Aide Divergence et gradient

[invite44e47185]

Bonjour à tous

J'ai une petite question : tout d'abord l'intitulé de l'exo.

"On considère le champ de vecteur A(M) = 3x ex + y ey + 2z ez et la fonction f(M) = x² + y² + z².

1) Montrer que div (f.A) = 120 au point M(2,2,2) en calculant d'abord le vecteur f.A, puis sa divergence.

2) Faire le même calcul avec la relation vue en cours (A grad f + f div A).

3) Si x, y et z sont en mètres, quelle est l'unité de div (f.A) ?"

Mon problème est que la 1 j'arrive pas trop, et j'ai beau essayer de trouver mon erreur, j'ai toujours une divergence de 72, et non de 120. Pour la 2, c'est un peu pareil, j'ai du mal à calculer A grad f et f div A.

C'est surement bête, mais j'avoue que je sèche un peu. J'espère que vous avez compris et que vous pourrez m'aider

Merci d'avance !

Bibou
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[invite44e47185]

Je double post désolé :s

Alors arrêtez moi si je me trompe :

1) f.A = (x² + y² + z²) (3x + y + 2z) = (3x^3 + y^3 + 2z^3).
Mais après, si j'applique la divergence, ça donne (9x² + 3y² + 6z²) et avec le point M (2,2,2), ça donne pas 120 ... :/ C'est la que je butte.

2) J'avance pas des masses.
(après "calculs")

grad f = 2x ex + 2y ey + 2z ez (en utilisant le point M).
div A = 3 ex + ey + 2 ez (j'imagine que c'est faux ?)

Mais après trou noir pour savoir comment faire ... :/

[invitea3eb043e]

La composante de fA sur Ox, c'est 3 x (x²+y²+z²) et pareil pour les autres composantes.
Alors la dérivée de fAx c'est 9 x² + 3 y² + 3 z²
et quand on ajoute toutes les dérivées, on trouve 12x² + 8 y² + 10z² et ça fait bien 120.
Il ne s'agit pas de dire que A = 3x + y + 2z mais de voir qu'il y a 3 composantes, c'est un vecteur.
div(A) est un scalaire, pas un vecteur.

[arrial]

C'est surement bête

•1►
fA↑ = (x² + y² + z²)(3x;y;2z)
div (f.A↑) = ∇↑.fA↑
= ∂(3x(x² + y² + z²))/∂x
+ ∂(y(x² + y² + z²))/∂y
+ ∂(2z(x² + y² + z²))/∂z
= 3(x² + y² + z²) + 6x²
+ (x² + y² + z²) + 2y²
+ 2(x² + y² + z²) + 4z³
= .....
soit, en (2;2;2) ► ..... = 120

•2► (A grad f + f div A)
A↑.∇↑f + f.∇↑.A↑ = (3x;y;2z).(2x;2y;2z) +(x²+y²+z²)(3+1+2)
= 6x²+2y²+4z² + 6x²+6y²+6z² = 12x²+8y²+10z²
soit, en (2;2;2) ► 4*(12+8+10) = 120

•3► [f] = L² et [A↑] = L, tandis que [∇↑] = 1/L
→ cela nous donne donc quelque chose en L² (longueur au carré) et se mesurera donc en m² …





@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite44e47185]

Raaa j'suis vraiment un abruti :/

Désolé du retard de réponse, j'essayais de comprendre (j'ai même réussis ! ).

Effectivement, la première je dérivais pas la fonction f avec, ce qui m'induisait en erreur ... Pour la seconde, c'est le (3+1+2) que j'avais oublié ...

Merci beaucoup ! Vraiment désolé de vous avoir pris du temps, mais moi et la physique ... Vous risquez de me revoir de ce coté la du forum x).

Encore merci ! J'ai tout compris sur cette histoire, me reste juste à bien le bosser !

Bonne soirée