Aide pour un exercice de mécanique

[inviteec6c824c]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant:

Une bille de masse m est placée dans un rail circulaire de rayon R dans le plan vertical, elle peut glisser sans frottement. On note theta l'angle que fait la bille avec la verticale. Ce rail peut tourner autour d'un axe vertical ¢ passant par le centre, à une vitesse angulaire constante w.


La 1ère question demande l'angle Te correspondant à l'équilibre dans le réf R' où le rail est immobile, et l'expression de cos(Te) en fonction de g, w et R.

Je sais vraiment pas par où commencer. Quand le rail ne tourne pas j'ai
v=R*T'*e(t)
a=R(T''*e(t) - T'²*e(r))

Après je ne sais pas.. j'ai essayé d'utiliser la loide Newton dans un référentiel non galiléen mais je m'embrouille
Merci pour votre aide
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[LPFR]

Bonjour et bienvenu eu forum.
Ce problème est une version d'un autre classique: le "pendule conique", que vous trouverez sur le web et dans wikipedia.
On peut faire le problème aussi bien sur le repère non inertiel (non galiléen, non newtonien) tournant, avec la force centrifuge, que sur le repère fixe, avec la force centripète.
Dessinez les forces qui agissent sur le mobile: poids, réaction de l'anneau et force centrifuge ou centripète.
La réaction de l'anneau est radiale.
Si vous choisissez de travailler dans le repère inertiel, la somme du poids et de la réaction donnent la force centripète.
Si vous choisissez de travailler dans le repère tournant, la somme du poids et de la force centrifuge est compensée exactement par la réaction de l'anneau.
Choisissez votre repère et ne mélangez pas les deux solutions.

Calculez l'angle pour une vitesse de rotation de 0,1 rad/sec et revenez nous voir.
Au revoir.

[inviteec6c824c]

Alors en me plaçant dans le référentiel tournant je trouve que

ma(e)= P+R

avec a(e) l'accélération d'entraînement égale à -Lw²sinTx, P le poids et R la réaction.

sur (Ox) -mLsinTw² = -RsinT
sur (Oy) 0 = -mg + RcosT

donc soit sinT=0, soit cosT=g/Lw²

Ca marche à l'équilibre, mais ensuite je dois étudier le mouvement quand on écarte la masse de l'angle d'équilibre et je n'arrive pas à sortir d'équation générale sur l'angle.

[inviteec6c824c]

Et si j'en crois la formule, avec une vitesse de 0.1 rad/sec, il faudrait un diamètre d'environ 1km pour que la masse bouge non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Et si j'en crois la formule, avec une vitesse de 0.1 rad/sec, il faudrait un diamètre d'environ 1km pour que la masse bouge non?

Re.
Bien. Vous n'êtes pas tombe dans le piège de sinT > 1.
Je pense que si vous l'écartez de l'équilibre, il va osciller autour de cette position.
Calculez donc la force nette pour un petit écart de la position d'équilibre. Si l'écart est petit, vous pourrez approcher le sinus de l'angle d'écart à l'angle et vous vous retrouverez avec une espèce de pendule. Du moins, c'est ce que mon pif me dit. Mais je n'ai pas fait le calcul.
À demain.

[inviteec6c824c]

Pas sûr d'avoir compris la démarche.
J'ai essayé en étudiant comme un pendule simple avec seulement la force d'entraînement en plus. Je n'ai pas pris en compte la force de coriolis car il me semble qu'elle n'a pas de composante dans le plan du mouvement.. je trouve une équation du genre

T'' + gsinT/l = w²cosTsinT

et dans l'hypothèse fantaisiste où ce serait juste, je ne vois pas comment en déduire le mouvement pour un petit écart de l'équilibre :>

[LPFR]

Bonjour.
J'ai fait les calculs dans mon coin.
Calculez les forces tangentielles sur la masse: La composante du poids tangente au cercle et la composante de la force centrifuge tangente au cercle.
Dites que l'angle est maintenant

où thêta_o est l'angle d'équilibre.
La somme des forces tangentielles vers l'axe de rotation seront égales à -mL(d²θ/dt²).
Remplacez thêta par thêta_o + alpha. Développez les sinus et cosinus des sommes.
Remarquez que vous avez une partie (qui a cos(alpha) en facteur) qui s'annule.
Vous vous retrouvez avec une expression facteur de sin(alpha) égale à L(d²(alpha)/dt²).
Si alpha est petit, on peut approcher le sinus par l'angle, et vous vous retrouvez bien avec l'équation d'un pendule simple.
Mon "pif" avait raison.
Au revoir.

[inviteec6c824c]

Merci, avec ces indications je devrais m'en sortir mais.. j'ai fait les calculs dans mon coin aussi et c'est moins concluant..
Voilà l'expression que j'essaie de simplifier:

gsinT - Lw²cosTsinT = -LT''

ou le 1er terme est la composante tangentielle du poids et le second de la force centrifuge (divisés par m).
Comme l'expression redonne l'angle d'équilibre pour T''=0 je pense qu'elle doit être juste mais en posant T=T₀+a je ne parviens pas à éliminer cosa. est-ce la bonne équation?

[LPFR]

Re.
Oui, c'est la bonne équation.
Si 'a' est petit on peut faire l'approximation cos(a) = 0 et sin(a) = a.

Mais je viens de penser à une solution plus immédiate. L'accélération subie par la masse est la somme de l'accélération de gravité plus l'accélération centrifuge. Et la somme des deux à justement al direction donné par thêta. Donc la valeur de cette accélération est
g' = g/cos(thêta)
El la masse oscille comme un pendule de longueur L sous une accélération de gravité g'.
A+