Trace de commutateur en MQ

[Thwarn]

Bonjour à tous,

je me pose une petite question, qui a l'air d'etre éludé dans les livres de MQ, et meme si je pense savoir où le bas blesse, je voudrais avoir vos avis.

Il facile de montrer que la trace d'un commutateur est nul.
Pour autant, un des premiers commutateurs donnés dans un cours de MQ est [X,P]=i (dans les unités naturelles).
Et la (et je ne l'ai vu mentioné nul part), si je prends la trace de ce commutateur, on trouve 0 d'un coté et l'infini de l'autre.

Je suppose que le probleme vient de la dimension infinie du probleme (et le fait que ça soit continue?), en tout cas je n'ai pas trouvé de contre-exemple de dimension finie.

Peut-etre que cela a aussi à voir avec la base utilisée pour calculer la trace?
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[invite24327a4e]

Bonjour,
En MQ, la trace est une opération bien définie sur un espace de hilbert de dimension finie. Or, la relation de quantification canonique [x,p] = i n'est réalisée que sur un espace de hilbert de dimension infinie. Prendre la trace de l'opérateur identité de cet espace de hilbert n'est donc pas définie, d'ou le problème.

[Thwarn]

C'est bien ce que je pense aussi, pourtant, on passe notre temps à tracer un nombre de chose de dimension infinie sans y voir de probleme (matrice densité, etc).
Pour ne pas parler des determinants venant des integrales fonctionelles...

[invite24327a4e]

Souvent ça ne pose pas de problème car l'opérateur est de type trace. Seulement l'opérateur identité sur un espace de dimension infini n'est pas un opérateur de type trace, d'où le problème. (L'opérateur densité est un opérateur de type trace)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thwarn]

Qu'est ce que tu appeles un operateur de type trace, je n'ai jamais entendu ce terme.

[invite24327a4e]

Un opérateur A tel que existe. ou {|n>} forme une base de l'espace de Hilbert sur lequel A est défini.

[Thwarn]

Donc tout ça, c'est bien des problemes de convergence, ça pourrait meriter une ou deux lignes dans les bouquins.