Principe de la mesure et opérateurs non bornés

[justine&coria]

Salut à tous,

Le postulat de la mesure dit que si un système est dans l'état et que si le résultat de la mesure de est , alors immédiatement après la mesure, le système se trouve dans l'état projeté sur le sous-espace de la valeur propre .

Qu'en est-il si est un opérateur non-borné, i.e. ses vecteurs propres n'appartiennent pas à l'espace des états ?

Dans quel état se trouve par exemple un système dont j'ai mesuré la position, avec pour résultat ? Le postulat de la mesure appliqué tel quel dirait que le système se trouve dans l'état ce qui n'est pas possible !

Merci d'avance pour vos réponses.
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[vaincent]

Salut à tous,

Le postulat de la mesure dit que si un système est dans l'état et que si le résultat de la mesure de est , alors immédiatement après la mesure, le système se trouve dans l'état projeté sur le sous-espace de la valeur propre .

Qu'en est-il si est un opérateur non-borné, i.e. ses vecteurs propres n'appartiennent pas à l'espace des états ?

Dans quel état se trouve par exemple un système dont j'ai mesuré la position, avec pour résultat ? Le postulat de la mesure appliqué tel quel dirait que le système se trouve dans l'état ce qui n'est pas possible !

Merci d'avance pour vos réponses.

Il faut d'abord se demander si cette question à un sens en physique. Un opérateur non-bornée est avant tout un opérateur partiellement définie sur un espace de Hilbert. Il se peut donc que certains vecteurs propres de A appartiennent à l'espace des états.
Deuxièmement, et c'est la question la plus importante, est-ce-que tu sais si une observable peut-être un opérateur non-borné ?

[justine&coria]

Il faut d'abord se demander si cette question à un sens en physique. Un opérateur non-bornée est avant tout un opérateur partiellement définie sur un espace de Hilbert. Il se peut donc que certains vecteurs propres de A appartiennent à l'espace des états.
Deuxièmement, et c'est la question la plus importante, est-ce-que tu sais si une observable peut-être un opérateur non-borné ?

Oui, bien sûr, je sais qu'un opérateur non-borné peut avoir des vecteurs propres qui appartiennent à l'espace des états.
Mais là n'est pas la question.

Je pense avoir donné une bonne idée de ma question avec l'exemple suivant :
"Dans quel état se trouve par exemple un système dont j'ai mesuré la position, avec pour résultat ? Le postulat de la mesure appliqué tel quel dirait que le système se trouve dans l'état ce qui n'est pas possible !"

(et l'opérateur position est bien une observable).

[vaincent]

Oui, bien sûr, je sais qu'un opérateur non-borné peut avoir des vecteurs propres qui appartiennent à l'espace des états.
Mais là n'est pas la question.

Ah bon ? Pourtant c'était ta question initiale :

Qu'en est-il si est un opérateur non-borné, i.e. ses vecteurs propres n'appartiennent pas à l'espace des états ?

"Dans quel état se trouve par exemple un système dont j'ai mesuré la position, avec pour résultat ? Le postulat de la mesure appliqué tel quel dirait que le système se trouve dans l'état ce qui n'est pas possible !"

(et l'opérateur position est bien une observable).

Tu dis que c'est impossible mais tu ne dis pas pourquoi c'est impossible. Or l'opérateur de position n'est pas une observable non-borné. Donc la question ne se pose pas justement. De plus ça montre bien que tu ne t'es pas posé la question que je t'avais proposé : "Est-ce-qu'une observable physique peut-être associée à un opérateur non-borné ?".

La réponse est non bien entendu, car par définition une observable doit-être complètememt définie sur l'espace de Hilbert et non partiellement comme c'est le cas pour les opérateur non-bornés. Le postulat de la mesure s'applique à ce qui est mesurable, c'est-à-dire obervable, c'est-à-dire à des opérateurs bornés.

[A voir en vidéo sur Futura]

[justine&coria]

Ah bon ? Pourtant c'était ta question initiale :

La phrase que t'as citée se rapportait à ce qui était dit juste avant. Alors, le "i.e." n'est peut-être pas correct, mais ce n'était pas là la question.

Ah bon ? Pourtant c'était ta question initiale :

Tu dis que c'est impossible mais tu ne dis pas pourquoi c'est impossible. Or l'opérateur de position n'est pas une observable non-borné. Donc la question ne se pose pas justement. De plus ça montre bien que tu ne t'es pas posé la question que je t'avais proposé : "Est-ce-qu'une observable physique peut-être associée à un opérateur non-borné ?".

La réponse est non bien entendu, car par définition une observable doit-être complètememt définie sur l'espace de Hilbert et non partiellement comme c'est le cas pour les opérateur non-bornés. Le postulat de la mesure s'applique à ce qui est mesurable, c'est-à-dire obervable, c'est-à-dire à des opérateurs bornés.

Mhhh. Il me semblait que l'opérateur position était l'exemple classique d'opérateur non-borné. Son spectre est d'ailleurs continu et composé de vecteurs propres généralisés n'appartenant pas à l'espace des états.
La position est pourtant bien mesurable.

Donc, je reformule ma question alors : si je mesure la position d'un système et que j'obtiens , le postulat de la mesure appliqué tel quel me dit que juste après la mesure, le système se trouve dans l'état .
Or cet état n'est pas possible pour le système puisque ce n'est pas un vecteur de l'espace des états...

Est-ce que je me fais mieux comprendre ?

[invite54165721]

Qu'en est-il si est un opérateur non-borné, i.e. ses vecteurs propres n'appartiennent pas à l'espace des états ?

Pour traiter ces cas Guelfand a créé les rigged hilbert spaces. Il s'agit de triplets
(2 encadrent l'espace de Hilbert et contiennent les états qui t'interessent)

[justine&coria]

Est-ce que je me suis si mal exprimé que ça ?
Les triplets de Gelfand, je connais aussi.

Je reformule ma question alors.

Le postulat de la mesure dit qu'après une mesure d'une observable , le système passe dans le sous-espace vectoriel associé à la valeur propre .

Ce postulat pose problème lorsque l'opérateur en question est l'opérateur position par exemple. Parce que le sous-espace associé à la mesure de la position est le sous-espace engendré par qui n'est pas un vecteur d'état.

La contradiction est donc la suivante :
1. Le postulat de la mesure me dit qu'après la mesure, le système est dans l'état ,
2. La mécanique quantique me dit que le système ne peut pas être dans l'état .

Ma question est donc de savoir ce que la MQ en dit.

[Armen92]

1) La position est pourtant bien mesurable.
2) Donc, je reformule ma question alors : si je mesure la position d'un système et que j'obtiens , le postulat de la mesure appliqué tel quel me dit que juste après la mesure, le système se trouve dans l'état .

0) Un opérateur non borné n'a pas de sens physique : en Physique, l'infini (du matheux) n'existe pas
1) Oui et non, cela dépend de ce que l'on entend par là.
2) Toute mesure donne un résultat avec une certaine erreur.
Quand l'observable est discrète et que l'erreur est plus petite que l'écart entre la valeur observée et toute autre valeur du spectre, on peut affirmer que la mesure est strictement exacte : la quantification vole au secours du physicien confronté à l'inévitable imprécision expérimentale.
Quand l'observable est continue, aucune mesure ne pouvant donner un résultat infiniment précis, l'état issu de cette mesure reste un paquet d'ondes présentant une largeur de l'ordre de l'erreur expérimentale.

[justine&coria]

0) Un opérateur non borné n'a pas de sens physique : en Physique, l'infini (du matheux) n'existe pas
1) Oui et non, cela dépend de ce que l'on entend par là.
2) Toute mesure donne un résultat avec une certaine erreur.
Quand l'observable est discrète et que l'erreur est plus petite que l'écart entre la valeur observée et toute autre valeur du spectre, on peut affirmer que la mesure est strictement exacte : la quantification vole au secours du physicien confronté à l'inévitable imprécision expérimentale.
Quand l'observable est continue, aucune mesure ne pouvant donner un résultat infiniment précis, l'état issu de cette mesure reste un paquet d'ondes présentant une largeur de l'ordre de l'erreur expérimentale.

Oki. Et est-ce qu'il est alors correct de dire, dans l'exemple que j'ai cité, que si je mesure , alors le système se trouve dans l'état :
?

[Armen92]

Oki. Et est-ce qu'il est alors correct de dire, dans l'exemple que j'ai cité, que si je mesure , alors le système se trouve dans l'état :
?

C'est, au facteur de normalisation près, l'une des modélisations possibles (un créneau). Mais on pourrait tout autant choisir un paquet d'ondes gaussien, lorentzien, etc.
Tout est une question d'échelles physiques... comme toujours en Physique :

a) si est irrelevant pour la question physique, peu importe ce que l'on prend, cela revient par la suite à utiliser la "fonction" de Dirac. Dans le cadre de la théorie des distributions, ce serait considérer différentes suites équivalentes définissant toutes la distribution .

b) si est pertinent, alors on n'a pas le choix, et c'est la physique du problème qui fixe la forme du paquet d'ondes.

[Armen92]

C'est, au facteur de normalisation près,...

Désolé pour l'erreur : le facteur de normalisation est ...