moment cinétique, méca quantique

[invitea2e53836]

bonjour,
petites questions de méca quantique
pourriez vous vérifier mes reponses please et me mettre sur le voie pour ceux que je n'arrive pas ?

Soit un systeme de moment cinétique J=3/2

1) donner une base de l'espace des états de moment cinétique de ce systeme.

Faut simplement mettre { |j,m> } je pense.

2) calculer les matrices representatives de J+, J-, J²+ , J²-
on écrira d'abord littérallement J+|j,m> , J-|j,m>, J²+|j,m>,J²-|j,m>

donc la j'ai mis :
J+|j,m> = racine(j(j+1)-m(m+1))|j,m+1>

J-|j,m> = racine(j(j+1)-m(m-1))|j,m-1>

par contre ceux d'apres je sais pas trop, c'est les même en enlevant simplement la racine vu que c'est au carré ?

Ensuite pour les matrices je sais pas trop :s
faut se servir genre de ca ? :

J+=( 0 1 )
.....( 0 0 )
avec les matrices correspondantes aux autres mais dans ce cas comme fait par exemple pour J-, vsachant que normalement on obtient une matrice 4X4 avec J=3/2 vu toutes les valeurs de m possibles..

3)exprimer les opérateurs JxJy puis JyJx en fonction de J+ et J-
ces opérateurs sont ils hermitiques ?


j'obtiens :

JxJy = (J+² - J+J- + J-J+ - J-²)/4i

et un truc presque similaire pour JyJx

Et donc pour moi ils ne sont pas hermitique car Jx et Jy sont hermitiques par contre ils ne commutent pas.

4) Le systeme est soumis à l'hamiltonien H=a(JxJy + JyJx) ou a est une constante réelle >0 .
a) déterminer la matrice représentative de H dans la base {|j,m>} ainsi que ses valeurs propres et vecteurs propres.

alors la je dois dire que j'ai un peu de mal, j'ai écrit ca mais j'suis pas du tout persuadé :/

H=hwa(JxJy + JyJx)( 1 0 )
..........................( 0 1 )



voila, pouvez vous deja m'éclairer un peu sur ca, en attendant je me penche sur la suite de l'exo.

merci d'avance
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[invite60be3959]

2) calculer les matrices representatives de J+, J-, J²+ , J²-
on écrira d'abord littérallement J+|j,m> , J-|j,m>, J²+|j,m>,J²-|j,m>

donc la j'ai mis :
J+|j,m> = racine(j(j+1)-m(m+1))|j,m+1>

J-|j,m> = racine(j(j+1)-m(m-1))|j,m-1>

par contre ceux d'apres je sais pas trop, c'est les même en enlevant simplement la racine vu que c'est au carré ?

Déjà, il faut rajouter un hbar en facteur, et il ne faut pas oublier que J+|j, m+1> = Rac(j(j+1) -(m+1)(m+2)) hbar |j, m+2>, et que J²+|j,m> = J+(J+|j,m>).

Ensuite pour les matrices je sais pas trop :s
faut se servir genre de ca ? :

J+=( 0 1 )
.....( 0 0 )
avec les matrices correspondantes aux autres mais dans ce cas comme fait par exemple pour J-, vsachant que normalement on obtient une matrice 4X4 avec J=3/2 vu toutes les valeurs de m possibles..

ça c'est du cours. Les éléments de matrices d'un opérateur A sont en effet donnés par < j, m | A | j, m>, m quelconque compris entre -j et +j. Un opérateur quelconque dans cette base sera donc représenté par une matrice 4x4.

3)exprimer les opérateurs JxJy puis JyJx en fonction de J+ et J-
ces opérateurs sont ils hermitiques ?


j'obtiens :

JxJy = (J+² - J+J- + J-J+ - J-²)/4i

et un truc presque similaire pour JyJx

Et donc pour moi ils ne sont pas hermitique car Jx et Jy sont hermitiques par contre ils ne commutent pas.

Attention, tu manques de rigueur. Il ne faut pas supposer quelque chose sur une vague impression. Tu dois te demander qu'est-ce-qui caractérise un opérateur hermitique ? --> Il faut que <j,m | A | j,m>, pour un m donné, soit réel. Tu dois donc le vérifier pour le montrer. (les relations de commutations n'ont rien à voir avec l'hermicité d'un opérateur)

4) Le systeme est soumis à l'hamiltonien H=a(JxJy + JyJx) ou a est une constante réelle >0 .
a) déterminer la matrice représentative de H dans la base {|j,m>} ainsi que ses valeurs propres et vecteurs propres.

alors la je dois dire que j'ai un peu de mal, j'ai écrit ca mais j'suis pas du tout persuadé :/

H=hwa(JxJy + JyJx)( 1 0 )
..........................( 0 1 )

Cette question découle des précédentes, et ne pose donc aucun problème

[invitea2e53836]

Tu dois te demander qu'est-ce-qui caractérise un opérateur hermitique ?

ca veut donc dire que je dois calculer la matrice M correspondant a JxJy et montrer que

M = tM* (transposée de la matrice conjuguée) ?

Cette question découle des précédentes, et ne pose donc aucun problème

a ceux qu'on du mal en méca Q ca pose probleme
une fois que j'ais les matrice de JxJy, je les multiplie par

H=hw(1 0) ?
.......(0 1)


Ensuite pour la suite de l'exo :

4) b) le syteme est dans l'etat

|psi> = 2/V6|3/2,3/2> + 1/V6|3/2,1/2> + i/V6|3/2,-3/2>

(V = racine)

quels resultats peut ton trouver et avec quelles probabilités si on mesure l'energie du systeme ? Quel est dans chaque cas l'état du systeme apres la mesure ?

je dirais qu'on peut trouver les valeurs propres de l'hamiltonien, par contre pour les proba j'ai pas compris comment faire :s
Pareil pour l'état apres la mesure, j'aurais besoin d'un coup de pouce.

Calucler les valeurs moyennes Jx, Jy et Jz dans cet état ?

faut calculer un truc genre <j,m|J²x|j,m> ?

[invitea2e53836]

personne ne sait ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite60be3959]

ca veut donc dire que je dois calculer la matrice M correspondant a JxJy et montrer que

M = tM* (transposée de la matrice conjuguée) ?

oui c'est ça !

a ceux qu'on du mal en méca Q ca pose probleme
une fois que j'ais les matrice de JxJy, je les multiplie par

H=hw(1 0) ?
.......(0 1)

Non. Si tu as les matrices de JxJy et de JyJx il sera très facile d'en déduire la matrice de a(JxJy + JyJx). Même chose pour les vecteurs et valeurs propres.

Ensuite pour la suite de l'exo :

4) b) le syteme est dans l'etat

|psi> = 2/V6|3/2,3/2> + 1/V6|3/2,1/2> + i/V6|3/2,-3/2>

(V = racine)

quels resultats peut ton trouver et avec quelles probabilités si on mesure l'energie du systeme ? Quel est dans chaque cas l'état du systeme apres la mesure ?

je dirais qu'on peut trouver les valeurs propres de l'hamiltonien, par contre pour les proba j'ai pas compris comment faire :s
Pareil pour l'état apres la mesure, j'aurais besoin d'un coup de pouce.



faut calculer un truc genre <j,m|J²x|j,m> ?

Une fois qu'on a l'opérateur énergie, c'est-à-dire le hamiltonien, il suffit de calculer H |psi> pour en déduire les différents états possibles ainsi que les valeurs propres associés (amplitude de probabilité). La probalilté de chaque mesure est donnée par le module au carré de chaque amplitude de probabilité(la somme des probabilités est égale à 1 bien entendu pour des états normalisés). Le système étant indépendant du temps, le système restera dans l'état dans lequel il était juste après la mesure. Tout ce que je te dis là est dans ton cours ou dans tout bon bouquin de MQ comme, le Basdevant - Dalibard ou encore le fameux Cohen-Tanoudji (Si tu ne le fais pas déjà, je te conseilles d'ailleurs fortement d'aller voir d'autres cours de MQ(dans des bouquins et sur internet) afin de mieux pouvoir cerner cette matière).