Un peu de meca ...

[invite3b50103a]

Bonjour a tous
J'ai un exercice sur les systèmes de deux points et je bloque un peu : voici l'énoncé :
On considère une tige de masse négligeable de longueur 2l aux extrémités de laquelle sont fixés deux objets ponctuels A et B de masse m. L'ensemble est positionné dans un guide en forme de L verticale. Le déplacement des solides à l'intérieur du guide se fait sans frottement. La position G est repéré par theta
A t=0, le système est abandonné sans vitesse dans la position theta=theta0=Pi/3
1)En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, calculer en fonction de l,g,theta et theta0 la vitesse angulaire w pour une position quelconque de la tige. On commencera par exprimer, en fonction de w, yA et xB, que l"on dérivera .
2) En deduire en fonction des memes paramètres l'expression d²theta/dt²
3) déterminer les réactions RA et RB du guide sur les solides. Commenter leur évolution
Voila j'aimerais avoir quelques pistes sur les différentes questions
J'ai joint le schema qui va avec ( sa donne pas grand chose mais c'est juste pour vous montrer )
Merci d'avance
Nico
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[invite7bd3b9d6]

A et B )
la première masse ne peut se déplacer que selon l'axe OY, notons sa position y
la seconde masse ne peut se déplacer que selon l'axe OX, notons sa position x

tu pourras exprimer l'énergie cinétique et l'énergie potentielle en fonction de x et y
tu pourras exprimer x et y en fonction de théta.
et tu n'as plus qu'a remplacer la première expression en remplacant x, y et dx/dt et dy/dt par leur expression en fonction de theta.

tu obtiendras alors l'équation suivante:
L(dtheta/dt)²+ g sin(theta) = Energie mécanique constante/2mL

il ne te restera plus alors qu'à remplacer dtheta/dt par w.

energie mécanique constante = 2mgL sin(theta0).

[invite3b50103a]

Merci je vais essayer de trouver la relation mais en faisant ça je n'utilises pas le TEC non ?

[invite3b50103a]

Je n'arrive pas à trouver l'énergie potentielle de A et B . c'est Epp ? j'ai toujours eu du mal avec les énergies potentielles ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb88b005d]

l'energie potentiel est maximus en A et minimum en B
utilise la relation Ep= Mg(OA) pour le point A et Ep=Mg(OB) pour B
et tu va constater qu'elle s'annule en B alors c'est facile de continuer ^^

[invite3b50103a]

EcA=1/2*m*(dy/dt +y*dtheta/dt)²
EcB=1/2*m*(dx/dt + x*dtheta/dt)²
C'est bien ça ?
puis EpA=mgy
EpB=mgx
Et ensuite je dois exprimer y et x en fonction de theta mais je ne sais pas comment faire. Et comment faire apparaitre du sin(theta ) ici ?

[invite3b50103a]

Quelqu'un pourrait m'aider svp ?!

[invite7bd3b9d6]

EcA=1/2*m*(dy/dt +y*dtheta/dt)²
EcB=1/2*m*(dx/dt + x*dtheta/dt)²
C'est bien ça ?
puis EpA=mgy
EpB=mgx
Et ensuite je dois exprimer y et x en fonction de theta mais je ne sais pas comment faire. Et comment faire apparaitre du sin(theta ) ici ?

en fait, le système est composé donc de 2 points matériels A et B

Ectotale = EcA + EcB

on va calculer EcA et EcB

EcA = 1/2 m*[(dXa/dt)²+(dYa/dt)²]
or Xa est fixé et vaut 0, car le point A est situé sur l'axe 0Y, donc dXa/dt = 0

donc EcA = 1/2 m*(dXa/dt)²

de même
EcB = 1/2 m*[(dXb/dt)²+(dYb/dt)²]
or Yb est fixé et vaut 0, car le point B est situé sur l'axe 0X, donc dYb/dt = 0
donc EcB = 1/2 m*(dYb/dt)²


le système dépend donc de deux paramètres Xa et Yb que l'on notera dans la suite x et y
pour résumer l'énergie cinétique du système des deux masses vaut:

Ec = EcA + EcB = 1/2 m*[(dXa/dt)²+(dYb/dt)²]
Ec=1/2 m*[(dx/dt)²+(dy/dt)²]

reste à exprimer X et Y en fonction de théta.


x=2L*cos(theta)
y=2L*sin(theta)

dx/dt = -2L.d(theta)/dt.sin(theta)
dy/dt = 2L.d(theta)/dt.cos(theta)

ce qui fait

Ec= 1/2 m * [4.L².(d(theta)/dt)²*(sin²(theta)+cos²(theta)]
Ec= 2 mL².(d(theta)/dt)²

Fais la même chose pour l'énergie potentielle.

[invite3b50103a]

EcA = 1/2 m*[(dXa/dt)²+(dYa/dt)²]
or Xa est fixé et vaut 0, car le point A est situé sur l'axe 0Y, donc dXa/dt = 0

donc EcA = 1/2 m*(dXa/dt)²

de même
EcB = 1/2 m*[(dXb/dt)²+(dYb/dt)²]
or Yb est fixé et vaut 0, car le point B est situé sur l'axe 0X, donc dYb/dt = 0
donc EcB = 1/2 m*(dYb/dt)².

tu as du te tromper dxa/dt=0 donc EcA=1/2*[(dYa/dt²)]
et comment tu obtient x=2Lcos(theta) et y=2Lsin(theta ) ? l'ange OAB vaut 2*theta non ?

[invite60be3959]

Si tu veux appliquer le théorème de l'énergie cinétique(TEC), il faut se rappeler ceci : la variation de l'énergie cinétique des points A et B est égale à la somme des travaux des forces extérieures agissants sur A et B. Or ici seul le poids travail (une force de réaction ne travail jamais car elle est toujours perpendiculaire au chemin suivi). De façon générale le travail du poids d'une masse m qui effectue un changement de position d'un point I à un point F est donné par mg(z_I - z_F), où les z sont les altitudes des points I et F. Ici le rôle de cette coordonnée est joué par y et non z.
Au final le TEC s'écrit :



Bien entendu les vitesses et , et et sont nulles, ce qui simplifie déjà pas mal l'équation.
Bon ça c'est pour faire plaisir à ton prof, mais il fait bien comprendre que le TEC est équivalent à la conservation de l'énergie mécanique lorsque seul le poids travail, et donc que la méthode qui t'es proposée par alexandre78m est tout aussi valable(étant donné que l'énergie potentielle d'un objet d'altitude h est mgh).

p.s : personnellement je préfère résoudre le problème en considérant les coordonnées du point G. (solution :

[invite3b50103a]

je trouve au final :
w=(2*g/l*sin(theta0+cos(theta0)-sin(theta)-cos(theta))
aurais - je fais une erreur quelque part ? comment le cos(theta) disparait ?

[invite7bd3b9d6]

tu as du te tromper dxa/dt=0 donc EcA=1/2*[(dYa/dt²)]
et comment tu obtient x=2Lcos(theta) et y=2Lsin(theta ) ? l'ange OAB vaut 2*theta non ?

oui je me suis trompé (il suffit d'inverser les expressions de EcA et EcB), mais l'expression de Ectotale reste valable.

Ectotale=1/2 m. [(dx/dt)² + (dy/dt)² ]


Pour l'expression des distances x et y en fonction de theta, voir la pièce jointe associée, tu comprendras tout de suite.

[invite3b50103a]

ah oui effectivement , mais je ne trouve pas la meme expression de d(theta)/dt au final, il me reste du cosinus ...

[invite7bd3b9d6]

ah oui effectivement , mais je ne trouve pas la meme expression de d(theta)/dt au final, il me reste du cosinus ...

tu exprimes x et y en fonction de theta

x = 2L.cos(theta)
y = 2L.sin(theta)


dx/dt = 2L. d(cos(theta))/dt = -2L.d(theta)/dt.sin(theta)
dy/dt = 2L. d(sin(theta))/dt = 2L.d(theta)/dt.cos(theta)


quand tu les mets au carré, tu obtiens:

(d(x)/dt)²=4L².sin²(theta).(d(theta)/dt)²
(d(y)/dt)²=4L².cos²(theta).(d(theta)/dt)²

Ec=1/2m.[(dx/dt)²+(dy/dt)²]

les sin² et cos² carré se simplifient en 1 et tu obtiens une expression de l'énergie cinétique qui ne fait plus intervenir que d(theta)/dt

désigne moi clairement le passage que tu n'as pas compris, si tu veux plus de détails.

ensuite, tu peux effectivement appliqué le TEC (ou la loi de la conservation de l'énergie mécanique comme je l'ai fait qui revient au même).

[invite3b50103a]

Je trouve bien ce qu'il faut pour Ec et je trouve pour Ep
Ep=EpA+EpB=2Lmg(sin(theta)+cos (theta)) puis j'exprime Em
Em=Ec0+Ep0=Ep0=2Lmg(sin(theta0 )+cos(theta0)) puis je remplace les 2mL se simplifient et je me retrouve avec du sin(theta) et cos(theta) comme je l'ai écrit un peu plus haut . J'aurais fait une erreur sur l'energie potntielle ?

[invite7bd3b9d6]

Je trouve bien ce qu'il faut pour Ec et je trouve pour Ep
Ep=EpA+EpB=2Lmg(sin(theta)+cos (theta)) puis j'exprime Em
Em=Ec0+Ep0=Ep0=2Lmg(sin(theta0 )+cos(theta0)) puis je remplace les 2mL se simplifient et je me retrouve avec du sin(theta) et cos(theta) comme je l'ai écrit un peu plus haut . J'aurais fait une erreur sur l'energie potntielle ?

tu as fait une erreur sur l'expression de l'énergie potentielle

Ep=EpA+EpB

on prend pour référence le plan horizontal y=0

donc
EpA=mgYa
EpB=mgYb

Ya=y mais Yb=0
donc EpA=mg.2L.sin(theta)
EpB=0
donc Ep=mg.2L.sin(theta).

[invite3b50103a]

En fait l'axe des y ici c'est un peu comme l'axe des z d'habitude non ?