Dimension des TF

[Rhodes77]

Bonjour tout le monde !

J'ai un souci dans la correction d'une épreuve. Il s'agit d'étudier le mouvement de deux oscillateurs mécaniques (pendules) couplés (pour celles et ceux que ça intéresse, partie III de l'épreuve C de l'agreg externe de physique de 2001).
L'abscisse de la masse du bas est notée , celle du haut soumise à des ondes qui la font vibrer.
Au moyen du PFD, on établit l'EDO qui régit le mouvement de en fonction de celui de :



D'ordinaire, pour l'étude de cete EDO non-homogène (régime forcé) linéaire à coeff constants, on a l'habitude de poser la dépendance en et d'injecter dans l'EDO, pour trouver la dépendance de l'amplitude du mouvement avec la pulsation.

Ici le sujet propose une autre approche (mais qui revient au même finalment), et pose

On injecte ça dans l'EDO, on fait des vilaines approximations et on trouve finalement

L'énoncé nous dit alors qu'à une fréquence de 1 kHz, la fréquence propre est de 0.2 Hz et l'amplitude du premier miroir est de 1 µm.

Et le correcteur, tout heureux de proposer l'application numérique de la dernière formule pour trouver une valeur de .

Et moi là dedans, ce qui me choque (on y vient, rassurez-vous), ce sont les dimensions des quantités tildées. Selon le correcteur, elles s'expriment en m, mais au sens de Riemann, leur définition intégrale par TF me fait dire qu'elles s'expriment en m.s (au passage, unité surprenante s'il en est), puisque est une abscisse, l'exponentielle est adimensionnée et dt est en seconde.

Quelque chose m'échappe, mais quoi ?
Merci d'éclairer ma lanterne !
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[vaincent]

En effet, je serai tanté de dire la même chose, mais dans ce cas, si on prend la TF inverse on trouverait alors x1 en m.s² ! En toute logique il faudrait avoir un facteur multiplicatif devant la TF qui rétablisse la dimension de x1 tildé en m.

[Coincoin]

En effet, je serai tanté de dire la même chose, mais dans ce cas, si on prend la TF inverse on trouverait alors x1 en m.s² ! En toute logique il faudrait avoir un facteur multiplicatif devant la TF qui rétablisse la dimension de x1 tildé en m.

Ben non, la TF inverse serait , ce qui redonne bien des m.s.s⁻¹=m.
Je ne vois pas quel sens accorder à l'amplitude de la TF. Ce que le correcteur voulait donner, c'est , pas .

[vaincent]

Ben non, la TF inverse serait , ce qui redonne bien des m.s.s⁻¹=m.
Je ne vois pas quel sens accorder à l'amplitude de la TF. Ce que le correcteur voulait donner, c'est , pas .

Ha oui exact, au temps pour moi !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rhodes77]

Oui, je pense aussi qu'il s'agissait de déterminer x1. J'aurais injecté une solution en exponentielle comme je l'ai dit plus haut, mais seulement dans ces épreuves, on ne choisit pas toujours la méthode ! Je ne vois donc pas tellement l'intérêt d'invoquer la TF ici... étrange !!
Merci quand même !

[Coincoin]

L'idée sous-jacente est la même : tu aurais injecté une exponentielle parce que c'est des gentilles fonctions qui font une bonne base. Et c'est justement pour cela qu'on utilise autant la projection sur cette base : la transformée de Fourier.

[Rhodes77]

Oui oui, je comprends bien que c'est la même chose, d'ailleurs je l'ai bien précisé dans mon premier post. Mais tel que le sujet s'y prend, on est bel et bien confronté à un problème de dimensions, qui me fait perdre le lien avec la cohérence attendue de la méthode, et que je ne sais pas expliquer.