut toujours éliminer un mouvement non transversal ,c'est comme pour l'électromagnétisme et l'invariance de jauge tu peux montrer que les exitations sont toujours transversales.
Je vais essayé de vérifier.

[mtheory]

Bonjour isozv,si ma mémoire ne me trompe pas je crois qu'on peut toujours éliminer un mouvement non transversal ,c'est comme pour l'électromagnétisme et l'invariance de jauge tu peux montrer que les exitations sont toujours transversales.
Je vais essayé de vérifier.

Il semblerait que ça soit ça.

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/9612/9612254.pdf

p5 et 8

[inviteccb09896]

Salut mTheory

Bon d'abord, chapeau bas pour ta réactivité et rien à redire à l'article mis à part :

1. C'est pour des cordes fermées alors je conviens assez facilement (c'est même intuitif) qu'il existe toujours un point sur la surface d'univers qui comporte deux tangentes satisfaisant à l'orthogonalité. Mais c'est plus difficile pour une corde ouverte.

2. La démo est intéressante (j'aurai bien aimé la réutiliser) mais la démarche formelle amenant au système 11 n'est pas décrit et je ne suis pas encore assez fort dans ce domaine pour dire (comme l'énonce l'auteur) qu'il n'est pas difficile de le trouver...

Merci d'avance si tu as d'autres éléments

[A voir en vidéo sur Futura]

[mtheory]

Salut mTheory

Bon d'abord, chapeau bas pour ta réactivité et rien à redire à l'article mis à part :

1. C'est pour des cordes fermées

Euh ,oui j'aurais dû être plus rigoureux en regardant l'article ,je pense malgré tout que pour une corde ouverte c'est pareil puisqu'il t'explique que c'est un effet de l'invariance par paramétrisation du worldsheet.
C'est vrai que je m'attache surtout aux idées et insuffisament aux calculs.
En regardant de plus prés le livre de Z cette histoire n'est pas dit quelque part pour les cordes ouvertes?
Je pensais juste te donner l'article pour que tu tombes rapidement sur le point clé et te permettre après de voir dans le Z si ce n'était pas déjà dit (en supposant que j'ai raison).

alors je conviens assez facilement (c'est même intuitif) qu'il existe toujours un point sur la surface d'univers qui comporte deux tangentes satisfaisant à l'orthogonalité. Mais c'est plus difficile pour une corde ouverte.

2. La démo est intéressante (j'aurai bien aimé la réutiliser) mais la démarche formelle amenant au système 11 n'est pas décrit et je ne suis pas encore assez fort dans ce domaine pour dire (comme l'énonce l'auteur) qu'il n'est pas difficile de le trouver...

Merci d'avance si tu as d'autres éléments

Je vais voir

[inviteccb09896]

Je vais contineur à réfléchir à cela (ce ne sera que la deuxième journée...)

a+

[inviteccb09896]

Me revoila à la charge.

Sommes-nous d'accord que les unités dimensionnelles de et diffèrent ?

[invitea29d1598]

salut,

Elle suppose que l'on peut construire une base orthogonale à partir des dérivées partielles temporelles et spatiales de la surface d'Univers d'une corde et que chaque tangente peut être décomposé en ces deux vecteurs de base (il y a un même un petit schéma O_O !).

je vois pas trop ce qui te dérange dans ça...

Or, l'idée est bonne (même s'il faudrait vérifier que l'orthogonalité soit vérifiée en tout point...)

tu peux toujours former une base d'un espace qui est localement orthonormée. Pour t'en convaincre, rappelle-toi dans tes cours d'algèbre linéaire la prodécure d'orthonormalisation de Gram-Schmidt : si tu regardes la matrice sur laquelle tu fais ce truc comme celle qui représente la métrique induite sur la feuille d'Univers, y'a rien de plus.

mais lorsque l'excitation de la corde n'est plus transversal à son mouvement cela ne marche plus

à chaque instant la corde reste bidimensionnelle quelque soit l'état de son mouvement. Donc tu peux toujours faire ça.

1. S'il existe une démonstration comme quoi il est possible de construire une base orthogonale en tout point de la surface d'Univers à partir des vecteurs et

cf Gram-Schmidt

2. Savoir s'il n'y aurait pas des hypothèses "fortes" non énoncées dans l'ouvrage de Zwiebach quant à ce point

je connais pas le livre

mais j'ai déjà vu des démos où cette hypothèse n'était pas utilisée. Tu utilisais juste le fait qu'un vecteur tangent appartient à l'espace engendré par les deux vecteurs cités plus haut. Or, comme l'un est du genre espace, l'autre du genre temps, tu formes ensuite une combinaison linéaire des deux (qui te donne un vecteur de type indéterminé) qui balaie tout l'espace vectoriel. Et puisque les deux vecteurs forment une base, le genre du vecteur doit varier. Tu fais alors une démo identique à la démo classique de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (histoire de l'étude du signe du déterminant d'une équation quadratique) et c'est fini.

Sommes-nous d'accord que les unités dimensionnelles de truc et machin diffèrent ?

tant que la dimension de c n'est pas 1, oui.

[inviteccb09896]

Slt Rince

je vois pas trop ce qui te dérange dans ça...

rien c'était juste pour le dire...

tu peux toujours former une base d'un espace qui est localement orthonormée. Pour t'en convaincre, rappelle-toi dans tes cours d'algèbre linéaire la prodécure d'orthonormalisation de Gram-Schmidt : si tu regardes la matrice sur laquelle tu fais ce truc comme celle qui représente la métrique induite sur la feuille d'Univers, y'a rien de plus.

c'est vrai !

à chaque instant la corde reste bidimensionnelle quelque soit l'état de son mouvement. Donc tu peux toujours faire ça.

Même lorsque les deux vecteurs de la base orthogonale deviennent colinéaire O_O alors là je marche pas. Je suis d'accord que la corde reste bidimensionnelle mais les vecteurs censés former la base aux tangentes sont alors colinéaires.

mais j'ai déjà vu des démos où cette hypothèse n'était pas utilisée. Tu utilisais juste le fait qu'un vecteur tangent appartient à l'espace engendré par les deux vecteurs cités plus haut. Or, comme l'un est du genre espace, l'autre du genre temps, tu formes ensuite une combinaison linéaire des deux (qui te donne un vecteur de type indéterminé) qui balaie tout l'espace vectoriel. Et puisque les deux vecteurs forment une base, le genre du vecteur doit varier. Tu fais alors une démo identique à la démo classique de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (histoire de l'étude du signe du déterminant d'une équation quadratique) et c'est fini.

Maintenant c'est ici que je coince car (voir pièce jointe):

1. Comment peut-on dire lequel est de type espace ou de type temps ?

2. Que veut dire un vecteur tangent de type espace ou temps ? Comment cela s'interprète-til ?

3. Pourquoi multiplier un des deux par un scalaire (et en particulier un et pas l'autre) ??? réf. éq. 6.3.9

4. Pourquoi ne pas imposer que la somme soit de type temps car un vecteur de type espace (s'il est fait allusion aux cônes de lumière) n'a aucune signification physique !

5. Et puis pourquoi calculer la norme et vérifier qu'elle ait deux racines. Je n'ai jamais fait cela avec les quadri-vecteurs d'impulsion en relativité restreinte ou générale et par ailleurs je n'y ai jamais vu de vecteur de type espace ! (si je fais référence aux cônes de lumière)

Merci pour d'avance pour ton aide

[inviteccb09896]

Euh je peux pas mettre la pièce jointe en question sur le forum. t'envoie le lien par e-mail privé

[invitea29d1598]

rien c'était juste pour le dire...

pas de pb

Même lorsque les deux vecteurs de la base orthogonale deviennent colinéaire O_O alors là je marche pas. Je suis d'accord que la corde reste bidimensionnelle mais les vecteurs censés former la base aux tangentes sont alors colinéaires.

le truc c'est que l'un des vecteurs de base est du genre temps et l'autre du genre espace. Donc pas de colinéarité possible... ça fait partie des hypothèses sur la nature de la corde. On doit dire quelque part que la feuille d'Univers formée est du genre-temps.

en fait, ce que ça veut dire, c'est quoi :
- un des vecteurs tangent peut être choisi le long du temps car le système évolue dans le temps (ta surface n'est pas une bête surface usuelle plongé dans R^3 à un instant donné).
- ta surface est réellement une surface donc il faut deux vecteurs de base indépendants pour la former. Or, dans un espace-temps avec une seule dimension temporelle, tu auras toujours au maximum un seul vecteur du genre temps indépendant, donc l'autre est du genre espace, ce qui signifie aussi que à un instant donné ton système est unidimensionnel... normal pour une corde

Maintenant c'est ici que je coince car (voir pièce jointe)

pas vue

réponses partielles :

2. Que veut dire un vecteur tangent de type espace ou temps ? Comment cela s'interprète-til ?

un vecteur tangent, tu dois connaître : c'est pas parce que les notations sont tensorielles que c'est plus compliqué que la géométrie usuelle. Genre temps ou espace, c'est juste le signe de la norme (cf le truc usuel pour la quadrivitesse d'une particule et/ou le vecteur liant deux événements de l'espace-temps).

5. Et puis pourquoi calculer la norme et vérifier qu'elle ait deux racines.

cf la démo de Cauchy-Schwarz : tu fais ça car tu peux reconnaître une égalité type CS et que ce que tu veux montrer y ressemble...

Je n'ai jamais fait cela avec les quadri-vecteurs d'impulsion en relativité restreinte ou générale et par ailleurs je n'y ai jamais vu de vecteur de type espace ! (si je fais référence aux cônes de lumière)

un vecteur de type espace est juste un vecteur joignant deux points qui peuvent être situés pour un observateur donné au même instant. Ca n'a rien d'extraordinaire... en relativité tu as déjà dû entendre parler de géodésique du genre espace... c'est par exemple un chemin le plus court dans l'espace (et pas "dans l'espace-temps" et bien "un chemin" et pas "une trajectoire"). Autrement dit, ce sont toutes les géodésiques qui ne peuvent pas être ligne d'Univers d'une particule massive ou d'un photon (genre espace implique tachyon).

m'enfin, tout ce que tu écris me rappelle la démo dont je te parlais... ça doit être "LA" grosse classique, ce qui est normal étant donné que c'est très proche de CS...

ps: bien reçu ton MP je regarde de suite...

[inviteccb09896]

OK pour l'hypothèse manquante mais sous-entendue alors. D'accord pour le vecteur tangent de type espace mais ne serait-il pas bon d'éliminer ce genre de vecteurs qui violent le principe de causalité me semble-t-il (cf. tachyons).

tu fais ça car tu peux reconnaître une égalité type CS et que ce que tu veux montrer y ressemble...

Argh ! Ce genre de méthode me choc... il n'y pas de raison physique mais mathématique plutôt (cela est plutôt dur à argumenter alors comme raisonnement)

et toujours... pourquoi multiplier le vecteur de type espace par un scalaire et pas celui de type temps... ? Juste afin d'obtenir ce que l'on veut.... ?

[invitea29d1598]

1. Comment peut-on dire lequel est de type espace ou de type temps ?

aucune importance, tu sais que tu en auras nécessairement un temps et un espace donc tu choisis. En gros, tu peux voir que celui lié à la dérivée par rapport au temps (tau sûrement) est du genre temps et celui dérivée sigma du genre espace. Il doit t'en parler plus loin en choisissant un système de coordonnées bien choisi où tout se simplifie...

mais en te disant cela, je m'aperçois qu'en fait j'avais dit un truc faux avant : il faut absolument que la base soit orthogonal pour dire que l'un seulement est du genre-temps. Si tu considères par exemple deux lignes d'univers suivies par deux particules usuelles, tu auras avec les deux 4-vitesses deux vecteurs du genre temps indépendants. Mais pas orthogonaux... donc l'orthogonalité est fondamentale, néanmoins triviale à obtenir : deux vecteurs du genre temps te donnent un temps et un espace car tu n'as qu'un seul temps.

3. Pourquoi multiplier un des deux par un scalaire (et en particulier un et pas l'autre) ??? réf. éq. 6.3.9

pour faire comme dans la démo de CS

il choisit au hasard, aucune importance. Le seul truc qui compte c'est de définir un sous-espace vectoriel unidimensionnel (une courbe paramétrée par lambda) inclus dans ta corde et qui change de genre.

4. Pourquoi ne pas imposer que la somme soit de type temps car un vecteur de type espace (s'il est fait allusion aux cônes de lumière) n'a aucune signification physique !

si, si : un vecteur de type espace est une distance usuelle.

oublie pas que tu fais de la géométrie quand tu bosses avec une corde : c'est un objet géométrique... tu te places à un instant donné, tu regardes le vecteur tangent à la corde, qu'est-ce que tu obtiens ?

D'accord pour le vecteur tangent de type espace mais ne serait-il pas bon d'éliminer ce genre de vecteurs qui violent le principe de causalité me semble-t-il (cf. tachyons).

au contraire! tu veux décrire une corde. Il doit donc y avoir un vecteur tangent du genre espace faute de quoi aucun observateur ne verra une corde... pour mieux comprendre, dans un premier temps utilise le même temps pour la corde et le système de coordonnés "externe" (tau = t sûrement).

Je n'ai jamais fait cela avec les quadri-vecteurs d'impulsion en relativité restreinte ou générale

qu'est-ce que tu n'as jamais vu?

Merci pour d'avance pour ton aide

de rien... j'espère t'avoir un minimum éclairé... mais là je dois partir... bon courage!

[invitea29d1598]

Argh ! Ce genre de méthode me choc... il n'y pas de raison physique mais mathématique plutôt (cela est plutôt dur à argumenter alors comme raisonnement)

pourquoi : le résultat auquel tu souhaites aboutir est avant tout mathématique...

et toujours... pourquoi multiplier le vecteur de type espace par un scalaire et pas celui de type temps... ? Juste afin d'obtenir ce que l'on veut.... ?

essaie de faire la démo jumelle...

[inviteccb09896]

On doit dire quelque part que la feuille d'Univers formée est du genre-temps.

Pas dans ce livre. Mais sur internet j'ai pu lire dans la littérature anglophone qu'une hypothèse sur les cordes ouvertes et que leurs oscillations sont transversales à leur mouvement. Et cela est à mon avis l'hypothèse "forte" manquante de le livre de Zwiebach

[invitea29d1598]

re,

Mais sur internet j'ai pu lire dans la littérature anglophone qu'une hypothèse sur les cordes ouvertes est que leurs oscillations sont transversales à leur mouvement. Et cela est à mon avis l'hypothèse "forte" manquante de le livre de Zwiebach

je vois absolument pas en quoi cela serait utile ici. Par ailleurs, si tu vas plus loin dans le bouquin (en gros page 148), il te démontre que (comme mtheory t'avait dit) la vitesse longitudinale n'est pas physique et peut donc être prise égale à zéro par un bon choix de coordonnées.

m'enfin je ne vois pas où cela interviendrait pour ce dont tu parlais ici.

[inviteccb09896]

Slt Rince

Au fait, je viens de me rendre compte d'une erreur flagrante (et grave) dans mes raisonnements. Je faisais mes expériences imaginaires dans l'espace à trois dimensions spatiales alors que j'oubliais de rajouter celle du temps. Maintenant tout est OK.

Merci de l'avoir mis en évidence et bonne semaine