Commutateur

[invite4b31cbd7]

Bonjour !

J'ai toute qu'une question, celle la va separer les hommes des garcons

Comme obtenir le commutateur de :



Merci d'avance !

chi(x) est une fonction continue qui possede une serie de taylor ...
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[invite4b31cbd7]

hum .. finalement c'est plus facile que je croyais ... je vous reviens la dessus dans pas long

[invitedc979455]

c'est simple

bon dommage que je sache pas bien utilliser latex

réponse ce soir
(je dois rentrer chez moi, job)

(bcp de gens sont en vacs en ce moment c'est pour ça)

réponds à ça en attendant (sur un topic jai posé une question sans réponse)

le corps de complexes a une structure de C-espace vectoriel de dimension 1(droite infinie) et une structure de R-espace vectoriel de dimension 2(plan), mais dans quel corps aurait-il une structure d'espace vectoriel de dimension 3 ?
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[invite4b31cbd7]

Ouin en y pense un peu c'est effectivement tres simple, la reponse est du genre :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

Tu pourrais détailler ton calcul, parce que je ne trouve pas le même résultat que toi.

[invite4b31cbd7]

(Si t'a du temps Scorp regarde mon autre post sur l'integral special)


Sachant que si [A,B]=C et que
[A,C]=[B,C]=0
alors [A, F(B) ] =[A,B] F'(B)

Je prend
et

Voila, si ca marche toujours pas fait moi signe !

[invite4b31cbd7]

oups ma reponse est pas bonne, je respecte pas une de mes hypothese ... dsl je l'ai fait trop vite ... je vais me reessayer mais si quelqu'un a une reponse n'hesiter pas !

[invite4b31cbd7]

Scorp, c'est quoi ta reponse ?

[invite4b31cbd7]

Je suis bloque, ca m'aiderais beaucoup si j'etais capable de trouver :



sachant que

[invitedc979455]

pourquoi te casses-tu la tête avec des propriétés compliquées de commutateur

PS : tu ne devrais pas dire plutôt :

calcul du commutateur (sans le "de")
sinon commutateur du couple d'éléments que tu as posés

j'ai trouvé mais il faut que je regarde comment mettre ça en latex
à toute

[invite4b31cbd7]

Si tu l'a vraiment trouvé essaie de me le montrer, sans latex au pire, parce que ça presse pas mal de mon côté

Donne moi ton point de départ au pire, mais fait moi pas languir en disant ''j'ai trouvé ... mais attends ''

(je commence à pensé que tu a pas bien compris la complexité du problème ...)

[invite4b31cbd7]

Etrange, tous ceux qui ont dit avoir trouver la solution n'ont pourtant rien poster ni de la reponse ni de leur solution.

Tiens, sur le side de meme j'ai resolu la conjecture de Riemann , mais je posterai la solution plutard

[invite6f25a1fe]

Pour le moment, j'ai juste dit que je n'avais pas la même chose que toi.
J'ai bien fait un calcul, mais je n'aboutis pas à quelques chose de simple. Je doute qu'il y ait d'ailleurs une formule simple à ta question et c'est pour ca que je n'ai rien posté.
Sinon, d'où tire tu ce problème ? Ton document donne-t-il la solution (ca aiguillerai pour le calcul qui est plustôt lourd) ?
Sinon je continue de chercher à simplifier tout ca....

[invite6f25a1fe]

Bon, voila ce que j'ai trouvé en simplifiant au max (il faudrait refaire les calculs, j'ai peur d'être aller un peu vite sur la fin...)


Si quelqu'un peut confirmer, ou a une autre idée...

Il faudrait vérifier avec des fonction Chi simple, mais là je n'ai pas le temps (on voit qu'en même qu'avec chi=1, on a bien zéro, ce qui est déjà ca puisque alors 1 et l'exponentielle commute)

[invite4b31cbd7]

Pourrait tu detailler comment tu es arriver a cette solution ?

[invite6f25a1fe]

J'ai vérifié avec chi(x)=1, x, x² et ca marche, donc je suppose que c'est bon.
J'avoue qu'écrire toute la démo m'enchante pas trop (trop long avec Latex), donc je donnerais juste la méthode :
En fait, tu fais betement un calcul direct de [a,b]=ab-ba
Tu disais que chi pouvait être développée en série de Taylor. On utilise donc (moi je l'ai fait avec une série entière, mais c'est pareil) que
Point que je n'ai pas traité (mais je suppose qu'on peut le faire), c'est sortir la somme infini du [,]
Bref, en fait, ca revient à calculer :

C'est la que tu utilises [a,b]=ab-ba pour faire le calcul. Mon "erreur" à ce niveau a été de faire la simplification d'un des termes alors qu'il ne faut pas.
Le calcul est assez simple quand on sait ou on doit arriver, je te donne donc juste le résultat (si tu as des problèmes, je détaillerais ce passage) :

Pour avoir ce que tu veux, tu n'a plus qu'à rajouter la somme infinie devant
Tu vois alors, après avoir mis l'exponentielle en facteur, que cette somme infinie te fait apparaitre la série entière de ta fonction chi, d'où la formule que j'ai donnée.

P.S : J'aimerais bien savoir le but de tout ca ? Tu t'en sers pour démontrer ou expliquer quoi ?

[invite4b31cbd7]

Merci beaucoup Scorp,

En fait le seul probleme que j'avais c'est justement le passage que tu n'a pas detailler Sachant la reponse j'imagine que ca se fait bien par induction, mais comment tu a fais pour en arriver la toi ?

P.S. Pourquoi tu va savoir le but de ce probleme, moi qui a toujours pense que les mathematiciens pouvaient faire des math sans avoir de but non ?
Mais bon, ca serait long a explique si tu connais pas un peu de physique ? particulierement de la mecanique quantique ? QFT ? L'effet Unruh ? ...

[invitec317278e]

Ya une différence entre faire des maths, et faire du calcul

[invitedc979455]

j'ai commencé comme Scorp aussi

avec la définition du commutateur : [A,B] = AB - BA
mais après j'ai fait un truc bizarre avec la fonction chi

quelle expression de la fonction doit-on utiliser ?
parce qu'il y a différentes simplifications ?
laquelle est plus judicieuse ?

(mataka, je suis en stage, là j'ai un peu de temps, mais je n'aurai pas le temps de rédiger, je comprends pas en fait comment on manipule chi, je ne l'ai pas vue)

[invite4b31cbd7]

Chi est une fonction quelconque, que tu dois developpe en série de taylor ; à ce que je sache c'est la seule facon de manipuler une fonction d'un opérateur !

[invite6f25a1fe]

P.S. Pourquoi tu va savoir le but de ce probleme, moi qui a toujours pense que les mathematiciens pouvaient faire des math sans avoir de but non ?
Mais bon, ca serait long a explique si tu connais pas un peu de physique ? particulierement de la mecanique quantique ? QFT ? L'effet Unruh ? ...

C'est surtout pas curiosité en fait. Je connais un peu la MQ (j'ai découvert les commutateurs grace à la MQ d'ailleurs)

Pour andréwarusfel : Le but est effectivement de décomposer la fonction en série. Pourquoi, parce que sinon on ne sait pas comment agit tes opérateurs. Le fait de décomposer ta fonction permet de se ramener à faire le calcul juste pour une composante (ce que j'ai fait : passage où j'ai fixé n, détaillé plus bas dans le spoil). A ce moment, tu peux faire un calcul directe.
Le but sera alors, si possible, de trouver une forme simple pour ce terme [B^n, A] en espérant par la suite, en faisant la somme sur n de ses termes, retrouver l'expression de la fonction chi (ou quelques chose qui ressemble, ca aurait pu être la dérivée de chi etc...)
C'est un peu compliqué à expliquer comme ca, mais fait le calcul, tu comprendras de quoi je parle

Merci beaucoup Scorp,

En fait le seul probleme que j'avais c'est justement le passage que tu n'a pas detailler Sachant la reponse j'imagine que ca se fait bien par induction, mais comment tu a fais pour en arriver la toi ?

Il faut essayer d'anticiper le plus possible le calcul. J'entends par là qu'en fait, on sait à peu près ou on va (cf mon paragraphe du dessus) : Je cherche à avoir un terme [B^n, A] qui me permmettra de retourver ma fonction chi lorsque je ferais une somme sur n.
Comme je l'ai dit, le piège ici est de vouloir faire une simplification (j'imaginais ensuite quelques chose allant vers la dérivée de chi).

Voici le calcul du terme n, en spoil, comme ca vous pouvez continuer de chercher un peu par vous même :

 Cliquez pour afficher

On calcule le terme : j'applique mon commutateur à une fonction Psi quelconque, c'est plus facile et plus visible pour faire un calcul


C'est à ce moment là qu'on a envie de simplifier le dernier terme en faisant partir la somme de k=1. On espère alors en trifouillant la somme arriver à quelque chose de simple, mais apparement, c'est une impasse.

Donc on garde les deux termes :

Ici, l'astuce consiste à faire rentrer le (-i)^n dans le premier terme pour qu'il se simplifie en partie avec le i^k, ce qui nous donne du (-i)^(n-k), c'est qu'on veut vu que le but est en gros de retourver la formule du binome de newton qui nous donnera quelque chose de la forme avec D un terme qu'il faut trouver. On voit alors qu'en sommant sur n, on aura . c'est ce dont je parlais quand je disais qu'il faut anticiper le caclul. Du coup, on sait plus ou moins vers quoi se diriger, ca aide grandement au calcul

D'où :


On est arrivé à ce qu'on voulait : on a que des termes de la forme . On a plus qu'a sommer et le tour est joué

Pouaaa, vive LaTeX

[invite4b31cbd7]

Merci beaucoup !

J'etais justement tomber dans le piege de la simplification que tu parlais Et j'avais bloque la ...

Par rapport au contexte du probleme : La solution de ce probleme n'etant pas aussi simple que prevu, je dois abandonner cette direction. Par contre si quelqu'un trouve la solution au post : "integral tres special" plus bas (qui est pas tres populaire ... alors peut-etre que je vais reprendre cette direction.


Merci encore !