Quadrivecteurs et accélération

[isozv]

Bonsoir à tous

j'ai deux questions pour ce post. La première est sympa (non calculatoire) et la deuxième l'est beaucoup moins je pense. Donc allons-y :

1. Que connaissez-vous comme quadrivecteurs mis à part :

- quadrivecteur déplacement
- quadrivecteur vitesse
- quadrivecteur force
- quadrivecteur énergie-impulsion
- quadripotentiel
+ certains que je dois oublier à l'instant

2. Soit le pdf en pièce jointe. Quelqu'un aurait les détails pour passer de (31) à (32) parce que le "some algebra" de l'auteur me semble très nuancé (j'en suis à une page de développements et je me demande s'il y a pas un truc très court).

Merci d'avance à tous pour votre aide et bonne fin de soirée
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[mariposa]

j'ai deux questions pour ce post. La première est sympa (non calculatoire) et la deuxième l'est beaucoup moins je pense. Donc allons-y :

1. Que connaissez-vous comme quadrivecteurs mis à part :

- quadrivecteur déplacement
- quadrivecteur vitesse
- quadrivecteur force
- quadrivecteur énergie-impulsion
- quadripotentiel
+ certains que je dois oublier à l'instant

J'ajouterais:

quadrivecteur moment
quadrivecteur gradient

[Rincevent]

salut,

quadrivecteurs qui me viennent à l'esprit :

- courants, construits avec densité quelconque + vecteur flux avec des gammas là où il faut : flux de charge électrique, flux de nombre baryonique, de masse, etc...
- spin

pour ce qui est du calcul, tu as juste besoin de la formule du double produit vectoriel a ^ (b ^ c) = (a.c) b - (a.b) c

si tu développes A² à l'aide de ça et que tu utilises 1/gamma² = 1 - beta² tu obtiens le résultat en trois lignes.

Enfin, ça c'est si on tient compte du fait (et c'est têt ça qu'il te manque ) que le carré du module de a ^ b peut se réécrire a² b² - (a.b)²

[isozv]

Slt Rincevent

Merci pour ta réponse. Après plusieurs tentatives j'ai essayé comme tu le proposes mais moi je suis en A4 vertical et pas en A0 paysage... donc si c'était possible j'aimerais bien voir tes 3 lignes si c'était possible... (ce qui n'empêche pas que je vais ressayer à nouveau comme tu le proposes).

PS: merci pour vos quadrivecteurs

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rincevent]

mais moi je suis en A4 vertical et pas en A0 paysage...

fallait le dire avant

alors b ^ (b ^ a), tu le réécris (ba)b - b² a que je note c (quand un produit est entre parenthèses c'est que c'est un produit scalaire).

dans un premier temps je zappe le gamma^8 qui est en facteur. On alors

A² = - (ba)² + a² + 2 a . c + c²

or, si tu prends le carré de c, tu as

c² = (ba)²b² + b^4 a² - 2 b² (ba)²

où b^4 est le carré de b² (euh, ouais, c'est têt évident )

alors que a . c te donne (ab)² - a² b²

tu rassembles tout le monde :

A² = - (ba)² + a² + 2 (ab)² - 2 a²b² + (ba)² b² + b^4 a² - 2 b² (ba)²

tu simplifies

A² = (a.b)² [ - 1 + 2 + b² - 2 b²] + a² [1 - 2 b² + b^4]

d'où

A² = [1-b²] { (ab)² + a² [1 - b² ] }

le 1 - b² vire un gamma² du facteur initial et tu reconnais

|a ^ b|² = a²b² - (ab)²

et t'as pas intérêt à avoir écrit "ok c'est bon" pendant que je tapais ça en essayant de détailler un max (d'où plus de 3 lignes) et vérifiant les étapes...

[isozv]

Slt Rincevent

Ok... effectivement je t'explique pourqoi mees calculs sont longs :

Au fait, moi je détaille le travail sur les composantes. Effectivement, par exemple (relation que je ne connais pas) :

|a ^ b|² = a²b² - (ab)²

moi je n'arrive pas à lire ceci. |a ^ b|² est la norme du produit vectoriel ? a²b² c'est un scalaire ça ou un vecteur c'est quoi exactement ce ma machin ?

au fait ce qui me gêne avec cette méthode à la physicien c'est que tu gères les vecteurs comme si c'était des scalaires et tu les mets au carré ou tu les multiplies. Bon certes, il est clair que quand tu fais cela tu travailles souvent implicitement sur les composantes mais dans l'exemple a²b² - (ab)² moi je pige pas ce que tu fais par (mais cela doit être un manque d'habitude).

[deep_turtle]

C'est pas vraiment une méthode "de physicien", c'est une notation simplifiée destinée à un message de forum.

Dans l'écriture de Rincevent il n'y a pas d'ambiguité : a, b et c sont des vecteurs, donc a^2, b^2 et c^2 sont des produits scalaires de vecteurs avec eux-mêmes, i.e les normes au carré (c'est la définition de la norme). Ce sont donc des quantités scalaires. Les quantités entre parenthèse (a.b) sont des produits scalaires, comme précisé par Rincevent, et enfin le a ^ b est un produit vectoriel, donc c'est un vecteur. On peut ensuite en calculer la norme...

Pour la relation |a ^ b|² = a²b² - (ab)², tu la connais, en fait, pour des vecteurs 3D habituels : le terme de gauche vaut a²b²(sin)², et le deuxième terme du membre de droite vaut a²b²(cos)² où sin et cos s'appliquent à l'angle entre a et b...

[isozv]

Ok merci pour ton intervention. C'est que je me refuse depuis des années par principe d'écrire a^2 pour un produit scalaire (et donc in extenso une norme).

C'est pourquoi j'avais fait les calculs en notationt tensorielle car cela me semblait plus propre. Je vais adapter cela quand même un peu à ma sauce.

Merci à tous les deux en tout cas et bon week-end

[Rincevent]

C'est pas vraiment une méthode "de physicien", c'est une notation simplifiée destinée à un message de forum.

exactement

j'avais pas le courage de tout faire en Latex et comme tu le disais les notations n'étaient pas ambigues même si pas "super classiques"

C'est que je me refuse depuis des années par principe d'écrire a^2 pour un produit scalaire (et donc in extenso une norme).

mauvaise idée

C'est pourquoi j'avais fait les calculs en notationt tensorielle car cela me semblait plus propre.

les deux notations (indicée ou vectorielle) sont tout aussi propres mathématiquement... en plus, vaut mieux savoir passer d'une notation à l'autre sans problème... car parfois les indices sont inévitables pour pas s'embrouiller, mais parfois ils font perdre du temps la notation vectorielle étant "plus condensée" et moins propice à erreur... plus concrètement : ici tu n'avais pas d'opérateurs différentiels donc c'est typiquement un cas où tu peux t'en sortir avec les vecteurs sans risques.

en tous cas, ici, en notation indicée ça change presque rien.... simplement, ce que tu as besoin de connaître (et que tu ignores peut-être) c'est la relation suivante entre les tenseurs complètement antisymétriques (mais je t'assure que le calcul se fait tout aussi rapidement)



où le delta est évidemment le Kronecker. Pour faire ton calcul en notation indicée, tu appliques cette formule pour gérer le double produit vectoriel et la norme d'un produit vectoriel.

[isozv]

Re bonjour à tous

Merci encore pour votre aide. J'ai une dernière question.

En relaitivité restreinte on construit le quadrivecteur vitesse afin qu'il soit transformable d'un référentiel à l'autre par la matrice de passage de Lorentz habituelle. Qu'en est-il du quadrivecteur accélération ? Je n'ai à ce jour jamais vu dans la littérature l'expression de transformation de celle-ci en faisant usage de la matrice de Lorentz. Auriez-vous un papier là-dessus ou un site web ?

Merci d'avance

[Rincevent]

bonjour,

Qu'en est-il du quadrivecteur accélération ? Je n'ai à ce jour jamais vu dans la littérature l'expression de transformation de celle-ci en faisant usage de la matrice de Lorentz. Auriez-vous un papier là-dessus ou un site web ?

je ne sais pas si on le fait très souvent (je me souviens plus si j'ai déjà vu un tel truc) étant donné que :

- c'est un quadrivecteur donc il se transforme par TF usuelle
- lorsqu'on parle d'accélération, généralement cela veut dire qu'on a deux référentiels privilégiés : un observateur inertiel et l'observateur accéléré. Or, pour passer de l'un à l'autre on doit utiliser la RG et non la RR.