Echauffement d'un cable électrique

[invited095e034]

Bonjour a tous,
dans le cadre d'un projet, j'ai une étude à faire à propos des échauffements d'un cable électrique mais j'ai plusieurs problèmes.
Tout d'abord l'équation de diffusion s'écrit:
-k∆T=s avec k constante.
Je sais que s est en fait la source de chaleur mais je ne sais pas comment l'exprimer.
Ensuite j'ai réussi à voir que T ne dépendait que du rayon mais pas de l'angle, il me font donc procéder à un changement de variable pour pouvoir appliquer la méthode spectrale et résoudre cette équation...mais j'ai vraiment aucune idée de quoi faire!! Pourriez vous me donner quelques indices !
Merci d'avance pour vos réponses,
Cordialement
Geoffrey.
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[invite6dffde4c]

Bonjour et bienvenu au forum.
On suppose une symétrie axiale et que la densité (surfacique) de courant J dans le fil est uniforme.
Prenez un cylindre de rayon 'r' et de longueur L.
Calculez la résistance électrique de ce cylindre (rho.L / (pi r²)). Calculez la puissance W dissipée (I²R).
Cette puissance W sort du volume par la surface S cylindrique et obéit à:
W = - k S dT / dr
Remplacez tout et vous arriverez à une équation différentielle (très) simple. Vous pourrez calculer comment varie la température avec le rayon.
Au revoir.

[invited095e034]

Tout d'abord merci pour votre réponse, en remplaçant dans l’équation de base j'arrive à exprimer s :
s=I².rho.L / pi².(r^6). Mon expression de s est-elle correcte?
Après j'ai essayer un changement de variable pour obtenir une équation plus simple à résoudre.
En posant
u(r)=T(r)/(r^p)
On retrouve une équation de la forme :
(1/r)dT(r)/dr+ d²T(r)/dr²= -s/k
Mais je ne vois pas comment appliquer la méthode spectrale à cette équation! Auriez vous quelques pistes ou indices à me donner afin de trouver l'expression du champ de température??
Merci d'avance,
Geoffrey.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je ne vois pas ce que vous appelez 's'.
Et je ne vois pas nom plus na nécessité d'une méthode "spectrale" alors que la solution est directe.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited095e034]

Bonjour,
Alors dans l'équation de diffusion (-k∆T=s), s correspond en fait à la source de chaleur, et je n'arrive pas à trouver une expression de cette source.
Je dois d'abord résoudre cette équation analytiquement et ensuite faire une résolution numérique avec Matlab.

[invite6dffde4c]

Re.
Je vous suggère de lire le post #2.
Le tout demande 3 ou 4 lignes de calcul à la main.
A+

[invited095e034]

Re,
Je pense qu'il y a malentendu! En effet ∆T représente le laplacien de la température. Donc en utilisant les symétries et les invariances, on montre que T ne dépend que de r et on tombe sur une équation de la forme:
1/r . dT/dr + d²T/dr² = -s/k
où k est une constante propre au matériau du câble est s la source de chaleur.
Je ne sais pas résoudre ce genre d'équation donc j'essaye de me rapporter à une forme où je saurai utiliser la méthode spectrale.
Maintenant peut être que je me trompe complètement et que comme vous dites la solution se trouve en 3 ou 4 lignes! Mais si tel est le cas je n'arrive pas à trouver l'astuce!

[invite2313209787891133]

Bonjour

Quelle est exactement la question ? Le but est de trouver la température du câble en fonction de la puissance dissipée ?

[invite6dffde4c]

Maintenant peut être que je me trompe complètement et que comme vous dites la solution se trouve en 3 ou 4 lignes! Mais si tel est le cas je n'arrive pas à trouver l'astuce!

Re.
Il n'y a pas d'astuce.
Suivez les instructions que je vous ai données.
A+

[invited095e034]

Il faut que je retrouve l'expression du champ de température dans le câble et je suis quasiment sûr qu'il faut utiliser la méthode spectrale, mais pour ça il me faut faire un changement de variable, et je ne sais pas quel changement faire.
Et je n'arrive pas non plus à trouver une expression de la source de chaleur s.
Une fois cela finis, je pourrai passer au numérique.

[invite2313209787891133]

Pas besoin de tout ce charabia; pour trouver l'évolution de la température dans la section du câble (si j'ai bien compris) il n'y a besoin que de la puissance dissipée et de la géométrie du câble (et son environnement bien sur; il est évident qu'un câble tendu dans le vide ne sera pas à la même température qu'un câble enroulé sur une bobine).

[invited095e034]

Ok, je suis en train d'essayer de faire ce que m'avais dis LPFR, seulement je ne sais pas quoi remplacer ni où le remplacer! J'ai essayer d'exprimer dT / dr donc d'après LPFR, j'ai dT / dr = -W/kS
Ensuite je réinjecte cette expression dans l'équation de la diffusion mais sa ne m'emmène rien de plus, je tombe sur :
-(3.rho.L.I²) / (pi².r^5) = s
Donc je sais pas ce qu'il me manque? Peut-être en trouvant une expression de s en fonction de T?

[invited095e034]

Bonjour, bon j'ai bien avancé dans mon projet.
Mais là je bloque sur la partie numérique, il me manque un terme que je ne trouve pas:
qu'est que le terme caractéristique des échanges lateraux?
Il est appelé lambda dans mon énoncé et c'est une constante, donc pour la résolution numérique sur matlab j'ai besoin de lui donner une valeur, en sachant que j'ai pris un cable de cuivre, je ne trouve pas la valuer correspondante sur internet...
Merci d'avance de vos réponses!