Origine coefficients de Fourier

[membreComplexe12]

Bonjour comme mon titre l'indique j'ai du mal a voir l'origine de l'expression des coeff de Fourier:

pour a0 ==> la valeur moyenne du signal
pour an et bn ==> sa ressemble a une projection mais de quoi exactement?

merci de votre aide
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[membreComplexe12]

en faite j'ai du mal à comprendre autant physiquement que mathématiquement comment Fourier à trouvé ces expressions.....

j'espere que vous pourrez m'expliquer

[invitea774bcd7]

ça ressemble à une projection mais de quoi exactement?

Oui, tout simplement une projection de ta fonction sur une base de cosinus et de sinus.

[membreComplexe12]

Oui, tout simplement une projection de ta fonction sur une base de cosinus et de sinus.

mais si c'est une projection de ma fonction pourquoi il y a cette integrale? on fait la moyenne de la projection de la fonction?

pourquoi y a t il un 2 en facteur?


==>
Je ne vois pas trop pourquoi cette projection "moyennée"(??) nous donne bien une décomposition de la fonction en serie trigo (la c'est plus des math peut etre)
bref vous n'auriez pas un lien detaillant les debut de cette formulation (quelles inspirations à eu fourier, pourquoi une tel decomposition...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Salut,
Cette intégrale peut être vue comme un produit scalaire entre fonctions. Les fonctions trigonométriques ont alors le bon goût de former une base orthogonale, donc faire le produit scalaire de ta fonction par une fonction trigonométrique te donne la coordonnée correspondante.

[invitea774bcd7]

mais si c'est une projection de ma fonction pourquoi il y a cette intégrale?

Ah… Bah c'est comme ça qu'on fait une projection.
C'est quoi pour toi une projection ?

Ce qui se passe, c'est que les fonctions cos(nkx) et sin(nkx) forment une base orthonormée pour n>=1 par rapport au produit scalaire définit par l'intégrale entre -pi et pi.
Ça veut dire que
Donc bah voilà… Par rapport à ce produit scalaire particulier qui est cette intégrale de -pi à pi, tu as une base orthonormée et donc tu peux développer n'importe quelle fonction sur cette base.

[legyptien]

La question est peut etre idiote mais mieux vaut la poser...

Sans me plonger dans les details, l'expression dans la seconde integrale est une fonction impair integree sur un interval symetrique. Ca donne 0 ca normalement ?

Pour les autres integrales ca ne semble pas etre nul....

Merci

[Coincoin]

Tu as raison. La deuxième intégrale est nulle. Les cosinus forment une famille orthonormée, les sinus aussi, les cosinus et les sinus sont orthogonaux entre eux. Et si tu prends les deux, tu as donc une famille orthonormée.

[legyptien]

Tu as raison. La deuxième intégrale est nulle. Les cosinus forment une famille orthonormée, les sinus aussi, les cosinus et les sinus sont orthogonaux entre eux. Et si tu prends les deux, tu as donc une famille orthonormée.

ok mais n'y a t'il pas une incohérence ? En postant mon premier message je pensais que l'intégrale de la fonction "produit de cos" ne faisait pas zero car pair. Mais une fonction pair intégrée sur un interval symétrique peut être nulle sans que la fonction soit nulle donc il n'y a pas d'incohérence. Mais d'un autre coté il a mis = à un dirac (je suppose) . Il a pas mis égale à zéro ??!!

[Coincoin]

Le delta est ici le symbole de Kronecker :

[membreComplexe12]

en faite moi je connais la projection de vecteur mais de fonction je ne connais pas vraiement.

pouvez vous plus detailler svp cette partie?

[Magnétar]

Bonjour,

Ben si tu connais la projection entre vecteurs tu vas pouvoir généraliser assez facilement. Parce que en fait tes fonctions sont aussi des vecteurs, au sens elles appartiennent à un espace vectoriel (comme les vecteurs que tu connais).
De même le produit scalaire que tu connais n'est qu'un cas particulier du produit scalaire "général". En fait celui que tu utilises tous les jours est le produit scalaire canonique de Rⁿ, n étant souvent limité à 2 ou 3.

La définition générale d'un produit scalaire est que c'est une forme définie sur une espace vectoriel à valeur dans R qui est bilinéaire, symétrique, définie positive. Pour éclaircir tout ça, en gros ça veut dire si tu considères une application f qui à pour variables trois vecteurs u,v,w d'un espace vectoriel E alors si f vérifie les propriétés suivantes f est un produit scalaire :

Bilinéarité:
f(au+v,w)=af(u,w)+f(v,w)
f(u,av+w)=af(u,v)+f(u,w) où a appartient à R

Symétrie :

f(u,v)=f(v,u)

Définie positif :




Maintenant tu pourras montrer que l'application A définie sur un espace vectoriel de fonctions "sympathiques", qui a deux fonctions f et g fait correspondre :

est bien une application qui vérifie les propriétés d'un produit scalaire et est donc un produit scalaire. Grâce à ce genre de chose tu peux après définir des angles entre fonctions, ou encore la norme d'une fonction bref... Tu peux voir facilement que quand tu calcules les composantes de Fourier d'une fonction périodique tu fais un produit scalaire entre ta fonction et les cosinus et sinus qui eux forment une base de ton espace vectoriel.

[legyptien]

Le delta est ici le symbole de Kronecker :

mais coincoin....

Ce que vous dites de regle pas le probleme ou alors c'est moi qui a pas compris.

Supposons n=m, le Kroneker vaut 1 et pourtant il est sensé être égale àla seconde integrale qui est nulle !!!

Qu'est ce que j'ai pas compris ?

[SchliesseB]

il y a une erreur dans son message
la seconde intégrale vaut toujours 0
la première et la 3eme valent 0 sauf si n=m et alors elles valent 1

[legyptien]

Bonjour,

Ben si tu connais la projection entre vecteurs tu vas pouvoir généraliser assez facilement. Parce que en fait tes fonctions sont aussi des vecteurs, au sens elles appartiennent à un espace vectoriel (comme les vecteurs que tu connais).
De même le produit scalaire que tu connais n'est qu'un cas particulier du produit scalaire "général". En fait celui que tu utilises tous les jours est le produit scalaire canonique de Rⁿ, n étant souvent limité à 2 ou 3.

La définition générale d'un produit scalaire est que c'est une forme définie sur une espace vectoriel à valeur dans R qui est bilinéaire, symétrique, définie positive. Pour éclaircir tout ça, en gros ça veut dire si tu considères une application f qui à pour variables trois vecteurs u,v,w d'un espace vectoriel E alors si f vérifie les propriétés suivantes f est un produit scalaire :

Bilinéarité:
f(au+v,w)=af(u,w)+f(v,w)
f(u,av+w)=af(u,v)+f(u,w) où a appartient à R

Symétrie :

f(u,v)=f(v,u)

Définie positif :




Maintenant tu pourras montrer que l'application A définie sur un espace vectoriel de fonctions "sympathiques", qui a deux fonctions f et g fait correspondre :

est bien une application qui vérifie les propriétés d'un produit scalaire et est donc un produit scalaire. Grâce à ce genre de chose tu peux après définir des angles entre fonctions, ou encore la norme d'une fonction bref... Tu peux voir facilement que quand tu calcules les composantes de Fourier d'une fonction périodique tu fais un produit scalaire entre ta fonction et les cosinus et sinus qui eux forment une base de ton espace vectoriel.

pouvez vous donner un exemple de fonction f(u,v,w) s'il vous plait ?

[invitea774bcd7]

mais coincoin....
Ce que vous dites de regle pas le probleme ou alors c'est moi qui a pas compris.
Supposons n=m, le Kroneker vaut 1 et pourtant il est sensé être égale àla seconde integrale qui est nulle !!!
Qu'est ce que j'ai pas compris ?

Oui, y a une erreur dans mon message… On va pas en faire un fromage, tout le monde avait compris ce que je voulais dire

[legyptien]

Oui, y a une erreur dans mon message… On va pas en faire un fromage, tout le monde avait compris ce que je voulais dire

Mais je suis désolé, mon but n'est pas de pointer du doigt votre erreur. Personne n'est parfait.

Si tout le monde a compris ce que vous voulez dire alors je suis le seul à ne pas avoir compris:

Qu'est ce qui est faux ? Est ce que c'est l'égalité avec le kroneker ? est ec que c'est l'égalité de la seconde integrale qui n est pas egale avec les deux autres integrales (qui elles sont egales au Kroneker).

Je vous assure que je n'ai toujours pas vu où est l'erreur même si je vois que la seconde integrale n'est pas egales aux deux autres integarle. est ce que ces dernieres sont egales au kroneker ?

De plus j'ai poser une question sur un exemple de f car f depend de vecteur et pourtant on dit a un moment f(u,u) >0 (f est donc un scallaire qui depend d un vecteur) . Il faudrait donc que f soit composé d'un produit scalaire (qui transforme un vecteur en scalaire) ? Si c est le cas alors c'est bizarre qu'on utilise apres un autre produit scalaire entre f et g (l'integarle).

Bref je vois pas en quoi le produit scalaire "generale" peut etre particularisé et devenir le produit scalaire qu'on a appris il y a longtemps. (une demo serait super).

PS: Désolé je n'ai pas voulu vous offenser, j'ai juste chercher à comprendre...

EDIT: je viens de voir le message de SchliesseB mais la demo du produit scalaire generale qui vire au produit scalaire "particlier" est encore obscure a mes yeux

[Magnétar]

est ec que c'est l'égalité de la seconde integrale qui n est pas egale avec les deux autres integrales (qui elles sont egales au Kroneker)

C'est la réponse. C'est la seconde intégrale qui n'est pas égales aux deux autres.

pouvez vous donner un exemple de fonction f(u,v,w) s'il vous plait ?

Là c'est moi qui me suis mal exprimé. f est une application qui admet deux vecteurs pour variables, mais on a besoin de trois vecteurs différents pour donner les propriétés, bref désolé pour la confusion que j'ai pu apporter.

[legyptien]

C'est la réponse. C'est la seconde intégrale qui n'est pas égales aux deux autres.



Là c'est moi qui me suis mal exprimé. f est une application qui admet deux vecteurs pour variables, mais on a besoin de trois vecteurs différents pour donner les propriétés, bref désolé pour la confusion que j'ai pu apporter.

On doit pas voir f comme une combinaison linéaire des deux vecteurs qui sont en variable je suppose ? Parce que f est un scalaire. Donc j'avais penser que f représentait le produit scalaire générale puisqu'il se "sert" des deux variables (vecteurs) qui lui sont rentré en "entrée".
Mais ca semble pas etre le cas puisque f est lui meme pris comme étant une valeur des composantes du produit scalaire "particulier" qu'on connait depuis toujours (je suis clair ?).

Bref c'est encore flou pour moi

Merci

[Magnétar]

De plus j'ai poser une question sur un exemple de f car f depend de vecteur et pourtant on dit a un moment f(u,u) >0 (f est donc un scallaire qui depend d un vecteur) . Il faudrait donc que f soit composé d'un produit scalaire (qui transforme un vecteur en scalaire) ? Si c est le cas alors c'est bizarre qu'on utilise apres un autre produit scalaire entre f et g (l'integarle).

Dans la définition d'un produit scalaire f est une application (plus strictement une forme) définie sur un espace vectoriel.

Dans la suite je donne un exemple d'une application A définie sur un espace vectoriel de fonctions, f et g étant deux vecteurs de cet espace vectoriel (vecteurs au sens général, au sens appartient à un espace vectoriel, pas vecteurs avec des petites flèches dessus ces derniers n'étant qu'un cas particulier de vecteurs). Et là f et g sont bien des fonctions, mais ce sont aussi des vecteurs au sens qu'elles appartiennent à un espace vectoriel. A la rigueur si les notations te trouble tu peux remplacer f par h dans la dernière partie du message (à partir de "Maintenant...").

Bref je vois pas en quoi le produit scalaire "generale" peut etre particularisé et devenir le produit scalaire qu'on a appris il y a longtemps. (une demo serait super).

Bon ben c'est assez trivial. Tu as juste à vérifier qu'avec le produit scalaire habituel tu vérifies les propriétés de la définition que j'ai donné du produit scalaire. Il suffit que tu vérifies pour trois vecteurs quelconques que tu as bien :









et enfin montrer que si alors

On doit pas voir f comme une combinaison linéaire des deux vecteurs qui sont en variable je suppose ?

Non effectivement.

Donc j'avais penser que f représentait le produit scalaire générale puisqu'il se "sert" des deux variables (vecteurs) qui lui sont rentré en "entrée".

Oui c'est bien ça dans la première partie de mon message.

Mais ca semble pas etre le cas puisque f est lui meme pris comme étant une valeur des composantes du produit scalaire "particulier" qu'on connait depuis toujours (je suis clair ?).

Là soit je ne comprend pas ce que tu veux dire soit c'est faux.

[invitea774bcd7]

Une base orthonormée…
Le produit scalaire entre deux fois la même fonction est 1, le produit scalaire entre deux fonctions différentes est 0.
Evidemment que la deuxième intégrale que j'ai écrit qui fait intervenir une fonction cosinus et une fonction sinus est toujours nulle car ce sont toujours des fonctions différentes.

[legyptien]

Là soit je ne comprend pas ce que tu veux dire soit c'est faux.

D'après tes explications le f dans l'integrale decrivant A n'est pas le meme que celui du départ. Donc c'est réglé je pense.

Donc si j'ai bien compris, un vecteur au sens générale est une fonction appartenant à un espace vectoriel. Cet espace vectoriel est formé par une base orthonormée (cosinus et sinus). La decomposition de ce vecteur general (qui est une fonction) peut se faire comme une combinaison linéaire des vecteurs de base (ce qui nous fait tomber sur la loi de Fourrier qui permet de décomposer un signal periodique en une somme de sinus et cosinus). Est que ce c'est tout bon ?

Il me reste à comprendre la demo trivial (ces trucs de commutativité, associativité .... dans les espaces vectoriels je les ai vu à la fac mais j'ai jamais compris le sens, voilà ou ca mene.

Il est jamais trop tard...

[legyptien]

Bon ca y est. Tu as tout simplement appliqué bilinéaire, symétrique, définie positive et vérifié que le produit scalaire "cas particulier" vérifie bien les critères cité ci dessus.

Ok mais moi je deteste le par coeur (c'est pour ça que je préfère la physique au math). Comment on peut comprendre afin de retenir les critères bilinéaire, symétrique, définie positive. Je veux dire pourquoi ces critères sont à la base des produits vectoriel (dans le cas général).

J'espere que tu vas pas me dire que c'est une définition parce que sinon c'est triste à mes yeux...

[Magnétar]

Donc si j'ai bien compris, un vecteur au sens générale est une fonction appartenant à un espace vectoriel.

Alors une petite correction quand même un vecteur au sens général n'est pas une fonction, un vecteur au sens général est un élément d'un espace vectoriel. Voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel

Cependant dans les cas sympas (i.e. ceux qu'on a la plupart du temps en physique) on arrive à trouver une structure d'espace vectoriel sur un espace de fonctions (l'espace de fonctions qui nous intéressent ici est celui des fonctions périodiques), quand une telle structure existe sur un espace de fonctions alors les fonctions appartenant à cet espace peuvent être vues comme des vecteurs appartenant à un espace vectoriel. Une fois que ceci est fait on peut munir cet espace de fonctions (qui a une structure d'espace vectoriel) d'un produit scalaire (un exemple de produit scalaire possible est A).

Pour plus de détails renseigne toi sur les espaces euclidiens (c-à-d espace vectoriel muni d'un produit scalaire). Wiki : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_euclidien

Comment on peut comprendre afin de retenir les critères bilinéaire, symétrique, définie positive. Je veux dire pourquoi ces critères sont à la base des produits vectoriel (dans le cas général).

Bon alors effectivement c'est la définition. Mais historiquement le produit scalaire "habituel" était surement là bien avant et en gros les matheux pour généraliser ce dernier on pris les propriétés du produit scalaire "habituel" et s'en sont servis pour donner la définition du produit scalaire "en général". Donc pour s'en rappeler il faut se dire que tout produit scalaire doit se comporter de la même façon que le produit scalaire habituel.
Une autre façon de voir les chose quand tu fait des produits scalaires de fonctions. Un vecteur tu peux le voir comme l'ensemble de ses composantes dans une base donnée par exemple et . Tu seras d'accord si je te dis , c'est à dire que tu sommes les produits des composantes sur les indices i=1,2,3. Bon bah pour une fonctions f tu peux considérer que ses composantes sont repérés par un indices continu qui est x, donc en quelques sortes f(x) est la x-ième composantes de f, du coup par analogies tu peux considérer que f(x)g(x) est le produit de la x-ième composantes de f avec la x-ième composantes de g et est la somme "continue" du produit des composantes des fonctions comme le produit scalaire habituel. Cependant il faut faire attention à cette dernière vision, car des fois on peut faire intervenir une mesure différentes de dx et du coup on ne reconnait pas la forme aussi immédiatement.

Ok mais moi je deteste le par coeur (c'est pour ça que je préfère la physique au math)

Je comprend très bien ça

[membreComplexe12]

Bonjour,

Ben si tu connais la projection entre vecteurs tu vas pouvoir généraliser assez facilement. Parce que en fait tes fonctions sont aussi des vecteurs, au sens elles appartiennent à un espace vectoriel (comme les vecteurs que tu connais).
De même le produit scalaire que tu connais n'est qu'un cas particulier du produit scalaire "général". En fait celui que tu utilises tous les jours est le produit scalaire canonique de Rⁿ, n étant souvent limité à 2 ou 3.

La définition générale d'un produit scalaire est que c'est une forme définie sur une espace vectoriel à valeur dans R qui est bilinéaire, symétrique, définie positive. Pour éclaircir tout ça, en gros ça veut dire si tu considères une application f qui à pour variables trois vecteurs u,v,w d'un espace vectoriel E alors si f vérifie les propriétés suivantes f est un produit scalaire :

Bilinéarité:
f(au+v,w)=af(u,w)+f(v,w)
f(u,av+w)=af(u,v)+f(u,w) où a appartient à R

Symétrie :

f(u,v)=f(v,u)

Définie positif :




Maintenant tu pourras montrer que l'application A définie sur un espace vectoriel de fonctions "sympathiques", qui a deux fonctions f et g fait correspondre :

est bien une application qui vérifie les propriétés d'un produit scalaire et est donc un produit scalaire. Grâce à ce genre de chose tu peux après définir des angles entre fonctions, ou encore la norme d'une fonction bref... Tu peux voir facilement que quand tu calcules les composantes de Fourier d'une fonction périodique tu fais un produit scalaire entre ta fonction et les cosinus et sinus qui eux forment une base de ton espace vectoriel.

merci c'est super gentil de m'avoir expliquée, j'en ai entendu parlé plusieurs fois mais sans vraiment comprendre. maintenant c'est OK.

merci beaucoup

[legyptien]

ok j'y suis. On fait une analogie entre les espaces vectoriels et les espaces des fonctions. l'analogie est complète si les critères bilinéaire, symétrique, définie positive sont vérifiés. Dans le cas qui nous intéresse les bases sont les fonctions périodiques cos et sin.

Et la decomposition sur ces bases (de l'espace des fonctions) donne la décomposition en série de Fourrier.

Le produit scalaire sur l'espace des fonctions est une somme infinie et continue (ntégrale) alors que dans l'espace vectoriel "conventionel" c'est connu comme tu l'as cité Magnétar.

Je pense que j'ai compris l'essentiel mais je serais définitivement pas un mateu (heureux de voir que tu partage ma vision des maths et physique).

Merci à tout les intervenants

[membreComplexe12]

merci tous pour votre aide

[membreComplexe12]

je viens de voir qu'en fait je n'ai toujours pas compris le 2 qui a pour les coeff An et Bn......

j'espere que vous pourrez m'aider

[membreComplexe12]

il y a une seconde chose que je n'ai pas compris, puisque An et Bn sont les composantes dans la bases des cosinus et sinus pourquoi est il necessaire d'introduire A0.

==> Autrement dit:
pourquoi An et Bn ne definissent pas completement la fonction? puisque c'est les deux composantes de f dans la base de cos et sin?

[legyptien]

il y a une seconde chose que je n'ai pas compris, puisque An et Bn sont les composantes dans la bases des cosinus et sinus pourquoi est il necessaire d'introduire A0.

==> Autrement dit:
pourquoi An et Bn ne definissent pas completement la fonction? puisque c'est les deux composantes de f dans la base de cos et sin?

Il me semble que c'est la valeur moyenne du signal