Bernouilli et mobile autoporteur

[liphmel]

Je cherche a comprendre ce qui se passe sous un mobile autoporteur. Vous savez, le petit cylindre sur coussin d'air qui glisse dans la pente ou qui rebondi sur le mur.
J'ai quelques problèmes car la relation de Bernouilli ne marche pas !!!

On prend une plaque cylindrique de rayon R et on injecte au milieu de l'air sous pression par un trou de rayon r. Mettons de l'air à P1=2 bar absolu.
Cet air vas s'échapper vers l'extérieur qui est à P2=1 bar (je simplifie en prenant 1 bar pour la pression atmosphérique).
On a donc un petit coussin d'air qui soulève la plaque d'une hauteur h.

Je viens de fixer P1 et P2, il me reste les deux vitesses V1 et V2 qui sont inconnues.
J'ai deux équations, la relation de Bernouilli et la conservation du débit volumique.

(P1/ro) + (V1/4)^2 = (P2/ro) + (V2/4)^2 --> Bernouilli

S1 V1 = S2 V2 --> débit volumique avec S1 section d'entrée au centre et S2 section de sortie en périphérie

S1 = 2 pi r h et S2 = 2 pi R h --> r < R et S1 < S2

Je considère la masse volumique ro comme constante. C'est donné comme une hypothèse réaliste pour de l'air tant que la vitesse est <100 m/s.

Alors voilà, tout calculs fait je trouve :

V1 = S2 racine ( 2(P1-P2) / ro(S1^2-S2^2))

V2 = S1 V1 / S2

Le soucis vient de V1. P1-P2 est positif tandis que S1^2-S2^2 est négatif.
Le contenu de la racine est négatif !!!!

Ou est le bug ?
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[rlo]

bonsoir,

quelques remarques en vrac :
- l'équation de Bernoulli me parait bizarre (je n'ai pas trop le 4...(rho x v^2)/2 pour moi))
- je ne pense pas que l'air soit à densité constante : P/rho = nRT, donc tout va dépendre de la détente du gaz

a+

[LPFR]

Bonjour.
Je pense que vous avez mal placé les conditions limites. P1 n'est pas la pression à l'endroit où l'air va à V1, mais la pression d'alimentation du trou avec la vitesse de l'air nulle (ou presque).
Même chose pour P2. Ce n'est pas la pression du gaz à la sortie avec V2 mais la pression une fois qu'il s'arrête.
Votre équation doit être plutôt:
2 bar = (P1/ro) + V1^2 /2
Et la même chose pour la sortie.
Et comme vous voyez cela pose un problème. La raison est que l'équation de Bernoulli correspond à un flux à énergie constante. Et je ne pense que ce soit le cas pour la situation du mobile autoporteur.
Au revoir.

[verdifre]

Bonjour,
je crois que dans le cas du palet, il faudrait déja au minimum poser les grandeurs qui sont connues.
le palet ne touchant pas le sol, cela fixe un certain nombre de conditions
tu peux donc deja poser PS +rhoSV²= mg avec S surface du palet
cela peut te donner un point de depart pour la suite
fred

[A voir en vidéo sur Futura]

[liphmel]

Bonjour

Merci rlo pour la réponse, je me suis effectivement planté en écrivant la formule de Bernouilli. J'ai voulu mettre le carré sur toute la fraction car je trouvait cela plus simple. En fait non car j'aurai du écrire (P/racine(2))^2. (V^2)/2 reste la forme et correcte et la plus simple.

Cela étant dit, introduire l'équation d'état d'un gaz parfait est possible. Bien que cela renvoie a des notions bien lointaines.
Je ne pense pas que cela changera le fond du problème. J'ai trouvé des exercices résolus sur des venturis avec une zone convergente suivie d'une divergente. Lorsqu'ils prennent en compte un gaz parfait compressibles, il trouvent aussi une pression plus faible au col qu'a la sortie. Ils démontrent aussi en passant qu'en dessous de 100 m/s on peut considérer l'air comme incompressible sans grosse erreur.
Ce qui se passe sous un mobile autoporteur est assimilable a un divergent. Il faudrait donc une pression plus basse que l'atmosphérique pour que l'air sorte !!!!! c'est pas du tout physique et c'est pourtant ce que donne Bernouilli.

La suggestion de LPFR est de mettre V1 ou V2 à 0, c'est bien cela ?
Dans les deux cas, je suis ok, cela n'avance pas vraiment le problème.
Pourquoi le flux ne serai-t-il pas à énergie constante ?
On ne prélève pas d'énergie mécanique, Si h ne change pas, le mobile est à une hauteur de vol constante.
Pourquoi ne pourrai-t-on pas négliger les échanges thermiques entre l'air, le mobile et le sol. On le fait bien pour les moteurs à explosions dans les cycles de Carnot (détente adiabatique si j'ai bonne mémoire) ?

Tout a fait d'accord avec la proposition de verdifre. C'est mon objectif et mon point de départ : connaissant la pression de sortie de ma pompe à air, quelle est la masse maxi que peut avoir mon mobile.
Plutôt que PS + roSV^2 = mg qui simplifie bien le problème en imposant P=Cte, je vise : somme de r à R de PdS = mg.
Le terme de pression dynamique en ro V^2 étant nul car le mobile est à h constant.

Merci de vos réponses. Il y une hypothèse fausse dans tous ça qui doit interdire l'utilisation de Bernouilli car les mobiles et les venturis : ça marche !
Je vais chercher du coté de la faible épaisseur de la fuite d'air.

[LPFR]

La suggestion de LPFR est de mettre V1 ou V2 à 0, c'est bien cela ?
Dans les deux cas, je suis ok, cela n'avance pas vraiment le problème.
Pourquoi le flux ne serai-t-il pas à énergie constante ?

Bonjour.
Cela dépend de ce que vous appelez V1 et V2. Si V1 est la vitesse dans le trou d'entrée, évidement V1 n'est pas égal à zéro. Même chose pour V2.
Ce que j'ai dit est que P1 et P2 (2 bar et 1 bar) sont les pressions en amont du trou d'entrée et en aval du trou de sortie, quand les vitesses sont presque nulles. Et les pressions dans les trous sont nécessairement plus faibles à causse de Bernoulli.

Et le processus ne se fait pas à énergie constante à cause de la viscosité de l'air. Les mobiles autoporteurs ne fonctionneraient pas s'il n'avait pas de perte de charges entre entrée et la sortie.
Si l'air n'était pas visqueux, la pression entre le mobile et le support serait toujours inférieure à la pression atmosphérique et le mobile serait plaqué sur le support, et le phénomène serait cumulatif: plus il serait plaqué, plus la vitesse de l'air augmenterait et plus la pression diminuerait.

Bernoulli n'est pas toujours l'effet prédominant. Par exemple, pour les conséquences de l'effet dans les ballons de football, c'est l'effet Magnus qui l'emporte. Et ici, c'est la viscosité.
Au revoir.

[liphmel]

Merci de cette précision.

Je doit considérer P1 comme la pression dans un réservoir amont. Le trou d'admission peut être vu comme un petit convergent.
Et surtout, il faut prendre un fluide visqueux. Ce qui apparement ne l'empèche pas d'être incompressible.
Le bug est là, Bernouilli ne tient pas compte de la viscosité.

Merci à tous